天津大學化工數(shù)學偏微分方程演示文檔
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第七章:偏微分方程,,一、 幾個基本概念,,例:,1、方程的階數(shù),,方程中出現(xiàn)的最高階導數(shù)的階數(shù)即為方程的階數(shù),,一階,,二階,,,,,,2、線性、非線性、擬線性,,,,,方程經過有理化并消去分式后,若方程中沒有未知函數(shù)及其偏導數(shù)的乘積或冪等非線性項,稱該方程為線性,線性:,擬線性:,在非線性方程中,如果未知函數(shù)的所有最高階導數(shù)不是非線性,則稱此方程為擬線性,完全非線性:,除擬線性之外的非線性方程,,,,,二階,線性,二階,擬線性,二階,完全非線性,,,,,3、齊次、非齊次,,,,不含有未知函數(shù)及其偏導數(shù)的項,自由項:,自由項為零的方程,齊次方程:,自由項不為零的方程,非齊次方程:,非齊次,齊 次,,,,,,,,二、 二階線性偏微分方程的分類,,,,設,則二階線性偏微分方程一般可表示為:,,A,B,C,D,E,G,f 都是x,y的函數(shù),,,二階線性方程的分類 :,為方程中自變量域內任意一點,,,則分類判別條件如下:,(?。┤粼邳cM處有:,,則方程在該點處為雙曲線型,例如,,(ⅱ)若在點M處有:,,則方程在該點處為拋物線型,例如,,波動方程,熱傳導方程,,,,,,,,,,,,(ⅲ)若在點M處有:,則方程在該點處為橢圓型,例如,,,,例1:判別下列方程的分類,當 ,即 異號,M點在二、四象限內,,,該區(qū)域內方程是雙曲型,當 ,即 同號,M點在一、三象限內,,該區(qū)域內方程是橢圓型,當x或y為零,方程在x或y軸上是拋物型,拉普拉斯方程,,,,,,,,三、三種典型方程的建立,建立理論模型的原則步驟,① 抽象出系統(tǒng)的物化模型并簡化、假設,② 確定輸入、輸出變量和模型參數(shù),建立數(shù)學模型,③ 模型 求解,④ 檢驗和修正所得的模型,,,,,,,,1、均勻弦的微小橫振動方程的建立,設有一根均勻柔軟的細弦,張緊后兩端固定如圖, 給弦以擾動,使其產生振動。,確定弦上各點振動規(guī)律,即 確定位移 滿足的方程。,,,,,,,,,,,解:取一小微元段 ,分析受力情況,,x 方向:,u 方向:,,,,,,A,B,T1,T2,,,,,,,,,0,x,x+Δx,x,u,α1,α2,,G,,(1),(2),,,,,,,簡化假設,(1)弦是均勻的,所以質量均布,設單位長度弦的質量為 kg/m,(5)弦是絕對柔軟的,不能抗彎,因此弦上各點張力與該點切 線方向一致。,,(2)弦的細小的,自重相比于張力顯得很小,可以忽略。,(3)振動方向與弦長方向相垂直,且振動保持在一固定平面內,(4)振動是微小的,即弦上各點位移及弦的彎曲斜率很小,微元段的質量:,G = 0,x 方向無運動,即:,無外力的均勻弦微小橫振動方程,—— 齊次一維波動方程,x 方向:,u 方向:,,F(x,t),x 方向:,u 方向:,假設振動過程中, 除了張力外, 還有其它外力作用,,設單位長度弦上的橫向外力為,,弦的強迫振動方程,——非齊次一維波動方程,,,,,2、熱傳導方程,一根長為l的均勻細桿側面是絕熱,橫截面積足夠小以至,在任何時刻都可以把斷面上所有點的溫度看作是相同。,設桿的截面積為S,比熱為C,導熱系數(shù)為k,密度為ρ。,,,試確定溫度分布函數(shù) 滿足的方程。,,,,,x=0,x=l,,,,,,,x,x+Δx,,0,熱量衡算:輸入-輸出+產生=累計,一維熱傳導方程:,,,,,,x處輸入的熱速率:,x+Δx處輸出的熱速率:,微元段累計的熱速率:,,,,,,一維熱傳導方程,,一維波動方程,(無外力),(有外力),(無內熱源),,,,,三維熱傳導方程,,若物體內部有一個熱流,,,,,,T(x,y,z,t),,,,,,,,,,,,,,,其分布函數(shù)為,M(x,y,z),3、穩(wěn)態(tài)方程(拉普拉斯方程),熱傳導持續(xù)進行下去,如果達到穩(wěn)定狀態(tài),溫度的空間 分布不再變動,即,,則方程,變?yōu)?,,穩(wěn)態(tài)濃度分布方程,穩(wěn)態(tài)溫度分布方程,,,,,,三種典型方程,,,是方程,,其中f 是任意函數(shù) ,如,,,,,,的通解,可以驗證,對于方程:,可以驗證,為其通解,泛定方程,暫停:休息,四、定解條件和定解問題,1、初始條件(I.C.):,初始時刻的狀態(tài),,,(一)定解條件,例1 對于弦的微小橫振動問題,假設初始速度為零, 初始位移符合正弦函數(shù),,,,,初始條件給定的是整個系統(tǒng)的狀態(tài),而不是某個局部 (如入口、出口等)的狀態(tài)。,特別注意:,應是位置坐標的函數(shù)。,(1)第一類邊界條件—已知函數(shù),直接給出未知函數(shù) 在邊界 上的值,,,,(狄里赫利(Dirichlet)),,例2 一根弦長為l ,兩端固定進行微小橫振動 ,建立其邊界條件。,2、邊界條件(B.C.),,,例3 細桿導熱問題中,桿長l,兩端分別保持溫度 T1和T2 ,建立邊界條件。,,,(2)第二類邊界條件—已知導數(shù),(牛曼(Noumann)條件),例4 細桿導熱問題中,桿長l,一端絕熱,另一端有恒定熱流q輸入,試建立邊界條件。,,,,,,,,x=0,x=l,,,,,熱流輸出怎樣??,(3)第三類邊界條件——混合邊界條件,給出邊界上函數(shù)值與其法向導數(shù)構成的線性關系,,(Robin條件),,例4 細桿導熱問題中,桿長l,一端溫度為T0,另一端與溫度為T1的環(huán)境進行對流熱交換,試建立邊界條件。,,,,,x=0,x=l,,,,,,(4)積分—微分邊界條件,(5)銜接條件,,,內外層壁:,,,,,,,,,,,,,,,(二)定解問題,初值問題:,只有初始條件,沒有邊界條件的定解問題,邊值問題:,沒有初始條件,只有邊界條件的定解問題,混合問題:,既有初始條件又有邊界條件的定解問題,定解問題,,泛定方程(P.D.E),定解條件,,初始條件(B.C.),邊界條件(I.C.),五、線性迭加原理,所謂迭加:即幾種不同因素綜合作用于系統(tǒng),產生 的效果等于各因素獨立作用產生的效果之總和,線性迭加原理:,,則級數(shù) 也是該方程之解,,,假設函數(shù),是線性齊次微分方程,的特解。,(i=1,2……),,,,,,,,,,,,六、分離變量法,例1、設兩端固定的有界弦微小自由橫振動過程, 初始位移為φ(x),初始速度為ψ(x),,解:(1)分離變量,,設,(1),(2),(3),(4),到33頁,,代入方程式(1)得,分離變量得,,=,設,于是可得到兩個常微分方程,,,到35頁,,=,,,=,+,,,,,,,,,,,對于二階線性常系數(shù)常微分方程:,,,先求特征方程的解:,分三種情況,(ⅰ)特征方程的根r1,r2為實數(shù)時,復 習,,,,(ⅱ)特征方程的根r1=r2=r為重實數(shù)時,(ⅲ)特征方程的根為復數(shù),即 r1=α+βi r2= α - β i,,返回31頁,,,,,,由邊界條件式(2)知,,,,,因為,所以只能,(5),(6),,,,,,(?。┰Oλ>0,則方程式(5)通解為,(5),,,由,,,由,,,,(2)解定解問題,——解固有值問題,到37頁,,,解上述線性代數(shù)方程組得:,即,,所以,,(ⅱ)設λ =0,方程(5)通解為,,由,,由,,,,,,即,所以,(ⅲ)設λ <0,,,令 ,,此時通解為,,由,,由,,,,,,,,,,,因為B不能為零,所以只能,,,所以,,-稱為固有值(或本征值),---稱為固有函數(shù)(或本征函數(shù)),(7),返回36頁,返回54頁,(3)求解不構成本征問題的常微分方程的通解,(6),將 代入上式,,(8),將式(7)與式(8)相乘,得到一組特解,,其中, 是任意常數(shù),,(8),(7),,,,,,,(4)應用線性疊加原理求,,,(5)由傅里葉級數(shù)確定系數(shù),,,(9),暫停:休息,復習,f(x)在〔-l,l〕區(qū)間上的傅里葉展開式:,在〔0,l〕區(qū)間上的只有余弦項的傅里葉展開式:,在〔0,l〕區(qū)間上的只有正弦項的傅里葉展開式:,傅里葉展開是基于三角函數(shù)的正交性,,,,,,,根據(jù)正交性可直接確定系數(shù):,,,,(10),,,,,,,,至此, (9)~(11)即構成了例1中定解問題的解,(11),總結分離變量求解的關鍵點,1、假設,代入齊次方程進行分離變量;,2、分離齊次邊界條件,組構本征值問題,并求解確定 本征值本征函數(shù);,3、求解另外一個常微分方程;,4、用線性疊加原理寫出問題的解;,5、代入初始條件,并用傅里葉展開法確定解中的常數(shù)。,例 2 一維導熱問題(第三邊值條件),長為l 的均勻細桿,其側面(圓弧面)絕熱,桿的一端保持在0℃狀態(tài)下,另一端則與溫度為0℃環(huán)境介質進行自由熱交換。假設初始時刻溫度分布為φ(x)。試確定桿上各點溫度隨時間變化規(guī)律。,,,(1),(2),(3),(4),到第52頁,(1)分離變量,設,,,,代入方程(1)得:,于是得:,(5),(6),比較波動問題得到兩個常微分方程 :,,,,返回上一頁,由邊界條件式(2)(3)知,,,(2) 解本征值問題,(7),(8),式(5)與式(7)、式(8)構成本征值問題,,,,,,,同前述同樣方法討論本征值λ的三種取值情況,經討論僅當λ<0時才有非零解,,設,于是方程式(5)通解為,,由式(7)得,由式(8)得,,,,則,,,即,,,得本征值,(n =1,2,3… ),得本征函數(shù),,(,(3) 將本征值代入式(6)并求解,,(4)由線性迭加原理得定解問題級數(shù)形式解,,,,(Cn =BnAn),(5)確定系數(shù),,,由初始條件,,,由本證函數(shù)的正交性,,,,,,,,,,,例 3、求解穩(wěn)態(tài)問題,,解:(1)分離變量,,設,(1),(2),(3),,能否用分離變量法 求解???,能!!,,代入方程式(1)得,分離變量得,,=,設,于是可得到兩個常微分方程,,,—,由邊界條件(3),,(5),(6),,(5),,,(2)解本征值問題,,,憑經驗當λ <0,時有非零解,令,由,,由,,因為B不能為零能,,,,,,,,,,,,所以,,(7),,(3)求解不構成本征問題的常微分方程的通解,,(6),,將 代入上式,,,(8),,(,將式(7)與式(8)相乘,得到一組特解,,其中, 是任意常數(shù),,,,,,,,(4)應用線性疊加原理求,,,(5)由傅里葉級數(shù)確定系數(shù),,,,(9),(10),(9),,n 為偶數(shù)時,n 為奇數(shù)時,1、只能用分離變量法直接求解齊次方程、 齊次邊界定解問題,2、本征值和本征函數(shù)由邊界條件類型確定,3、另外一個二階常微分方程的形式及解 由泛定方程的類型確定,總 結,(b),(c),,,(d),,,,,,,,(a),一維波動問題,一維熱傳導問題,二維穩(wěn)態(tài)問題,暫停:休息,,七、非齊次邊界的處理,方法: 將定解問題(A)轉化為齊次邊界問題,(A),,設,使 滿足相應的齊次邊界條件,即,,,(1),(2),(3),(4),(5),,則,,設,由條件式(6)確定:,(6),(7),,,則,由條件式(7)確定:,將以上結果代入,,(B),,(a),,(a),(b),,,(c),,,(d),,,則V(x,t)滿足的定解問題為:,設,,例4,設一均勻細桿,初始時全桿有一均一溫度 ,然后 使其一端保持不變溫度 ,另一端則有恒定的熱流 輸入,試求溫度分布規(guī)律。,,,解:問題可由下述數(shù)學形式表述,(1),(2),(3),,設,,使,,則,,,設,則由式(6)求得,,(4),(5),(6),(7),,,則,代入原問題得,,,,設,,,W(x,t),,,,由經驗,知 唯 時有解,,,設,則,,由邊界,得,,,所以,,(,=0,1,2……),(n = 0,1,2……),,于是固有函數(shù)為,,,,最后由初始條件定常數(shù),,,,,暫停:休息,八、非齊次的泛定方程,,,設,,,,,,,,,,例 5 兩端固定的弦的強迫振動問題,,=0,,,設,解:,,,,而,(1),(2),(3),(4),(5),轉到82頁,(b),(c),,,(d),,,,,,,,(a),返回上一頁,將式(4),式(5)代入式(1)得,,所以,,,將式(3),,,,,,代入所設:,,,這里,(5),(6),(7),(8),根據(jù)傅立葉展開,于是有:,,,,,,因已設,,,,設,,則,(6),對方程式(6)兩邊拉氏變換,,,,由卷積定理知,,=,,,,,暫停:休息,例 6 用本征函數(shù)系展開法解非齊次熱傳導問題,,,,,解:,,,(1),(2),(3),,,,,將上兩式代入方程式(1)得,,,,,=0,由初始條件式(3),,,,于是方程(5)解為,,所以:,,最終解為,(4),(5),,,于是方程(4)解為,,★ 重點掌握的內容: 拉氏變換的定義和前5條性質;三種常用求解逆變換的方法;應用-求解常微分方程,積分-微分方程的方法。,★ 本章主要內容: 1、拉氏變換的概念和性質; 2、求拉氏逆變換的方法; 3、拉氏變化的應用,如何求解微分、積分方 程、差分方程等。,第五章:拉普拉斯變換,第六章:場論初步,★ 本章重點內容: 1、方向導數(shù)、通量、環(huán)量的概念及計算; 2、梯度、散度、旋度的概念及計算; 3、散度定理、斯托克斯定理; 4、無源場、有勢場(勢函數(shù))、調和場(調和函數(shù))概念、性質及計算; 5、會用用場論方法簡單的建模,重點是課上講的例題。,第七章:偏微分方程,★ 本章重點內容: 1、會用分離變量法求解二階齊次方程、齊次邊界問題; 2、會建立簡單的方程(類似三種典型方程)和定解條件; 3、掌握方程的分類和線性性判別; 4、了解非齊次邊界處理方法和非齊次方程的本征函數(shù)求解方法,2012級化工數(shù)學期末考試信息,時間:2014.6.30(第19周周一)?:00—?:00,地點:?樓?,,,,,,,,,,,,,,,(?。┰Oλ>0,則方程式(5)通解為,由,,由,,,,解上述線性代數(shù)方程組得:,即,,所以,,(ⅱ)設λ =0,方程(5)通解為,,由,,由,,即,,,,,,,(ⅲ)設λ <0,,,令 ,,此時通解為,,由,,由,,所以綜合有:,---稱為固有函數(shù)(或本征函數(shù)),(7),返回88頁,,- 配套講稿:
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