天津大學(xué)化工數(shù)學(xué)偏微分方程演示文檔
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第七章:偏微分方程,一、 幾個(gè)基本概念,例:,1、方程的階數(shù),方程中出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)即為方程的階數(shù),一階,二階,2、線性、非線性、擬線性,方程經(jīng)過(guò)有理化并消去分式后,若方程中沒(méi)有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的乘積或冪等非線性項(xiàng),稱該方程為線性,線性:,擬線性:,在非線性方程中,如果未知函數(shù)的所有最高階導(dǎo)數(shù)不是非線性,則稱此方程為擬線性,完全非線性:,除擬線性之外的非線性方程,二階,線性,二階,擬線性,二階,完全非線性,3、齊次、非齊次,不含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng),自由項(xiàng):,自由項(xiàng)為零的方程,齊次方程:,自由項(xiàng)不為零的方程,非齊次方程:,非齊次,齊 次,二、 二階線性偏微分方程的分類,,,設(shè),則二階線性偏微分方程一般可表示為:,A,B,C,D,E,G,f 都是x,y的函數(shù),二階線性方程的分類 :,為方程中自變量域內(nèi)任意一點(diǎn),,則分類判別條件如下:,()若在點(diǎn)M處有:,則方程在該點(diǎn)處為雙曲線型,例如,()若在點(diǎn)M處有:,則方程在該點(diǎn)處為拋物線型,例如,波動(dòng)方程,熱傳導(dǎo)方程,()若在點(diǎn)M處有:,則方程在該點(diǎn)處為橢圓型,例如,例1:判別下列方程的分類,當(dāng) ,即 異號(hào),M點(diǎn)在二、四象限內(nèi),,該區(qū)域內(nèi)方程是雙曲型,當(dāng) ,即 同號(hào),M點(diǎn)在一、三象限內(nèi),,該區(qū)域內(nèi)方程是橢圓型,當(dāng)x或y為零,方程在x或y軸上是拋物型,拉普拉斯方程,三、三種典型方程的建立,建立理論模型的原則步驟, 抽象出系統(tǒng)的物化模型并簡(jiǎn)化、假設(shè), 確定輸入、輸出變量和模型參數(shù),建立數(shù)學(xué)模型, 模型 求解, 檢驗(yàn)和修正所得的模型,1、均勻弦的微小橫振動(dòng)方程的建立,設(shè)有一根均勻柔軟的細(xì)弦,張緊后兩端固定如圖,給弦以擾動(dòng),使其產(chǎn)生振動(dòng)。,確定弦上各點(diǎn)振動(dòng)規(guī)律,即 確定位移 滿足的方程。,解:取一小微元段 ,分析受力情況,x 方向:,u 方向:,A,B,T1,T2,0,x,xx,x,u,1,2,G,(1),(2),簡(jiǎn)化假設(shè),(1)弦是均勻的,所以質(zhì)量均布,設(shè)單位長(zhǎng)度弦的質(zhì)量為 kg/m,(5)弦是絕對(duì)柔軟的,不能抗彎,因此弦上各點(diǎn)張力與該點(diǎn)切 線方向一致。,(2)弦的細(xì)小的,自重相比于張力顯得很小,可以忽略。,(3)振動(dòng)方向與弦長(zhǎng)方向相垂直,且振動(dòng)保持在一固定平面內(nèi),(4)振動(dòng)是微小的,即弦上各點(diǎn)位移及弦的彎曲斜率很小,微元段的質(zhì)量:,G = 0,x 方向無(wú)運(yùn)動(dòng),即:,無(wú)外力的均勻弦微小橫振動(dòng)方程, 齊次一維波動(dòng)方程,x 方向:,u 方向:,F(x,t),x 方向:,u 方向:,假設(shè)振動(dòng)過(guò)程中,除了張力外,還有其它外力作用,,設(shè)單位長(zhǎng)度弦上的橫向外力為,弦的強(qiáng)迫振動(dòng)方程,非齊次一維波動(dòng)方程,2、熱傳導(dǎo)方程,一根長(zhǎng)為l的均勻細(xì)桿側(cè)面是絕熱,橫截面積足夠小以至,在任何時(shí)刻都可以把斷面上所有點(diǎn)的溫度看作是相同。,設(shè)桿的截面積為S,比熱為C,導(dǎo)熱系數(shù)為k,密度為。,試確定溫度分布函數(shù) 滿足的方程。,x=0,x=l,x,x+x,0,熱量衡算:輸入輸出產(chǎn)生累計(jì),一維熱傳導(dǎo)方程:,x處輸入的熱速率:,xx處輸出的熱速率:,微元段累計(jì)的熱速率:,一維熱傳導(dǎo)方程,一維波動(dòng)方程,(無(wú)外力),(有外力),(無(wú)內(nèi)熱源),三維熱傳導(dǎo)方程,若物體內(nèi)部有一個(gè)熱流,,T(x,y,z,t),其分布函數(shù)為,M(x,y,z),3、穩(wěn)態(tài)方程(拉普拉斯方程),熱傳導(dǎo)持續(xù)進(jìn)行下去,如果達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),溫度的空間分布不再變動(dòng),即,則方程,變?yōu)?穩(wěn)態(tài)濃度分布方程,穩(wěn)態(tài)溫度分布方程,三種典型方程,是方程,其中f 是任意函數(shù) ,如,的通解,可以驗(yàn)證,對(duì)于方程:,可以驗(yàn)證,為其通解,泛定方程,暫停:休息,四、定解條件和定解問(wèn)題,1、初始條件(I.C.):,初始時(shí)刻的狀態(tài),(一)定解條件,例1 對(duì)于弦的微小橫振動(dòng)問(wèn)題,假設(shè)初始速度為零, 初始位移符合正弦函數(shù),初始條件給定的是整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài),而不是某個(gè)局部(如入口、出口等)的狀態(tài)。,特別注意:,應(yīng)是位置坐標(biāo)的函數(shù)。,(1)第一類邊界條件已知函數(shù),直接給出未知函數(shù) 在邊界 上的值,(狄里赫利(Dirichlet),例2 一根弦長(zhǎng)為l ,兩端固定進(jìn)行微小橫振動(dòng) ,建立其邊界條件。,2、邊界條件(B.C.),例3 細(xì)桿導(dǎo)熱問(wèn)題中,桿長(zhǎng)l,兩端分別保持溫度T1和T2 ,建立邊界條件。,(2)第二類邊界條件已知導(dǎo)數(shù),(牛曼(Noumann)條件),例4 細(xì)桿導(dǎo)熱問(wèn)題中,桿長(zhǎng)l,一端絕熱,另一端有恒定熱流q輸入,試建立邊界條件。,x=0,x=l,熱流輸出怎樣?,(3)第三類邊界條件混合邊界條件,給出邊界上函數(shù)值與其法向?qū)?shù)構(gòu)成的線性關(guān)系,(Robin條件),例4 細(xì)桿導(dǎo)熱問(wèn)題中,桿長(zhǎng)l,一端溫度為T0,另一端與溫度為T1的環(huán)境進(jìn)行對(duì)流熱交換,試建立邊界條件。,x=0,x=l,(4)積分微分邊界條件,(5)銜接條件,內(nèi)外層壁:,(二)定解問(wèn)題,初值問(wèn)題:,只有初始條件,沒(méi)有邊界條件的定解問(wèn)題,邊值問(wèn)題:,沒(méi)有初始條件,只有邊界條件的定解問(wèn)題,混合問(wèn)題:,既有初始條件又有邊界條件的定解問(wèn)題,定解問(wèn)題,泛定方程(P.D.E),定解條件,初始條件(B.C.),邊界條件(I.C.),五、線性迭加原理,所謂迭加:即幾種不同因素綜合作用于系統(tǒng),產(chǎn)生的效果等于各因素獨(dú)立作用產(chǎn)生的效果之總和,線性迭加原理:,則級(jí)數(shù) 也是該方程之解,假設(shè)函數(shù),是線性齊次微分方程,的特解。,(i=1,2),六、分離變量法,例1、設(shè)兩端固定的有界弦微小自由橫振動(dòng)過(guò)程, 初始位移為(x),初始速度為(x),解:(1)分離變量,設(shè),(1),(2),(3),(4),到33頁(yè),代入方程式(1)得,分離變量得,=,設(shè),于是可得到兩個(gè)常微分方程,到35頁(yè),=,=,+,對(duì)于二階線性常系數(shù)常微分方程:,先求特征方程的解:,分三種情況,()特征方程的根r1,r2為實(shí)數(shù)時(shí),復(fù) 習(xí),()特征方程的根r1=r2=r為重實(shí)數(shù)時(shí),()特征方程的根為復(fù)數(shù),即 r1=+i r2= - i,返回31頁(yè),由邊界條件式(2)知,因?yàn)?所以只能,(5),(6),()設(shè)0,則方程式(5)通解為,(5),由,由,(2)解定解問(wèn)題,解固有值問(wèn)題,到37頁(yè),解上述線性代數(shù)方程組得:,即,所以,()設(shè) =0,方程(5)通解為,由,由,即,所以,()設(shè) 0,,令 ,,此時(shí)通解為,由,由,因?yàn)锽不能為零,所以只能,所以,稱為固有值(或本征值),-稱為固有函數(shù)(或本征函數(shù)),(7),返回36頁(yè),返回54頁(yè),(3)求解不構(gòu)成本征問(wèn)題的常微分方程的通解,(6),將 代入上式,(8),將式(7)與式(8)相乘,得到一組特解,其中, 是任意常數(shù),(8),(7),(4)應(yīng)用線性疊加原理求,(5)由傅里葉級(jí)數(shù)確定系數(shù),(9),暫停:休息,復(fù)習(xí),f(x)在l,l區(qū)間上的傅里葉展開式:,在0,l區(qū)間上的只有余弦項(xiàng)的傅里葉展開式:,在0,l區(qū)間上的只有正弦項(xiàng)的傅里葉展開式:,傅里葉展開是基于三角函數(shù)的正交性,根據(jù)正交性可直接確定系數(shù):,(10),至此, (9)(11)即構(gòu)成了例1中定解問(wèn)題的解,(11),總結(jié)分離變量求解的關(guān)鍵點(diǎn),1、假設(shè),代入齊次方程進(jìn)行分離變量;,2、分離齊次邊界條件,組構(gòu)本征值問(wèn)題,并求解確定 本征值本征函數(shù);,3、求解另外一個(gè)常微分方程;,4、用線性疊加原理寫出問(wèn)題的解;,5、代入初始條件,并用傅里葉展開法確定解中的常數(shù)。,例 2 一維導(dǎo)熱問(wèn)題(第三邊值條件),長(zhǎng)為l 的均勻細(xì)桿,其側(cè)面(圓弧面)絕熱,桿的一端保持在0狀態(tài)下,另一端則與溫度為0環(huán)境介質(zhì)進(jìn)行自由熱交換。假設(shè)初始時(shí)刻溫度分布為(x)。試確定桿上各點(diǎn)溫度隨時(shí)間變化規(guī)律。,(1),(2),(3),(4),到第52頁(yè),(1)分離變量,設(shè),代入方程(1)得:,于是得:,(5),(6),比較波動(dòng)問(wèn)題得到兩個(gè)常微分方程 :,返回上一頁(yè),由邊界條件式(2)(3)知,(2) 解本征值問(wèn)題,(7),(8),式(5)與式(7)、式(8)構(gòu)成本征值問(wèn)題,同前述同樣方法討論本征值的三種取值情況,經(jīng)討論僅當(dāng)0時(shí)才有非零解,設(shè),于是方程式(5)通解為,由式(7)得,由式(8)得,則,即,得本征值,(n =1,2,3 ),得本征函數(shù),(,(3) 將本征值代入式(6)并求解,(4)由線性迭加原理得定解問(wèn)題級(jí)數(shù)形式解,(Cn =BnAn),(5)確定系數(shù),由初始條件,由本證函數(shù)的正交性,例 3、求解穩(wěn)態(tài)問(wèn)題,解:(1)分離變量,設(shè),(1),(2),(3),能否用分離變量法 求解?,能!,代入方程式(1)得,分離變量得,=,設(shè),于是可得到兩個(gè)常微分方程,由邊界條件(3),(5),(6),(5),(2)解本征值問(wèn)題,憑經(jīng)驗(yàn)當(dāng) 0,則方程式(5)通解為,由,由,解上述線性代數(shù)方程組得:,即,所以,()設(shè) =0,方程(5)通解為,由,由,即,()設(shè) 0,,令 ,,此時(shí)通解為,由,由,所以綜合有:,-稱為固有函數(shù)(或本征函數(shù)),(7),返回88頁(yè),- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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