2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 專題3.1 不等關(guān)系與不等式試題 新人教A版必修5.doc

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3.1 不等關(guān)系與不等式 1．不等關(guān)系 不等關(guān)系主要有以下幾種類型：（1）表示常量與常量之間的不等關(guān)系；（2）表示變量與常量之間的不等關(guān)系；（3）表示函數(shù)與函數(shù)之間的不等關(guān)系；（4）表示一組變量之間的不等關(guān)系． 2．不等式的定義 用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子叫____________，如，等． 用“”或“”連接的不等式叫嚴(yán)格不等式，用“”或“”連接的不等式叫非嚴(yán)格不等式． 3．不等式的分類 按成立條件分 絕對(duì)不等式 無論用什么實(shí)數(shù)代替不等式中的字母都成立，如 條件不等式 只有用某些實(shí)數(shù)代替不等式中的字母才能成立，如 矛盾不等式 無論用什么實(shí)數(shù)代替不等式中的字母都不能成立，如 按不等號(hào)開口方向分 同向不等式 在兩個(gè)不等式中，每一個(gè)不等式的左邊都大于右邊，或每一個(gè)不等式的左邊都小于右邊，如與 異向不等式 在兩個(gè)不等式中，一個(gè)不等式的左邊大于右邊，而另一個(gè)不等式的左邊小于右邊，如與 4．a(chǎn)≤b和a≥b的含義 不等式 等價(jià)于 讀法 含義 a≤b a不大于b a小于或等于b a＜b和a＝b中有一個(gè)成立即可 a≥b a不小于b a大于或等于b a＞b和a＝b中有一個(gè)成立即可 5．實(shí)數(shù)大小比較的依據(jù) 實(shí)數(shù)的特征：（1）任意實(shí)數(shù)的平方不小于0；（2）任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大小，反之，可以比較大小的數(shù)一定是實(shí)數(shù)． 在數(shù)軸上，不同的點(diǎn)A與點(diǎn)B分別表示兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)a與b，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大，則點(diǎn)A，B在數(shù)軸上的表示如圖所示： 由圖可以看出a，b之間具有以下性質(zhì)：如果a－b是正數(shù)，那么a＞b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a＜b．反過來也對(duì)． 這可以表示為a－b＞0____________；a－b＝0____________；a－b＜0____________． 注：“”的左邊反映的是實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，右邊反映的則是實(shí)數(shù)a，b的大小關(guān)系，合起來就是實(shí)數(shù)的大小與實(shí)數(shù)運(yùn)算之間的關(guān)系． 6．不等式的性質(zhì) 性質(zhì) 性質(zhì)1 （對(duì)稱性）如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b．即a＞bb＜a 性質(zhì)2 （傳遞性）如果a＞b，b＞c，那么a＞c．即a＞b，b＞ca＞c 如果c＜b，b＜a，那么c＜a．即c＜b，b＜ac＜a 性質(zhì)3 （可加性）如果a＞b，那么a＋c＞b＋c．即a＞ba＋c＞b＋c （推論：移項(xiàng)法則）如果a＋b＞c，那么a＞c－b．即a＋b＞ca＞c－b 性質(zhì)4 （可乘性）如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc 性質(zhì)5 （同向可加性）如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d 性質(zhì)6 （同向同正可乘性）如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞____________ 性質(zhì)7 （可乘方性）如果，那么____________（nN，n1） 性質(zhì)8 （可開方性）如果，那么____________（nN，n2） K知識(shí)參考答案： 2．不等式 5．a(chǎn)＞b a＝b a＜b 6．bd K—重點(diǎn) 用不等式（組）表示不等關(guān)系、比較兩個(gè)代數(shù)式的大小、不等式的性質(zhì) K—難點(diǎn) 不等式性質(zhì)的應(yīng)用（判斷命題的真假、證明不等式、求代數(shù)式的取值范圍） K—易錯(cuò) 忽略不等式性質(zhì)成立的條件、對(duì)不等式的性質(zhì)理解不夠深刻 用不等式（組）表示不等關(guān)系 （1）常見的文字語言與數(shù)學(xué)符號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下： 文字語言 大于 小于 大于等于 小于等于 至多 至少 不小于 不大于 數(shù)學(xué)符號(hào) （2）用不等式（組）表示不等關(guān)系的解題思路：先弄清題意，分清是常量與常量、變量與變量、變量與常量、還是函數(shù)與函數(shù)之間的不等關(guān)系；然后類比等式的建立找到不等關(guān)系，選準(zhǔn)不等號(hào)，將量與量之間用不等號(hào)連接． 某鐵礦車隊(duì)有5輛載重為10 t的A型卡車和8輛載重為6 t的B型卡車，且有11名駕駛員，此車隊(duì)每天至少要運(yùn)450 t礦石至冶煉廠．已知A型卡車每輛每天可往返6次，B型卡車每輛每天可往返9次．假設(shè)每天派出A型卡車x輛，B型卡車y輛，試寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式組． 【答案】見解析． 【解析】由題意，可得，即． 【名師點(diǎn)睛】不等式是不等關(guān)系的符號(hào)表示，在用不等式表示不等關(guān)系時(shí)，應(yīng)特別注意能否取等號(hào)，像本題中“至少”包含相等的情況，應(yīng)該取等號(hào)．將實(shí)際的不等關(guān)系寫成對(duì)應(yīng)的不等式時(shí)，應(yīng)注意實(shí)際問題中關(guān)鍵性的文字語言與對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)符號(hào)之間的正確轉(zhuǎn)換，這關(guān)系到能否正確地用不等式表示出不等關(guān)系，同時(shí)要保證不重、不漏，尤其要檢驗(yàn)實(shí)際問題中變量的取值范圍． 從下列實(shí)際問題中提煉出相應(yīng)的不等式： （1）向一杯糖水里加點(diǎn)糖，糖水變甜； （2）把A糖水（淡）與B糖水（濃）混合到一起，得到的C糖水一定比淡的濃、比濃的淡． 【答案】（1）見解析；（2）見解析． 【解析】（1）設(shè)糖水b克，含糖a克，易知濃度為，加入m克糖后的濃度為． 提煉出的不等式：若b＞a＞0，m＞0，則＜． （2）設(shè)淡糖水克，含糖克，易知濃度為；濃糖水克，含糖克，易知濃度為；則混合后的濃度為．提煉出的不等式：若＞＞0，＞＞0，且＜，則＜＜． 【名師點(diǎn)睛】用不等式解決實(shí)際問題使實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，即數(shù)學(xué)建模，關(guān)鍵是抓住生活中的問題與數(shù)學(xué)中關(guān)系式的特征間的關(guān)系． 不等式性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用 等式的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)的對(duì)比如下： 等式的性質(zhì) 不等式的性質(zhì) a＝bb＝a a＞bb＜a a＝b，b＝ca＝c a＞b，b＞ca＞c a＝ba＋c＝b＋c a＞ba＋c＞b＋c a＝bac＝bc a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bc a＝b，c＝da＋c＝b＋d a＞b，c＞da＋c＞b＋d a＝b＞0，c＝d＞0ac＝bd a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd （nN，n1） （nN，n1） （nN，n2） （nN，n2） 已知滿足且，下列選項(xiàng)中不一定成立的是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因?yàn)椋裕? 對(duì)于A，因?yàn)?，所以? 對(duì)于B，因?yàn)?，所以，又，所以? 對(duì)于D，因?yàn)?，所以，又，所以? 對(duì)于C，因?yàn)榍?，所以或? 因此與的大小不能確定，即不一定成立．故選C． 若為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是_____________（填序號(hào)）． ①若，則； ②若，則； ③若，則； ④若，則； ⑤若，則； ⑥若，則； ⑦若，則； ⑧若，則； ⑨若，則． 【答案】④⑤⑦ 對(duì)于⑤，因?yàn)?，兩邊同時(shí)乘以可得， 兩邊同時(shí)乘以可得，所以，命題正確； 對(duì)于⑥，因?yàn)?，所以，所以，命題不正確； 對(duì)于⑦，因?yàn)椋尚再|(zhì)3可得，命題正確； 對(duì)于⑧，若，則不成立，命題不正確； 對(duì)于⑨，若，則不成立，命題不正確． 故填④⑤⑦． 【名師點(diǎn)睛】（1）理解不等式的性質(zhì)時(shí)，首先要把握不等式性質(zhì)成立的條件，特別是實(shí)數(shù)的正負(fù)和不等式的可逆性；其次，要關(guān)注常見函數(shù)的單調(diào)性對(duì)理解不等式性質(zhì)的指導(dǎo)性． （2）理解不等式的性質(zhì)成立的條件以及是否具有可逆性是掌握性質(zhì)的關(guān)鍵．例如，性質(zhì)6不但要求兩個(gè)不等式同向，而且要求a，b，c，d均大于0，否則結(jié)論不一定成立；性質(zhì)7若忽略nN，n≥1，就有可能得出錯(cuò)誤的結(jié)論．同時(shí)應(yīng)注意：除了性質(zhì)1和性質(zhì)3，其他性質(zhì)都不可逆． 利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍 利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍的一般思路： （1）借助性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進(jìn)行解答； （2）借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件； （3）結(jié)合不等式的傳遞性進(jìn)行求解． 已知－2＜a＋b≤5，－1≤a－b≤4，則5a－b的取值范圍為_____________． 【答案】 方法2：令a＋b＝m，a－b＝n，則由，解得， 故5a－b＝，由－2＜m5，－1n4，可得－7＜2m＋3n≤22， 所以－7＜5a－b≤22． 已知－1＜a≤2，3≤b＜5，求|a|，a＋b，a－b，3a－2b的取值范圍． 【答案】見解析． 【解析】因?yàn)椋?＜a≤2，所以0≤|a|≤2； 因?yàn)?≤b＜5，所以2＜a＋b＜7； 因?yàn)椋?＜a≤2，－5＜－b≤－3，所以相加得－6＜a－b≤－1； 因?yàn)椋?＜3a≤6，－10＜－2b≤－6，所以相加得－13＜3a－2b≤0． 【名師點(diǎn)睛】同向不等式中只有一個(gè)帶等號(hào)，那么等號(hào)是傳遞不過去的．例如，若a≥b且b＞c，則a＞c；若a＞b且b≥c，則a＞c．如果兩個(gè)不等式都帶有等號(hào)，則有：若a≥b且b≥c，則a≥c，其中a＝c時(shí)必須a＝b且b＝c，否則a＝c是不成立的，同向不等式相加也是這樣． 比較大小 （1）作差法、作商法是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)（或代數(shù)式）大小的基本方法． ①作差法的步驟：作差、變形、判斷差的符號(hào)、得出結(jié)論． ②作商法的步驟：作商、變形、判斷商與1的大小、得出結(jié)論． （2）介值比較法也是比較大小的常用方法，其實(shí)質(zhì)是不等式的傳遞性． 若a＞b，b＞c，則a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c． 其中b是介于a與c之間的值，此種方法的關(guān)鍵是通過恰當(dāng)?shù)姆趴s，找出一個(gè)比較合適的中介值． 注意：①采用作差法時(shí)只需要判斷差的符號(hào)，至于差的值究竟是什么并不重要，通常將差化為完全平方式的形式或多個(gè)因式乘積的形式；②作商時(shí)各式的符號(hào)為正，若都為負(fù)，則結(jié)果相反． （1）已知a＞0，b＞0，試比較與的大??； （2）已知a＞0，b＞0，試比較與的大?。? （3）已知5＜a＜6，試比較a2－25與ln(a－5)的大?。? 【答案】（1）；（2）；（3）a2－25＞ln(a－5)． （2）方法1：作差法． ， 因?yàn)?，，，所以? 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，所以(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))． 方法2：作商法． ，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立， 所以(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))． 【名師點(diǎn)睛】比較大小時(shí)應(yīng)注意：（1）比較代數(shù)式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此時(shí)一定要保證代數(shù)式大于零；（2）作差時(shí)應(yīng)該對(duì)差式進(jìn)行恒等變形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明顯看出其正負(fù)號(hào)為止；（3）指數(shù)形態(tài)的比較大小問題一般采用作商法轉(zhuǎn)化為同底指數(shù)冪，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來處理． 證明不等式 利用性質(zhì)證明不等式，本質(zhì)上還是比較大小，所不同的是比較大小的目標(biāo)不明確，而證明不等式的目標(biāo)明確． （1）已知a＞b，m＞n，c＜0，證明：ac＋mc－bc－nc＜(b＋n＋c)2； （2）已知x≥1，y≥1，證明：． 【答案】（1）見解析；（2）見解析． 【解析】（1）因?yàn)閍＞b，m＞n，所以a＋m＞b＋n， 又c＜0，所以(a＋m)c＜(b＋n)c，即ac＋mc－bc－nc＜0． 又(b＋n＋c)2≥0，所以ac＋mc－bc－nc＜(b＋n＋c)2． （2）采用作差法證明． ， 因?yàn)閤≥1，y≥1，所以x－1≥0，y－1≥0，xy≥1，所以≥0， 故≥0，所以． 【名師點(diǎn)睛】簡(jiǎn)單不等式的證明可直接由已知條件，利用不等式的性質(zhì)，通過對(duì)不等式變形進(jìn)行證明；對(duì)于比較復(fù)雜的不等式的證明，直接利用不等式的性質(zhì)不易進(jìn)行證明，可考慮將不等式的兩邊作差，然后進(jìn)行變形，根據(jù)條件確定每一個(gè)因式（式子）的符號(hào)，利用符號(hào)法則判斷最終的符號(hào)，完成證明． 忽略不等式性質(zhì)成立的條件、對(duì)不等式的性質(zhì)理解不夠深刻 已知6＜a＜16，3＜b＜4，c＝－1，求及的取值范圍． 【錯(cuò)解】因?yàn)?＜a＜16，3＜b＜4，所以，即， 由3＜b＜4，c＝－1可得． 【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中使用了同向不等式相除，而不等式?jīng)]有這樣的性質(zhì)，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤． 【名師點(diǎn)睛】要求代數(shù)式的取值范圍，必須依據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解，同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除．解題時(shí)必須準(zhǔn)確利用性質(zhì)，做到步步有依據(jù)，從而避免改變代數(shù)式的取值范圍而出錯(cuò)．同時(shí)應(yīng)注意“保序”時(shí)的條件，如“非負(fù)乘方保序”，但“乘負(fù)反序”“同號(hào)取倒反序”等． 1．如果，那么下列各式一定成立的是 A． B． C． D． 2．已知，，那么一定正確的是 A． B． C． D． 3．已知，則不等式，，中不成立的個(gè)數(shù)為 A．0 B．1 C．2 D．3 4．設(shè)，，，則的大小關(guān)系為 A． B． C． D． 5．已知為非零實(shí)數(shù)，且，則下列命題成立的是 A． B． C． D． 6．設(shè)，則有 A． B． C． D． 7．若d＞0，d≠1，m，nN*，則與＋的大小關(guān)系是 A．＞＋ B．＜＋ C．≥＋ D．不能確定 8．已知，則的大小關(guān)系是 A． B． C． D．無法確定 9．設(shè)，，則的大小關(guān)系為_____________． 10．，，三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是_____________． 11．若則的取值范圍為_____________． 12．已知：，，求證：． 13．已知，，，試比較與的大?。? 14．比較下列兩組數(shù)的大?。? （1）與； （2）當(dāng)時(shí)，與． 15．下列結(jié)論正確的是 A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則 16．若，則下列各式正確的是 A． B． C． D． 17．如果，那么下列不等式中正確的是 A． B． C． D． 18．設(shè)，若，則下列不等式中正確的是 A． B． C． D． 19．已知，則下列推證中錯(cuò)誤的是 A． B． C． D． 20．若，則、、的大小順序是_____________． 21．設(shè)，，給出下列三個(gè)結(jié)論：①；②；③． 其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為______________． 22．已知三個(gè)不等式：①ab＞0，②，③bc＞ad，以其中兩個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，則可以組成_____________個(gè)正確命題． 23．設(shè)，比較與的大?。?  24．（1）已知，，且，試比較與的大?。? （2）已知，試比較a4－b4與4a3(a－b)的大?。? 25．（2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理）設(shè)，，則 A． B． C． D． 26．（2014四川文）若，，則一定有 A． B． C． D． 27．（2016浙江）已知實(shí)數(shù)a，b，c， A．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，則a2＋b2＋c2＜100 B．若|a2＋b＋c|＋|a2＋b–c|≤1，則a2＋b2＋c2＜100 C．若|a＋b＋c2|＋|a＋b–c2|≤1，則a2＋b2＋c2＜100 D．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2–c|≤1，則a2＋b2＋c2＜100 28．（2017新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理）設(shè)x、y、z為正數(shù)，且，則 A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 1．【答案】C 【解析】A中應(yīng)為，B中當(dāng)時(shí)不成立，D應(yīng)為，故選C． 2．【答案】D 【解析】由同向不等式的加法性質(zhì)可知由，，可得．故選D． 4．【答案】D 【解析】由題可得．故選D． 5．【答案】B 【解析】因?yàn)?，所以可令，可排除A、C、D，故選B． 6．【答案】B 【解析】因?yàn)? 恒成立，所以．故選B． 7．【答案】A 【解析】－(＋)＝(1－)＋(－1)＝(1－)(1－)， 因?yàn)閙，nN*，1－與1－同號(hào)，所以(1－)(1－)＞0，故選A． 8．【答案】A 【解析】由已知可令，，則，由于，所以． 注：特殊值法是解決此類問題的常用方法，適當(dāng)運(yùn)用可達(dá)到事半功倍的效果． 9．【答案】 【解析】∵，． 10．【答案】 【解析】，所以最大的數(shù)為． 11．【答案】 【解析】利用同向不等式可以相加，得到的取值范圍為． 13．【答案】見解析． 【解析】， 當(dāng)時(shí)，，所以； 當(dāng)時(shí)，，所以； 當(dāng)時(shí)，，所以． 14．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）， ，． （2）， ，又，． 15．【答案】D 【解析】選項(xiàng)A中，當(dāng)時(shí)不符，所以A錯(cuò)誤； 選項(xiàng)B中，當(dāng)時(shí)，符合，不滿足，B錯(cuò)誤； 選項(xiàng)C中，，所以C錯(cuò)誤； 選項(xiàng)D中，因?yàn)?，由不等式的平方法則，，即．故選D． 16．【答案】A 17．【答案】A 【解析】因?yàn)樗运栽谏蠁握{(diào)遞減， 所以是正確的，故選A． （注：本題也可以用特殊值法，如：令來解決．故選A．） 18．【答案】D 【解析】由得，故選D． 19．【答案】D 【解析】對(duì)于A：，則，正確； 對(duì)于B：，當(dāng)時(shí)，有，正確； 對(duì)于C：∵，，∴不等式兩邊同乘以的倒數(shù)，得到，即，正確； 對(duì)于D：∵，，∴不等式兩邊同乘以的倒數(shù)，得到，不一定有，錯(cuò)誤．故選D． 20．【答案】 【解析】，， 因?yàn)?，所以，故? 21．【答案】2 【解析】①∵，，∴，故，正確； ②∵，∴在上是減函數(shù)， 而，所以，錯(cuò)誤； ③當(dāng)時(shí)，有，正確． 故所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為2． 22．【答案】3 23．【答案】． 【解析】由 ， 又，． 24．【答案】（1）；（2）a4－b4＜4a3(a－b)． 【解析】（1）， 因?yàn)?，，且，所以，? 所以，即． （2）a4－b4－4a3(a－b)＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a－b) ＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3－4a3) ＝(a－b)［(a2b－a3)＋(ab2－a3)＋(b3－a3)］ ＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2) ＝－(a－b)2［2a2＋(a＋b)2］， 因?yàn)?a2＋(a＋b)2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝0時(shí)取等號(hào))，且a≠b， 所以(a－b)2＞0，2a2＋(a＋b)2＞0， 所以－(a－b)2［2a2＋(a＋b)2］＜0，故a4－b4＜4a3(a－b)． 26．【答案】B 【解析】，又．故選B． 27．【答案】D 【解析】舉反例進(jìn)行排除． 對(duì)于A，令a＝b＝10，c＝－110，可排除A； 對(duì)于B，令a＝10， b＝－100，c＝0，可排除B； 對(duì)于C，令a＝100， b＝－100，c＝0，可排除C．故選D． 28．【答案】D 【解析】令，則，，， ∴，則，， 則，故選D． 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于連等問題，常規(guī)的方法是令該連等為同一個(gè)常數(shù)，再用這個(gè)常數(shù)表示出對(duì)應(yīng)的，通過作差或作商進(jìn)行比較大?。畬?duì)數(shù)運(yùn)算要記住對(duì)數(shù)運(yùn)算中常見的運(yùn)算法則，尤其是換底公式以及0與1的對(duì)數(shù)表示．