泰勒公式及其應(yīng)用畢業(yè)論文2

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1、 本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì)) 論文題目：泰勒公式及其應(yīng)用 學(xué)生姓名： 學(xué) 號(hào)： 專(zhuān) 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級(jí)： 指導(dǎo)教師： 完成日期：2012年 5月20日 泰勒公式及其應(yīng)用 內(nèi) 容 摘 要 本文介紹泰勒公式及其應(yīng)用，分為兩大部分：第一部分介紹了泰勒公式的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，包括帶Lagrange余項(xiàng)、帶Peano余項(xiàng)兩類(lèi)不同泰勒公式；第二部分通

2、過(guò)詳細(xì)的例題介紹了泰勒公式在八個(gè)方面的應(yīng)用. 通過(guò)本文的閱讀，可以提高對(duì)泰勒公式及其應(yīng)用的認(rèn)識(shí)，明確其在解題中的作用，為我們以后更好的應(yīng)用它解決實(shí)際問(wèn)題打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 關(guān)鍵詞：泰勒公式 Lagrange余項(xiàng) Peano余項(xiàng) 應(yīng)用 The Taylor Formula and The Application Of Taylor Formula Abstract This paper focuses on Taylor formula and the application of Taylor for

3、mula. It has two parts. The first part of this paper introduces the basic knowledge of the Taylor formula,Including Taylor formula with Lagrange residual term and with Peano residual term. With the detailed examples,The second part introduces eight applications of Taylor formula. By reading this pa

4、per,you can build a preliminary understanding of Taylor formula,define the function in problem solving ,in the later application that can be a good reference. Key Words: Taylor formula Lagrange residual term Peano residual term application 目 錄 一、泰勒公式 1 （一）帶Lagrange余項(xiàng)的泰勒公式 1 （二）帶

5、Peano余項(xiàng)的泰勒公式 2 二、公式的應(yīng)用 3 （一）、泰勒公式在近似運(yùn)算上的應(yīng)用 3 （二）、泰勒公式在求極限中的應(yīng)用 5 （三）、泰勒公式在方程中的應(yīng)用 6 （四）、泰勒公式在中值公式證明中的應(yīng)用 8 （五）、泰勒公式在有關(guān)于界的估計(jì)中的應(yīng)用 9 （六）、泰勒公式在證明不等式中的應(yīng)用 10 （七）、泰勒公式在級(jí)數(shù)中的應(yīng)用 11 （八）、泰勒公式在求高階導(dǎo)數(shù)值中的應(yīng)用 13 三、結(jié) 論 14 參 考 文 獻(xiàn) 15 序 言 泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，它將一些復(fù)雜函數(shù)近似地表

6、示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù).這種化繁為簡(jiǎn)的功能，使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力杠桿. 因?yàn)樘├展皆诮鉀Q一些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的確有著不可替代的作用，故有關(guān)它的理論在教材中一般都有比較詳細(xì)的介紹，而關(guān)于它的應(yīng)用則介紹甚少或不全面.本文比較詳細(xì)地介紹了泰勒公式在近似計(jì)算、求極值、方程、證明中值公式、關(guān)于界的估計(jì)、證明不等式、級(jí)數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)值等方面的應(yīng)用.作者在閱讀了大量參考文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)例題給出了泰勒公式的許多應(yīng)用，使我們能更直接的看到泰勒公式在各方面的運(yùn)用. 一、泰勒公式 對(duì)于函數(shù)，設(shè)它在點(diǎn)存在直到階的導(dǎo)數(shù).由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)造一個(gè)次多項(xiàng)式 ， 稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒多項(xiàng)式. 泰勒公式

7、根據(jù)所帶的余項(xiàng)的不同有不同的定義.泰勒公式的余項(xiàng)分為兩類(lèi)，一類(lèi)是定量的，一類(lèi)是定性的，它們的本質(zhì)相同，但性質(zhì)各異.下面我們來(lái)介紹一下： （一）帶Lagrange余項(xiàng)的泰勒公式 對(duì)于這種泰勒公式，Lagrange余項(xiàng)是一種定量形式. 定理1 若函數(shù)在上存在直到階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在直到階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的，至少存在一點(diǎn)，使得 ， 該式稱(chēng)為（帶有Lagrange余項(xiàng)的）泰勒公式. 證明 作輔助函數(shù) ，， 所以要證明的式子即為 . 不妨設(shè)，則與在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)， 且 ， 又因，所以由柯西中值定理證得 ，

8、 其中. 所以定理1成立. （二）帶Peano余項(xiàng)的泰勒公式 對(duì)于這種泰勒公式，Peano余項(xiàng)是一種定性形式. 定理2 若函數(shù)在點(diǎn)存在直到階導(dǎo)數(shù)，則有，即 ， 稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)處的（帶有Peano余項(xiàng)的）泰勒公式，該公式定性的說(shuō)明當(dāng)趨于時(shí)，逼近誤差是較高階的無(wú)窮小量. 證明 設(shè) ，， 現(xiàn)在只需證 . 由可知， . 并易知 ， 因?yàn)榇嬖?，所以在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù).于是，當(dāng) 且時(shí)，允許接連使用洛必達(dá)（LHospital）法則次，得到 所以定理2成立. 當(dāng)時(shí)，得到泰勒公式 ，

9、 該式稱(chēng)為（帶有Lagrange余項(xiàng)的）麥克勞林公式. 當(dāng)上式中時(shí)有 ， 它稱(chēng)為（帶有Peano余項(xiàng)的）麥克勞林公式. 二、公式的應(yīng)用 （一）、泰勒公式在近似運(yùn)算上的應(yīng)用 利用泰勒公式可以得到函數(shù)的近似計(jì)算式和一些數(shù)值的近似計(jì)算，利用麥克勞林展開(kāi)得到函數(shù)的近似計(jì)算式為 ， 其誤差是余項(xiàng). 例1：計(jì)算的值，使其誤差不超過(guò). 解 應(yīng)用泰勒公式有 ，， 估， 當(dāng)時(shí)，便有 ， 從而略去而求得的近似值為. 例2: 求的近似值，精確到. 解 因?yàn)橹械谋环e函數(shù)是不可積的（即不能用初級(jí)函數(shù)表達(dá)），現(xiàn)用泰勒公式的方法 求的近似值. 在的展開(kāi)式中

10、以代替得， 逐項(xiàng)積分，得 ， 上式右端為一個(gè)收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由其余項(xiàng)的估計(jì)式知 ， 所以 . 由于泰勒公式可以將一些復(fù)雜函數(shù)近似地表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)，所以當(dāng)選定函數(shù)中的自變量時(shí)，就可以進(jìn)行近似計(jì)算.在這個(gè)應(yīng)用中主要注意選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，然后運(yùn)用麥克勞林展開(kāi)式，帶入數(shù)值. （二）、泰勒公式在求極限中的應(yīng)用 為了簡(jiǎn)化極限運(yùn)算，有時(shí)可用某項(xiàng)的泰勒展開(kāi)式來(lái)代替該項(xiàng)，使得原來(lái)函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為類(lèi)似多項(xiàng)式有理式的極限，就能簡(jiǎn)潔的求出.接下來(lái)我們用兩個(gè)例子來(lái)說(shuō)明： 例3：求極限. 解 考慮到極限式的分母為，我們用麥克勞林公式表示極限的分子（?。? ，

11、 ， ， 因而求得，. 例4: 求極限 . 解 ， ， 原式==. 由上邊兩個(gè)例子可見(jiàn)，因?yàn)橥ǔＧ闆r下對(duì)于函數(shù)多項(xiàng)式和有理分式的極限問(wèn)題的計(jì)算是十分簡(jiǎn)單的，所以對(duì)于一些復(fù)雜的函數(shù)可以根據(jù)泰勒公式將原來(lái)的復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為類(lèi)似多項(xiàng)式和有理分式的極限問(wèn)題.綜上所述，在式子滿足下列情況時(shí)可以考慮用泰勒公式來(lái)求極限： (1)用洛必達(dá)法則時(shí)，次數(shù)比較多、求導(dǎo)過(guò)程和化簡(jiǎn)過(guò)程比較復(fù)雜的情況. (2)分子或分母中有無(wú)窮小的差， 且此差不容易轉(zhuǎn)化為等價(jià)無(wú)窮小替代形式. (3)函數(shù)可以很容易的展開(kāi)成泰勒公式. （三）、泰勒公式在方程

12、中的應(yīng)用 泰勒公式在函數(shù)方程中應(yīng)用比較廣泛，題型也比較多，主要有判斷根，方程次數(shù)等等一些證明類(lèi)問(wèn)題，做此類(lèi)題，要注意觀察題目中導(dǎo)數(shù)階數(shù)，以便用泰勒公式展開(kāi)到相應(yīng)階數(shù).我們用三個(gè)例子來(lái)說(shuō)明： 例5: 設(shè)在上二階可導(dǎo)，且，，對(duì)， 證明 在內(nèi)存在唯一實(shí)根. 分析： 這里是抽象函數(shù)，直接討論的根有困難，由題設(shè)在上二階可導(dǎo)且，，可考慮將在點(diǎn)展開(kāi)一階泰勒公式，然后設(shè)法應(yīng)用介值定理證明. 證明 因?yàn)?，所以單調(diào)減少，又，因此時(shí)，， 故在上嚴(yán)格單調(diào)減少.在點(diǎn)展開(kāi)一階泰勒公式有 . 由題設(shè)，，于是有，從而必存在，使得， 又因?yàn)?，在上?yīng)用連續(xù)函數(shù)的介值定

13、理，存在，使，由的嚴(yán)格單調(diào)性知唯一，因此方程在內(nèi)存在唯一實(shí)根. 例6： 設(shè)在內(nèi)有連續(xù)三階導(dǎo)數(shù)，且滿足方程， . （1） 試證：是一次或二次函數(shù). 證明 問(wèn)題在于證明：或.為此將（1）式對(duì)求導(dǎo)，注意與無(wú) 關(guān).我們有 ， （2） 從而 . 令取極限，得，. 若，由此知為一次函數(shù)；若，（2）式給出 ， 此式兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，減去，除以，然后令取極限，即得，為 二次函數(shù). 例7： 已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且 ， 試證：，使得內(nèi). 證明

14、 為了證明在處的鄰域內(nèi)恒為零.我們將（3）式右端的，在 處按公式展開(kāi).注意到.我們有 ， . 從而 ， 今限制，則在上連續(xù)有界，，使得 我們只要證明即可.事實(shí)上 ， ， ， . 即.所以，在上. 由以上例題可見(jiàn)，在函數(shù)方程方面，泰勒公式對(duì)于求二階或二階以上的連續(xù)導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題來(lái)說(shuō)十分的好用，主要是通過(guò)作輔助函數(shù)，對(duì)有用的點(diǎn)進(jìn)行泰勒公式展開(kāi)并對(duì)余項(xiàng)作合適的處理. （四）、泰勒公式在中值公式證明中的應(yīng)用 由于泰勒公式將函數(shù)和它的高階導(dǎo)數(shù)結(jié)合了起來(lái)，所以遇到這類(lèi)有高階導(dǎo)數(shù)的證明時(shí)，首先應(yīng)考慮用泰勒公式來(lái)求解.接下來(lái)我們用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明： 例8： 設(shè)在上三次可導(dǎo)

15、，試證：，使得 . 證明 設(shè)為使下式成立的實(shí)數(shù)： ， 這時(shí)，我們的問(wèn)題歸為證明：，使得. 令. 則， 根據(jù)Rolle定理，，使得即： . 這是關(guān)于的方程，注意到在點(diǎn)處的泰勒公式： . （五）、泰勒公式在有關(guān)于界的估計(jì)中的應(yīng)用 我們知道有些函數(shù)是有界的，有的有上界，而有的有下界，結(jié)合泰勒公式的知識(shí)與泰勒公式的廣泛應(yīng)用，這里我們將探討泰勒公式關(guān)于界的估計(jì)，下面通過(guò)例題來(lái)分析. 例9： 設(shè)在[0，1]上有二階導(dǎo)數(shù)，時(shí)，.試證：當(dāng) 時(shí)，. 證明 ， ， 所以 ， ， . 例10： 設(shè)二次可微，，，試證. 證

16、明 因在上連續(xù)，有最大、最小值.又因，， 最大值在內(nèi)部達(dá)到.所以使得. 于是為最大值.由Fermat定理，有，在處按泰勒公式展開(kāi)， 使得： ， . 因此 . 而 時(shí)，， 時(shí)，， 所以 . 由上邊例題可以總結(jié)出一些經(jīng)驗(yàn)，比如當(dāng)遇到求有關(guān)于界的問(wèn)題，且涉及高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，通?？紤]用泰勒公式來(lái)解題.在解題時(shí)可以應(yīng)用這個(gè)經(jīng)驗(yàn)嘗試解題. （六）、泰勒公式在證明不等式中的應(yīng)用 當(dāng)所要證明的不等式是含有多項(xiàng)式和初等函數(shù)的混合物，不妨作一個(gè)輔助函數(shù)并用泰勒公式代替，往往使證明方便簡(jiǎn)捷. 例11： 設(shè)在上二次可微，.試證： ，有. 證明 取，將在處按泰勒公式展開(kāi)有： ，

17、 ， 以乘此式兩端，然后個(gè)不等式相加，注意， ， 得. 例12: 當(dāng)時(shí)，證明. 證明 取，，則 . 帶入泰勒公式，其中，得 ，其中. 故 當(dāng)時(shí)，. 由此可見(jiàn)，關(guān)于不等式的證明，有多種方法，如利用拉格朗日中值定理來(lái)證明不等式，利用函數(shù)的凸性來(lái)證明不等式，以及通過(guò)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)得到函數(shù)的單調(diào)性，從而證明不等式的方法.但歸結(jié)起來(lái)都可以看做是泰勒公式的特殊情形，所以證明不等式時(shí)，注意應(yīng)用泰勒公式這個(gè)重要方法. （七）、泰勒公式在級(jí)數(shù)中的應(yīng)用 在級(jí)數(shù)斂散性的理論中，要判斷一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂，通常找一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，，

18、在用比較判定法來(lái)判定，但是在實(shí)際應(yīng)用中比較困難的問(wèn)題是如何選取適當(dāng)?shù)模ㄖ械闹担? 如 當(dāng)，此時(shí)收斂，但是， 當(dāng)時(shí)，此時(shí)發(fā)散，但是. 在這種情況下我們就無(wú)法判定的斂散性，為了更好的選取中的值，使得且，在用比較判別法，我們就可以判定的斂散性. 例13: 討論級(jí)數(shù)的斂散性. 分析：直接根據(jù)通項(xiàng)去判斷該級(jí)數(shù)是正向級(jí)數(shù)還是非正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較困難，因而也就無(wú)法恰當(dāng)選擇判斂方法，注意到，若將其泰勒展開(kāi)為的冪的形式，開(kāi)二次方后恰與相呼應(yīng)，會(huì)使判斂容易進(jìn)行. 解 因?yàn)? ， 所以 ， 從而 ， 故該級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù). 又因?yàn)? ， 所以 . 因?yàn)? 收斂，所以由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法

19、知原級(jí)數(shù)收斂. 利用基本初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，通過(guò)加減乘等運(yùn)算進(jìn)而可以求得一些較復(fù)雜的初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式. 例14: 求的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式. 解 利用泰勒公式 由例題可見(jiàn)，當(dāng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)表達(dá)式是由不同類(lèi)型函數(shù)式構(gòu)成的繁難形式時(shí)，往往利用泰勒公式將級(jí)數(shù)通項(xiàng)簡(jiǎn)化成統(tǒng)一形式，以便利用判斂準(zhǔn)則.利用基本初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，通過(guò)加減乘等運(yùn)算進(jìn)而可以求得一些較復(fù)雜的初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式. （八）、泰勒公式在求高階導(dǎo)數(shù)值中的應(yīng)用 如果泰勒公式已知，其通項(xiàng)中的加項(xiàng)的系數(shù)正是，從而可反過(guò)來(lái)求高階導(dǎo)數(shù)數(shù)值，而不必再依次求導(dǎo). 例15: 求函數(shù)在處的高階導(dǎo)數(shù). 解 設(shè)，則 ，，

20、在的泰勒公式為 ， 從而 ， 而中的泰勒展開(kāi)式中含的項(xiàng)應(yīng)為，從的展開(kāi)式知的項(xiàng)為，因此 ，, . 通過(guò)泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)，這是泰勒公式比較簡(jiǎn)單的一種應(yīng)用，重點(diǎn)就在于掌握，其通項(xiàng)中的加項(xiàng)的系數(shù)正是.在求導(dǎo)數(shù)時(shí)只需在系數(shù)上乘以即可. 三、結(jié) 論 泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中的重要組成部分，是一種非常重要的數(shù)學(xué)工具.它集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓，在微積分學(xué)及相關(guān)領(lǐng)域的各個(gè)方面都有重要的應(yīng)用.本文介紹了泰勒公式以及它在八個(gè)方面應(yīng)用，使我們對(duì)泰勒公式有了更深一層的理解，對(duì)怎樣應(yīng)用泰勒公式解答具體問(wèn)題有了更深一層的認(rèn)識(shí)，只要在解題過(guò)程中注意分析，研究題設(shè)條件及其形式特點(diǎn)，并把握上述處理規(guī)則，

21、就能比較好地掌握利用泰勒公式解題的技巧. 參 考 文 獻(xiàn) [1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，《數(shù)學(xué)分析》（上），高等數(shù)學(xué)出版社，2008，134-141 [2]裴禮文，《數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題及方法》，高等教育出版社，2009，150-157 [3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編，《高等數(shù)學(xué)》，人民教育出版社，2007，139-145 [4]劉玉璉，《數(shù)學(xué)分析講義》，人民教育出版社，2000，120-138 [5]張利凱，《高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)》，科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，2002，138-156 [6]M.克萊因，《古今數(shù)學(xué)思想》，上海科學(xué)技術(shù)出版社，198

22、8，165-168 [7]W.蓋勒特、H.奎斯特納等，《簡(jiǎn)明數(shù)學(xué)全書(shū)Ⅱ.高等數(shù)學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)》，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1985，295-297 [8]H.J.巴茨，《數(shù)學(xué)公式書(shū)冊(cè)》，科學(xué)出版社，1987，439-440 [9]閔祥偉，《高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與例題分析》，北京郵電大學(xué)出版社，2004，520-521，539-540 [10]吳炯圻，陳躍輝等，《高等數(shù)學(xué)及其思想方法與實(shí)驗(yàn)》（上），廈門(mén)大學(xué)出版社，2008，122-127 [11]上海財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，《高等數(shù)學(xué)》，上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2004，66-71 [12]蔡子華，《新編高等數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)》，科學(xué)出版社，2002，336-337，369-376 15