【創(chuàng)新方案】年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十篇 統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例 第2講　用樣本估計(jì)總體教案 理 新人教版

第2講用樣本估計(jì)總體【2013年高考會(huì)這樣考】1考查樣本的頻率分布(分布表、直方圖、莖葉圖)中的有關(guān)計(jì)算，樣本特征數(shù)(眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)的計(jì)算主要以選擇題、填空題為主2考查以樣本的分布估計(jì)總體的分布(以樣本的頻率估計(jì)總體的頻率、以樣本的特征數(shù)估計(jì)總體的特征數(shù))【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1由于高考對統(tǒng)計(jì)考查的覆蓋面廣，幾乎對所有的統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)都有所涉及，其中頻率分布直方圖、均值與方差、莖葉圖是核心考點(diǎn)，需要好好掌握復(fù)習(xí)時(shí)，對于統(tǒng)計(jì)的任何環(huán)節(jié)都不能遺漏，最主要的是掌握好統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識，適度的題量練習(xí)2高考對頻率分布直方圖或莖葉圖與概率相結(jié)合的題目考查日益頻繁因此，復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，弄清圖表中有關(guān)量的含義，并從中提煉出有用的信息，為后面的概率計(jì)算打好基礎(chǔ)基礎(chǔ)梳理1頻率分布直方圖(1)通常我們對總體作出的估計(jì)一般分成兩種：一種是用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布；另一種是用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征(2)作頻率分布直方圖的步驟求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)決定組距與組數(shù)將數(shù)據(jù)分組列頻率分布表畫頻率分布直方圖(3)在頻率分布直方圖中，縱軸表示，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示各小長方形的面積總和等于1.2頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)，就得頻率分布折線圖(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來越接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線3莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個(gè)突出的優(yōu)點(diǎn)：一是統(tǒng)計(jì)圖上沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時(shí)記錄，隨時(shí)添加，方便記錄與表示4樣本方差與標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)樣本的元素為x1，x2，xn，樣本的平均數(shù)為，(1)樣本方差：s2(x1)2(x2)2(xn)2(2)樣本標(biāo)準(zhǔn)差：s .兩個(gè)異同(1)眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的異同眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，平均數(shù)是最重要的量由于平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，所以，任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變，這是中位數(shù)、眾數(shù)都不具有的性質(zhì). 眾數(shù)考查各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，其大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，其眾數(shù)往往更能反映問題某些數(shù)據(jù)的變動(dòng)對中位數(shù)可能沒有影響中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中，也可能不在所給數(shù)據(jù)中當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，可用中位數(shù)描述其集中趨勢(2)標(biāo)準(zhǔn)差與方差的異同標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度就越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度則越小，因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的，但在解決實(shí)際問題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差三個(gè)特征利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征：(1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)值(2)平均數(shù)：平均數(shù)的估計(jì)值等于每個(gè)小矩形的面積乘以矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之和(3)眾數(shù)：最高的矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)雙基自測1(人教A版教材習(xí)題改編)某工廠生產(chǎn)滾珠，從某批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取8粒，量得直徑分別為(單位：mm)：14.7,14.6,15.1,15.0,14.8,15.1,15.0,14.9，則估計(jì)該廠生產(chǎn)的滾珠直徑的平均數(shù)為()A14.8 mm B14.9 mmC15.0 mm D15.1 mm解析平均數(shù)(14.714.615.115.014.815.115.014.9)14.9 (mm)答案B2(2012合肥月考)一個(gè)容量為100的樣本，其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù)如下：組別(0,10(10,20(20,30(30,40(40,50(50,60(60,70頻數(shù)1213241516137則樣本數(shù)據(jù)落在(10,40上的頻率為()A0.13 B0.39C0.52 D0.64解析由列表可知樣本數(shù)據(jù)落在(10,40上的頻數(shù)為52，故其頻率為0.52.答案C3(人教A版教材習(xí)題改編)10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，則這一天10名工人生產(chǎn)的零件的中位數(shù)是()A14 B16 C15 D17解析將這組數(shù)據(jù)從小到大排列得10,12,14,14,15,15,16,17,17,19.故中位數(shù)為15.答案C4.某雷達(dá)測速區(qū)規(guī)定：凡車速大于或等于70 km/h的汽車視為“超速”，并將受到處罰，如圖是某路段的一個(gè)檢測點(diǎn)對200輛汽車的車速進(jìn)行檢測所得結(jié)果的頻率分布直方圖，則從圖中可以看出被處罰的汽車大約有()A30輛 B40輛 C60輛 D80輛解析由題圖可知，車速大于或等于70 km/h的汽車的頻率為0.02100.2，則將被處罰的汽車大約有2000.240(輛)答案B5(2011江蘇)某老師從星期一到星期五收到的信件數(shù)分別為10,6,8,5,6，則該組數(shù)據(jù)的方差s2_.解析平均數(shù)7.s2(107)2(67)2(87)2(57)2(67)2(91141)3.2.答案3.2考向一頻率分布直方圖的繪制與應(yīng)用【例1】某校從參加高一年級期中考試的學(xué)生中隨機(jī)抽出60名學(xué)生，將其物理成績(均為整數(shù))分成六段40,50)，50,60)，90,100后得到如圖所示的頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：(1)求分?jǐn)?shù)在70,80)內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；(2)統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，據(jù)此估計(jì)本次考試中的平均分審題視點(diǎn) 利用各小長方形的面積和等于1求70,80)內(nèi)的頻率解(1)設(shè)分?jǐn)?shù)在70,80)內(nèi)的頻率為x，根據(jù)頻率分布直方圖，有(0.0100.01520.0250.005)10x1，可得x0.3，所以頻率分布直方圖如圖所示(2)平均分為：x450.1550.15650.15750.3850.25950.0571(分) 頻率分布直方圖直觀形象地表示了樣本的頻率分布，從這個(gè)直方圖上可以求出樣本數(shù)據(jù)在各個(gè)組的頻率分布根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本(或者總體)的平均值時(shí)，一般是采取組中值乘以各組的頻率的方法【訓(xùn)練1】 (2011湖北)有一個(gè)容量為200的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計(jì)，樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間10,12)內(nèi)的頻數(shù)為() A18 B36C54 D72解析樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間10,12)內(nèi)的頻率1(0.190.150.050.02)20.18，所以數(shù)據(jù)落在此區(qū)間的頻數(shù)為2000.1836.答案B考向二莖葉圖的應(yīng)用【例2】如圖是某青年歌手大獎(jiǎng)賽上七位評委為甲、乙兩名選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖(其中m為數(shù)字09中的一個(gè))，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，甲、乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為a1、a2，則一定有()Aa1a2Ba2a1Ca1a2Da1，a2的大小與m的值有關(guān)審題視點(diǎn) 去掉的最低分和最高分就是第一行和第三行的數(shù)據(jù)，剩下的數(shù)我們只要計(jì)算其葉上數(shù)字之和，即可對問題作出結(jié)論解析去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，甲選手葉上的數(shù)字之和是20，乙選手葉上的數(shù)字之和是25，故a2a1.故選B.答案B 由于莖葉圖完全反映了所有的原始數(shù)據(jù)，解決由莖葉圖給出的統(tǒng)計(jì)圖表試題時(shí)，就要充分使用這個(gè)圖表提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算或者是對某些問題作出判斷，這類試題往往伴隨著對數(shù)據(jù)組的平均值或者是方差的計(jì)算等【訓(xùn)練2】 在一項(xiàng)大西瓜品種的實(shí)驗(yàn)中，共收獲甲種大西瓜13個(gè)、乙種大西瓜11個(gè)，并把這些大西瓜的重量(單位：斤，1斤500克)制成了莖葉圖，如圖所示，據(jù)此莖葉圖寫出對甲乙兩種大西瓜重量的兩條統(tǒng)計(jì)結(jié)論是：(1)_；(2)_解析從這個(gè)莖葉圖可以看出，甲種大西瓜的重量大致對稱，平均重量、眾數(shù)及中位數(shù)都是30多斤；乙種大西瓜的重量除了一個(gè)51斤外，也大致對稱，平均重量、眾數(shù)及中位數(shù)都是20多斤，但甲種大西瓜的產(chǎn)量比乙種穩(wěn)定，總體情況比乙好答案(1)甲種大西瓜的平均重量大于乙種大西瓜(2)甲種大西瓜的產(chǎn)量比乙種大西瓜穩(wěn)定考向三用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征【例3】甲乙二人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；(2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價(jià)審題視點(diǎn) (1)先通過圖象統(tǒng)計(jì)出甲、乙二人的成績；(2)利用公式求出平均數(shù)、方差，再分析兩人的成績，作出評價(jià)解(1)由圖象可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分. 甲13，乙13，s(1013)2(1313)2(1213)2(1413)2(1613)24，s(1313)2(1413)2(1213)2(1213)2(1413)20.8.(2)由ss可知乙的成績較穩(wěn)定從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動(dòng)，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高 平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動(dòng)大小【訓(xùn)練3】 甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員參加某大型運(yùn)動(dòng)會(huì)的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績?nèi)缦卤?單位：環(huán))：甲108999乙1010799如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應(yīng)是_解析甲乙9環(huán)，s(910)2(98)2(99)2(99)2(99)2，s(910)2(910)2(97)2(99)2(99)2s，故甲更穩(wěn)定，故填甲答案甲規(guī)范解答19怎樣解答莖葉圖與概率的綜合性問題【問題研究】 莖葉圖是一個(gè)將數(shù)據(jù)分成主、次兩部分，把主要部分當(dāng)做莖、次要部分當(dāng)作葉表達(dá)數(shù)據(jù)的一個(gè)圖，它是一種常用的統(tǒng)計(jì)圖.因此考題常將莖葉圖作為載體來考查平均數(shù)、方差以及概率問題.【解決方案】 首先對莖葉圖中的數(shù)據(jù)全面分析，然后再根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)解決其它問題.【示例】(本題滿分12分)(2011北京)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù)乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示(1)如果X8，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；(2)如果X9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19的概率(注：方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中為x1，x2，xn的平均數(shù)) 第(1)問直接套入公式求值；第(2)問利用古典概型的知識解決解答示范 (1)當(dāng)X8時(shí)，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8,8,9,10，所以平均數(shù)為.(2分)方差為s2.(5分)(2)記甲組四名同學(xué)為A1，A2，A3，A4，他們植樹的棵數(shù)依次為9,9,11,11；乙組四名同學(xué)為B1，B2，B3，B4，他們植樹的棵數(shù)依次為9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，所有可能的結(jié)果有16個(gè)，它們是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)，(9分)用C表示：“選出的兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19”這一事件，則C中的結(jié)果有4個(gè)，它們是：(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)故所求概率為P(C).(12分) 莖葉圖一般記錄兩組的數(shù)據(jù)，它最直觀、最清晰，但利用莖葉圖解決概率問題時(shí)對重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏9