2018-2019學年高中數(shù)學 第三章 不等式 專題3.1 不等關系與不等式試題 新人教A版必修5.doc

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3.1 不等關系與不等式 1．不等關系 不等關系主要有以下幾種類型：（1）表示常量與常量之間的不等關系；（2）表示變量與常量之間的不等關系；（3）表示函數(shù)與函數(shù)之間的不等關系；（4）表示一組變量之間的不等關系． 2．不等式的定義 用不等號表示不等關系的式子叫____________，如，等． 用“”或“”連接的不等式叫嚴格不等式，用“”或“”連接的不等式叫非嚴格不等式． 3．不等式的分類 按成立條件分 絕對不等式 無論用什么實數(shù)代替不等式中的字母都成立，如 條件不等式 只有用某些實數(shù)代替不等式中的字母才能成立，如 矛盾不等式 無論用什么實數(shù)代替不等式中的字母都不能成立，如 按不等號開口方向分 同向不等式 在兩個不等式中，每一個不等式的左邊都大于右邊，或每一個不等式的左邊都小于右邊，如與 異向不等式 在兩個不等式中，一個不等式的左邊大于右邊，而另一個不等式的左邊小于右邊，如與 4．a(chǎn)≤b和a≥b的含義 不等式 等價于 讀法 含義 a≤b a不大于b a小于或等于b a＜b和a＝b中有一個成立即可 a≥b a不小于b a大于或等于b a＞b和a＝b中有一個成立即可 5．實數(shù)大小比較的依據(jù) 實數(shù)的特征：（1）任意實數(shù)的平方不小于0；（2）任意兩個實數(shù)都可以比較大小，反之，可以比較大小的數(shù)一定是實數(shù)． 在數(shù)軸上，不同的點A與點B分別表示兩個不同的實數(shù)a與b，右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)大，則點A，B在數(shù)軸上的表示如圖所示： 由圖可以看出a，b之間具有以下性質：如果a－b是正數(shù)，那么a＞b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是負數(shù)，那么a＜b．反過來也對． 這可以表示為a－b＞0____________；a－b＝0____________；a－b＜0____________． 注：“”的左邊反映的是實數(shù)運算性質，右邊反映的則是實數(shù)a，b的大小關系，合起來就是實數(shù)的大小與實數(shù)運算之間的關系． 6．不等式的性質 性質 性質1 （對稱性）如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b．即a＞bb＜a 性質2 （傳遞性）如果a＞b，b＞c，那么a＞c．即a＞b，b＞ca＞c 如果c＜b，b＜a，那么c＜a．即c＜b，b＜ac＜a 性質3 （可加性）如果a＞b，那么a＋c＞b＋c．即a＞ba＋c＞b＋c （推論：移項法則）如果a＋b＞c，那么a＞c－b．即a＋b＞ca＞c－b 性質4 （可乘性）如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc 性質5 （同向可加性）如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d 性質6 （同向同正可乘性）如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞____________ 性質7 （可乘方性）如果，那么____________（nN，n1） 性質8 （可開方性）如果，那么____________（nN，n2） K知識參考答案： 2．不等式 5．a(chǎn)＞b a＝b a＜b 6．bd K—重點 用不等式（組）表示不等關系、比較兩個代數(shù)式的大小、不等式的性質 K—難點 不等式性質的應用（判斷命題的真假、證明不等式、求代數(shù)式的取值范圍） K—易錯 忽略不等式性質成立的條件、對不等式的性質理解不夠深刻 用不等式（組）表示不等關系 （1）常見的文字語言與數(shù)學符號之間的對應關系如下： 文字語言 大于 小于 大于等于 小于等于 至多 至少 不小于 不大于 數(shù)學符號 （2）用不等式（組）表示不等關系的解題思路：先弄清題意，分清是常量與常量、變量與變量、變量與常量、還是函數(shù)與函數(shù)之間的不等關系；然后類比等式的建立找到不等關系，選準不等號，將量與量之間用不等號連接． 某鐵礦車隊有5輛載重為10 t的A型卡車和8輛載重為6 t的B型卡車，且有11名駕駛員，此車隊每天至少要運450 t礦石至冶煉廠．已知A型卡車每輛每天可往返6次，B型卡車每輛每天可往返9次．假設每天派出A型卡車x輛，B型卡車y輛，試寫出滿足上述所有不等關系的不等式組． 【答案】見解析． 【解析】由題意，可得，即． 【名師點睛】不等式是不等關系的符號表示，在用不等式表示不等關系時，應特別注意能否取等號，像本題中“至少”包含相等的情況，應該取等號．將實際的不等關系寫成對應的不等式時，應注意實際問題中關鍵性的文字語言與對應的數(shù)學符號之間的正確轉換，這關系到能否正確地用不等式表示出不等關系，同時要保證不重、不漏，尤其要檢驗實際問題中變量的取值范圍． 從下列實際問題中提煉出相應的不等式： （1）向一杯糖水里加點糖，糖水變甜； （2）把A糖水（淡）與B糖水（濃）混合到一起，得到的C糖水一定比淡的濃、比濃的淡． 【答案】（1）見解析；（2）見解析． 【解析】（1）設糖水b克，含糖a克，易知濃度為，加入m克糖后的濃度為． 提煉出的不等式：若b＞a＞0，m＞0，則＜． （2）設淡糖水克，含糖克，易知濃度為；濃糖水克，含糖克，易知濃度為；則混合后的濃度為．提煉出的不等式：若＞＞0，＞＞0，且＜，則＜＜． 【名師點睛】用不等式解決實際問題使實際問題數(shù)學化，即數(shù)學建模，關鍵是抓住生活中的問題與數(shù)學中關系式的特征間的關系． 不等式性質的簡單應用 等式的性質與不等式的性質的對比如下： 等式的性質 不等式的性質 a＝bb＝a a＞bb＜a a＝b，b＝ca＝c a＞b，b＞ca＞c a＝ba＋c＝b＋c a＞ba＋c＞b＋c a＝bac＝bc a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bc a＝b，c＝da＋c＝b＋d a＞b，c＞da＋c＞b＋d a＝b＞0，c＝d＞0ac＝bd a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd （nN，n1） （nN，n1） （nN，n2） （nN，n2） 已知滿足且，下列選項中不一定成立的是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因為，所以． 對于A，因為，所以； 對于B，因為，所以，又，所以； 對于D，因為，所以，又，所以； 對于C，因為且，所以或， 因此與的大小不能確定，即不一定成立．故選C． 若為實數(shù)，則下列命題正確的是_____________（填序號）． ①若，則； ②若，則； ③若，則； ④若，則； ⑤若，則； ⑥若，則； ⑦若，則； ⑧若，則； ⑨若，則． 【答案】④⑤⑦ 對于⑤，因為，兩邊同時乘以可得， 兩邊同時乘以可得，所以，命題正確； 對于⑥，因為，所以，所以，命題不正確； 對于⑦，因為，由性質3可得，命題正確； 對于⑧，若，則不成立，命題不正確； 對于⑨，若，則不成立，命題不正確． 故填④⑤⑦． 【名師點睛】（1）理解不等式的性質時，首先要把握不等式性質成立的條件，特別是實數(shù)的正負和不等式的可逆性；其次，要關注常見函數(shù)的單調性對理解不等式性質的指導性． （2）理解不等式的性質成立的條件以及是否具有可逆性是掌握性質的關鍵．例如，性質6不但要求兩個不等式同向，而且要求a，b，c，d均大于0，否則結論不一定成立；性質7若忽略nN，n≥1，就有可能得出錯誤的結論．同時應注意：除了性質1和性質3，其他性質都不可逆． 利用不等式的性質求代數(shù)式的取值范圍 利用不等式的性質求代數(shù)式的取值范圍的一般思路： （1）借助性質，轉化為同向不等式相加進行解答； （2）借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件； （3）結合不等式的傳遞性進行求解． 已知－2＜a＋b≤5，－1≤a－b≤4，則5a－b的取值范圍為_____________． 【答案】 方法2：令a＋b＝m，a－b＝n，則由，解得， 故5a－b＝，由－2＜m5，－1n4，可得－7＜2m＋3n≤22， 所以－7＜5a－b≤22． 已知－1＜a≤2，3≤b＜5，求|a|，a＋b，a－b，3a－2b的取值范圍． 【答案】見解析． 【解析】因為－1＜a≤2，所以0≤|a|≤2； 因為3≤b＜5，所以2＜a＋b＜7； 因為－1＜a≤2，－5＜－b≤－3，所以相加得－6＜a－b≤－1； 因為－3＜3a≤6，－10＜－2b≤－6，所以相加得－13＜3a－2b≤0． 【名師點睛】同向不等式中只有一個帶等號，那么等號是傳遞不過去的．例如，若a≥b且b＞c，則a＞c；若a＞b且b≥c，則a＞c．如果兩個不等式都帶有等號，則有：若a≥b且b≥c，則a≥c，其中a＝c時必須a＝b且b＝c，否則a＝c是不成立的，同向不等式相加也是這樣． 比較大小 （1）作差法、作商法是比較兩個實數(shù)（或代數(shù)式）大小的基本方法． ①作差法的步驟：作差、變形、判斷差的符號、得出結論． ②作商法的步驟：作商、變形、判斷商與1的大小、得出結論． （2）介值比較法也是比較大小的常用方法，其實質是不等式的傳遞性． 若a＞b，b＞c，則a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c． 其中b是介于a與c之間的值，此種方法的關鍵是通過恰當?shù)姆趴s，找出一個比較合適的中介值． 注意：①采用作差法時只需要判斷差的符號，至于差的值究竟是什么并不重要，通常將差化為完全平方式的形式或多個因式乘積的形式；②作商時各式的符號為正，若都為負，則結果相反． （1）已知a＞0，b＞0，試比較與的大小； （2）已知a＞0，b＞0，試比較與的大小； （3）已知5＜a＜6，試比較a2－25與ln(a－5)的大小． 【答案】（1）；（2）；（3）a2－25＞ln(a－5)． （2）方法1：作差法． ， 因為，，，所以， 當且僅當a＝b時等號成立，所以(當且僅當a＝b時取等號)． 方法2：作商法． ，當且僅當a＝b時等號成立， 所以(當且僅當a＝b時取等號)． 【名師點睛】比較大小時應注意：（1）比較代數(shù)式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此時一定要保證代數(shù)式大于零；（2）作差時應該對差式進行恒等變形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明顯看出其正負號為止；（3）指數(shù)形態(tài)的比較大小問題一般采用作商法轉化為同底指數(shù)冪，利用指數(shù)函數(shù)的單調性來處理． 證明不等式 利用性質證明不等式，本質上還是比較大小，所不同的是比較大小的目標不明確，而證明不等式的目標明確． （1）已知a＞b，m＞n，c＜0，證明：ac＋mc－bc－nc＜(b＋n＋c)2； （2）已知x≥1，y≥1，證明：． 【答案】（1）見解析；（2）見解析． 【解析】（1）因為a＞b，m＞n，所以a＋m＞b＋n， 又c＜0，所以(a＋m)c＜(b＋n)c，即ac＋mc－bc－nc＜0． 又(b＋n＋c)2≥0，所以ac＋mc－bc－nc＜(b＋n＋c)2． （2）采用作差法證明． ， 因為x≥1，y≥1，所以x－1≥0，y－1≥0，xy≥1，所以≥0， 故≥0，所以． 【名師點睛】簡單不等式的證明可直接由已知條件，利用不等式的性質，通過對不等式變形進行證明；對于比較復雜的不等式的證明，直接利用不等式的性質不易進行證明，可考慮將不等式的兩邊作差，然后進行變形，根據(jù)條件確定每一個因式（式子）的符號，利用符號法則判斷最終的符號，完成證明． 忽略不等式性質成立的條件、對不等式的性質理解不夠深刻 已知6＜a＜16，3＜b＜4，c＝－1，求及的取值范圍． 【錯解】因為6＜a＜16，3＜b＜4，所以，即， 由3＜b＜4，c＝－1可得． 【錯因分析】錯解中使用了同向不等式相除，而不等式?jīng)]有這樣的性質，從而導致錯誤． 【名師點睛】要求代數(shù)式的取值范圍，必須依據(jù)不等式的性質進行求解，同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除．解題時必須準確利用性質，做到步步有依據(jù)，從而避免改變代數(shù)式的取值范圍而出錯．同時應注意“保序”時的條件，如“非負乘方保序”，但“乘負反序”“同號取倒反序”等． 1．如果，那么下列各式一定成立的是 A． B． C． D． 2．已知，，那么一定正確的是 A． B． C． D． 3．已知，則不等式，，中不成立的個數(shù)為 A．0 B．1 C．2 D．3 4．設，，，則的大小關系為 A． B． C． D． 5．已知為非零實數(shù)，且，則下列命題成立的是 A． B． C． D． 6．設，則有 A． B． C． D． 7．若d＞0，d≠1，m，nN*，則與＋的大小關系是 A．＞＋ B．＜＋ C．≥＋ D．不能確定 8．已知，則的大小關系是 A． B． C． D．無法確定 9．設，，則的大小關系為_____________． 10．，，三個數(shù)中最大的數(shù)是_____________． 11．若則的取值范圍為_____________． 12．已知：，，求證：． 13．已知，，，試比較與的大小． 14．比較下列兩組數(shù)的大小． （1）與； （2）當時，與． 15．下列結論正確的是 A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則 16．若，則下列各式正確的是 A． B． C． D． 17．如果，那么下列不等式中正確的是 A． B． C． D． 18．設，若，則下列不等式中正確的是 A． B． C． D． 19．已知，則下列推證中錯誤的是 A． B． C． D． 20．若，則、、的大小順序是_____________． 21．設，，給出下列三個結論：①；②；③． 其中所有正確結論的個數(shù)為______________． 22．已知三個不等式：①ab＞0，②，③bc＞ad，以其中兩個作為條件，余下一個作為結論，則可以組成_____________個正確命題． 23．設，比較與的大?。?  24．（1）已知，，且，試比較與的大?。? （2）已知，試比較a4－b4與4a3(a－b)的大?。? 25．（2018新課標全國Ⅲ理）設，，則 A． B． C． D． 26．（2014四川文）若，，則一定有 A． B． C． D． 27．（2016浙江）已知實數(shù)a，b，c， A．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，則a2＋b2＋c2＜100 B．若|a2＋b＋c|＋|a2＋b–c|≤1，則a2＋b2＋c2＜100 C．若|a＋b＋c2|＋|a＋b–c2|≤1，則a2＋b2＋c2＜100 D．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2–c|≤1，則a2＋b2＋c2＜100 28．（2017新課標全國Ⅰ理）設x、y、z為正數(shù)，且，則 A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 1．【答案】C 【解析】A中應為，B中當時不成立，D應為，故選C． 2．【答案】D 【解析】由同向不等式的加法性質可知由，，可得．故選D． 4．【答案】D 【解析】由題可得．故選D． 5．【答案】B 【解析】因為，所以可令，可排除A、C、D，故選B． 6．【答案】B 【解析】因為 恒成立，所以．故選B． 7．【答案】A 【解析】－(＋)＝(1－)＋(－1)＝(1－)(1－)， 因為m，nN*，1－與1－同號，所以(1－)(1－)＞0，故選A． 8．【答案】A 【解析】由已知可令，，則，由于，所以． 注：特殊值法是解決此類問題的常用方法，適當運用可達到事半功倍的效果． 9．【答案】 【解析】∵，． 10．【答案】 【解析】，所以最大的數(shù)為． 11．【答案】 【解析】利用同向不等式可以相加，得到的取值范圍為． 13．【答案】見解析． 【解析】， 當時，，所以； 當時，，所以； 當時，，所以． 14．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）， ，． （2）， ，又，． 15．【答案】D 【解析】選項A中，當時不符，所以A錯誤； 選項B中，當時，符合，不滿足，B錯誤； 選項C中，，所以C錯誤； 選項D中，因為，由不等式的平方法則，，即．故選D． 16．【答案】A 17．【答案】A 【解析】因為所以所以在上單調遞減， 所以是正確的，故選A． （注：本題也可以用特殊值法，如：令來解決．故選A．） 18．【答案】D 【解析】由得，故選D． 19．【答案】D 【解析】對于A：，則，正確； 對于B：，當時，有，正確； 對于C：∵，，∴不等式兩邊同乘以的倒數(shù)，得到，即，正確； 對于D：∵，，∴不等式兩邊同乘以的倒數(shù)，得到，不一定有，錯誤．故選D． 20．【答案】 【解析】，， 因為，所以，故． 21．【答案】2 【解析】①∵，，∴，故，正確； ②∵，∴在上是減函數(shù)， 而，所以，錯誤； ③當時，有，正確． 故所有正確結論的個數(shù)為2． 22．【答案】3 23．【答案】． 【解析】由 ， 又，． 24．【答案】（1）；（2）a4－b4＜4a3(a－b)． 【解析】（1）， 因為，，且，所以，， 所以，即． （2）a4－b4－4a3(a－b)＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a－b) ＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3－4a3) ＝(a－b)［(a2b－a3)＋(ab2－a3)＋(b3－a3)］ ＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2) ＝－(a－b)2［2a2＋(a＋b)2］， 因為2a2＋(a＋b)2≥0(當且僅當a＝b＝0時取等號)，且a≠b， 所以(a－b)2＞0，2a2＋(a＋b)2＞0， 所以－(a－b)2［2a2＋(a＋b)2］＜0，故a4－b4＜4a3(a－b)． 26．【答案】B 【解析】，又．故選B． 27．【答案】D 【解析】舉反例進行排除． 對于A，令a＝b＝10，c＝－110，可排除A； 對于B，令a＝10， b＝－100，c＝0，可排除B； 對于C，令a＝100， b＝－100，c＝0，可排除C．故選D． 28．【答案】D 【解析】令，則，，， ∴，則，， 則，故選D． 【名師點睛】對于連等問題，常規(guī)的方法是令該連等為同一個常數(shù)，再用這個常數(shù)表示出對應的，通過作差或作商進行比較大小．對數(shù)運算要記住對數(shù)運算中常見的運算法則，尤其是換底公式以及0與1的對數(shù)表示．