高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.1 離散型隨機(jī)變量及其分布列 2.1.1 離散型隨機(jī)變量學(xué)案 新人教A版選修23

2.1.1離散型隨機(jī)變量學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的含義.2.了解隨機(jī)變量與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系知識(shí)點(diǎn)一隨機(jī)變量思考1拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，可能出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種結(jié)果，這種試驗(yàn)結(jié)果能用數(shù)字表示嗎？答案可以，可用數(shù)字1和0分別表示正面向上和反面向上思考2在一塊地里種10棵樹苗，成活的棵數(shù)為x，則x可取哪些數(shù)字？答案x0,1,2,3，10.梳理(1)定義在隨機(jī)試驗(yàn)中，可以確定一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量(2)隨機(jī)變量常用字母X，Y，表示知識(shí)點(diǎn)二隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系相同點(diǎn)隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系區(qū)別隨機(jī)變量是隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果到實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)，函數(shù)是實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)聯(lián)系隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域知識(shí)點(diǎn)三離散型隨機(jī)變量1定義：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量2特征：(1)可用數(shù)字表示(2)試驗(yàn)之前可以判斷其出現(xiàn)的所有值(3)在試驗(yàn)之前不能確定取何值(4)試驗(yàn)結(jié)果能一一列出1離散型隨機(jī)變量的取值是任意的實(shí)數(shù)()2隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè)，也可以是無限個(gè)()3離散型隨機(jī)變量是指某一區(qū)間內(nèi)的任意值()類型一隨機(jī)變量的概念例1下列變量中，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量？并說明理由(1)某機(jī)場(chǎng)一年中每天運(yùn)送乘客的數(shù)量；(2)某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù)；(3)明年5月1日到10月1日期間所查酒駕的人數(shù)；(4)明年某天濟(jì)南青島的某次列車到達(dá)青島站的時(shí)間考點(diǎn)隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念題點(diǎn)隨機(jī)變量的概念解(1)某機(jī)場(chǎng)一年中每天運(yùn)送乘客的數(shù)量可能為0,1,2,3，是隨機(jī)變化的，因此是隨機(jī)變量(2)某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù)可能為0,1,2,3，是隨機(jī)變化的，因此是隨機(jī)變量(3)明年5月1日到10月1日期間，所查酒駕的人數(shù)可能為0,1,2,3，是隨機(jī)變化的，因此是隨機(jī)變量(4)濟(jì)南青島的某次列車到達(dá)青島站的時(shí)間每次都是隨機(jī)的，可能提前，可能準(zhǔn)時(shí)，也可能晚點(diǎn)，故是隨機(jī)變量反思與感悟隨機(jī)變量的辨析方法(1)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果具有可變性，即每次試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的結(jié)果不盡相同(2)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果的不確定性，即每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果對(duì)應(yīng)的變量具有以上兩點(diǎn)，則該變量即為隨機(jī)變量跟蹤訓(xùn)練1擲均勻硬幣一次，隨機(jī)變量為()A擲硬幣的次數(shù)B出現(xiàn)正面向上的次數(shù)C出現(xiàn)正面向上的次數(shù)或反面向上的次數(shù)D出現(xiàn)正面向上的次數(shù)與反面向上的次數(shù)之和考點(diǎn)隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念題點(diǎn)隨機(jī)變量的概念答案B解析擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果是正面向上或反面向上，以一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)如正面向上的次數(shù)來描述這一隨機(jī)試驗(yàn)，那么正面向上的次數(shù)就是隨機(jī)變量，的取值是0,1.A項(xiàng)中，擲硬幣的次數(shù)就是1，不是隨機(jī)變量；C項(xiàng)中的標(biāo)準(zhǔn)模糊不清；D項(xiàng)中，出現(xiàn)正面向上的次數(shù)和反面向上的次數(shù)的和必是1，對(duì)應(yīng)的是必然事件，試驗(yàn)前便知是必然出現(xiàn)的結(jié)果，所以不是隨機(jī)變量故選B.類型二離散型隨機(jī)變量的判定例2下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：某高速公路上某收費(fèi)站在未來1小時(shí)內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量；一個(gè)沿直線yx進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在該直線上的位置Y是一個(gè)隨機(jī)變量；某網(wǎng)站未來1小時(shí)內(nèi)的點(diǎn)擊量；一天內(nèi)的溫度.其中是離散型隨機(jī)變量的為()A B C D考點(diǎn)隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的概念答案C解析是，因?yàn)?小時(shí)內(nèi)經(jīng)過該收費(fèi)站的車輛可一一列出；不是，質(zhì)點(diǎn)在直線yx上運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置無法一一列出；是，1小時(shí)內(nèi)網(wǎng)站的訪問次數(shù)可一一列出；不是，1天內(nèi)的溫度是該天最低溫度和最高溫度這一范圍內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，無法一一列出故選C.反思與感悟“三步法”判定離散型隨機(jī)變量(1)依據(jù)具體情境分析變量是否為隨機(jī)變量(2)由條件求解隨機(jī)變量的值域(3)判斷變量的取值能否一一列舉出來，若能，則是離散型隨機(jī)變量；否則，不是離散型隨機(jī)變量跟蹤訓(xùn)練2某座大橋一天經(jīng)過的某品牌轎車的輛數(shù)為；某網(wǎng)站中歌曲愛我中華一天內(nèi)被點(diǎn)擊的次數(shù)為；體積為1 000 cm3的球的半徑長(zhǎng)；射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，用表示該射手在一次射擊中的得分上述問題中的是離散型隨機(jī)變量的是()A BC D考點(diǎn)隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的概念答案B解析由題意知中的球的半徑是固定的，可以求出來，所以不是隨機(jī)變量，而是離散型隨機(jī)變量類型三用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果例3寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說明這些值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果(1)袋中有大小相同的紅球10個(gè)，白球5個(gè)，從袋中每次任取1個(gè)球，取后不放回，直到取出的球是白球?yàn)橹梗枰娜∏虼螖?shù)；(2)一個(gè)袋中裝有8個(gè)紅球，3個(gè)白球，從中任取5個(gè)球，其中所含白球的個(gè)數(shù)為X.考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的可能取值題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的結(jié)果解(1)設(shè)所需的取球次數(shù)為X，則X1,2,3,4，10,11，Xi表示前(i1)次取到的均是紅球，第i次取到白球，這里i1,2,3,4，11.(2)X的所有可能取值為0,1,2,3.X0表示取5個(gè)球全是紅球；X1表示取1個(gè)白球，4個(gè)紅球；X2表示取2個(gè)白球，3個(gè)紅球；X3表示取3個(gè)白球，2個(gè)紅球反思與感悟解答此類問題的關(guān)鍵在于明確隨機(jī)變量的所有可能的取值，以及其取每一個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的意義，即一個(gè)隨機(jī)變量的取值可能對(duì)應(yīng)一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，解答過程中不要漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果跟蹤訓(xùn)練3寫出下列隨機(jī)變量可能的取值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果(1)從學(xué)?；丶乙?jīng)過3個(gè)紅綠燈路口，可能遇到紅燈的次數(shù)；(2)電臺(tái)在每個(gè)整點(diǎn)都報(bào)時(shí)，報(bào)時(shí)所需時(shí)間為0.5分鐘，某人隨機(jī)打開收音機(jī)對(duì)時(shí)間，他所等待的時(shí)間為分鐘考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的可能取值題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的取值解(1)可取0,1,2,3，0表示遇到紅燈的次數(shù)為0；1表示遇到紅燈的次數(shù)為1；2表示遇到紅燈的次數(shù)為2；3表示遇到紅燈的次數(shù)為3.(2)的可能取值為區(qū)間0,59.5內(nèi)任何一個(gè)值，每一個(gè)可能取值表示他所等待的時(shí)間1下列變量中，不是隨機(jī)變量的是()A一射擊手射擊一次命中的環(huán)數(shù)B標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，水沸騰時(shí)的溫度C拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和D某電話總機(jī)在時(shí)間區(qū)間(0，T)內(nèi)收到的呼叫次數(shù)考點(diǎn)隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念題點(diǎn)隨機(jī)變量的概念答案B解析B中水沸騰時(shí)的溫度是一個(gè)確定的值210件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機(jī)變量的是()A取到產(chǎn)品的件數(shù) B取到正品的概率C取到次品的件數(shù) D取到次品的概率考點(diǎn)隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念題點(diǎn)隨機(jī)變量的概念答案C解析對(duì)于A中取到產(chǎn)品的件數(shù)，是一個(gè)常量不是變量，B，D也是一個(gè)常量，而C中取到次品的件數(shù)可能是0,1,2，是隨機(jī)變量3下列敘述中，是離散型隨機(jī)變量的為()A某人早晨在車站等出租車的時(shí)間B把一杯開水置于空氣中，讓它自然冷卻，每一時(shí)刻它的溫度C射擊十次，命中目標(biāo)的次數(shù)D袋中有2個(gè)黑球，6個(gè)紅球，任取2個(gè)，取得1個(gè)紅球的可能性考點(diǎn)隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的概念答案C4從標(biāo)有110的10支竹簽中任取2支，設(shè)所得2支竹簽上的數(shù)字之和為X，那么隨機(jī)變量X可能取得的值有_個(gè)考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的可能取值題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的取值答案17解析X的可能取值為3,4,5，19，共17個(gè)5甲、乙兩隊(duì)員進(jìn)行乒乓球單打比賽，規(guī)定采用“七局四勝制”用表示需要比賽的局?jǐn)?shù)，寫出“6”時(shí)表示的試驗(yàn)結(jié)果考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的可能取值題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的結(jié)果解根據(jù)題意可知，6表示甲在前5局中勝3局且在第6局中勝出或乙在前5局中勝3局且在第6局中勝出1所謂的隨機(jī)變量就是試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，隨機(jī)變量是將試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，變量的取值對(duì)應(yīng)于隨機(jī)試驗(yàn)的某一個(gè)隨機(jī)事件2寫隨機(jī)變量表示的結(jié)果，要看三個(gè)特征：(1)可用數(shù)來表示；(2)試驗(yàn)之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值；(3)在試驗(yàn)之前不能確定取值一、選擇題1將一枚均勻骰子擲兩次，不能作為隨機(jī)變量的是()A兩次擲得的點(diǎn)數(shù)B兩次擲得的點(diǎn)數(shù)之和C兩次擲得的最大點(diǎn)數(shù)D第一次擲得的點(diǎn)數(shù)減去第二次擲得的點(diǎn)數(shù)的差考點(diǎn)隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念題點(diǎn)隨機(jī)變量的概念答案A解析兩次擲得的點(diǎn)數(shù)的取值是一個(gè)數(shù)對(duì)，不是一個(gè)數(shù)2拋擲兩枚骰子一次，X為第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚擲出的點(diǎn)數(shù)之差，則X的所有可能的取值為()A0X5，xNB5X0，xZC1X6，xND5X5，xZ考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的可能取值題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的取值答案D解析兩次擲出點(diǎn)數(shù)均可取16所有整數(shù)，所以X5,5，xZ.3下列變量中，離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)為()在2 012張已編號(hào)(從1號(hào)到2 012號(hào))的卡片中取一張，被取出的號(hào)碼為；在2 012張已編號(hào)(從1號(hào)到2 012號(hào))的卡片中任取三張，被取出的號(hào)碼和為X；某加工廠加工的某種銅管，外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差Y；投擲一枚骰子，正面向上的點(diǎn)數(shù)為.A1 B2 C3 D4考點(diǎn)隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的概念答案C解析中Y取值在某一區(qū)間內(nèi)，不是離散型隨機(jī)變量4某人進(jìn)行射擊，共有5發(fā)子彈，擊中目標(biāo)或子彈打完就停止射擊，射擊次數(shù)為，則“5”表示的試驗(yàn)結(jié)果是()A第5次擊中目標(biāo)B第5次未擊中目標(biāo)C前4次均未擊中目標(biāo)D第4次擊中目標(biāo)考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的可能取值題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的結(jié)果答案C解析5表示前4次均未擊中目標(biāo)，故選C.5拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)的差為X，則“X>4”表示的試驗(yàn)的結(jié)果為()A第一枚為5點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn)B第一枚大于4點(diǎn)，第二枚也大于4點(diǎn)C第一枚為6點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn)D第一枚為4點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn)考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的可能取值題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的結(jié)果答案C6設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過5盞信號(hào)燈，Y表示汽車首次停下時(shí)已通過的信號(hào)燈的盞數(shù)，則表示“遇到第5盞信號(hào)燈時(shí)首次停下”的事件是()AY5 BY4CY3 DY2考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的可能取值題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的取值答案B7一串鑰匙有6枚，只有一枚能打開鎖，依次試驗(yàn)，打不開的扔掉，直到找到能開鎖的鑰匙為止，則試驗(yàn)次數(shù)X的最大可能取值為()A6 B5 C4 D2考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的可能取值題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的取值答案B解析由于是逐次試驗(yàn)，可能前5次都打不開鎖，那么剩余的鑰匙一定能開鎖，故選B.8一用戶在打電話時(shí)忘了號(hào)碼的最后四位數(shù)字，只記得最后四位數(shù)字兩兩不同，且都大于5，于是他隨機(jī)撥最后四位數(shù)字(兩兩不同)，設(shè)他撥到所要號(hào)碼時(shí)已撥的次數(shù)為，則隨機(jī)變量的所有可能取值的種數(shù)為()A24 B20 C4 D18考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的可能取值題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的取值答案A解析由于后四位數(shù)字兩兩不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位數(shù)字的不同排列，故有A24種9對(duì)一批產(chǎn)品逐個(gè)進(jìn)行檢測(cè)，第一次檢測(cè)到次品前已檢測(cè)的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為，則k表示的試驗(yàn)結(jié)果為()A第k1次檢測(cè)到正品，而第k次檢測(cè)到次品B第k次檢測(cè)到正品，而第k1次檢測(cè)到次品C前k1次檢測(cè)到正品，而第k次檢測(cè)到次品D前k次檢測(cè)到正品，而第k1次檢測(cè)到次品考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的可能取值題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的結(jié)果答案D解析由題意，得k表示第一次檢測(cè)到次品前已檢測(cè)的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為k，因此前k次檢測(cè)到的都是正品，第k1次檢測(cè)到的是次品，故選D.二、填空題10下列隨機(jī)變量中不是離散型隨機(jī)變量的是_(填序號(hào))某賓館每天入住的旅客數(shù)量X；廣州某水文站觀測(cè)到一天中珠江的水位X；深圳歡樂谷一日接待游客的數(shù)量X；虎門大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X.考點(diǎn)隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的概念答案11袋中有大小相同的紅球6個(gè)，白球5個(gè)，從袋中每次任意取出1個(gè)球，直到取出的球是白球?yàn)橹?，所需要的取球次?shù)為隨機(jī)變量X，則X的可能取值為_考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的可能取值題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的取值答案1,2,3,4,5,6,7解析由于取到是白球時(shí)，取球停止，所以取球次數(shù)可以是1,2,3，7.12一木箱中裝有8個(gè)同樣大小的籃球，分別編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)籃球，以表示取出的籃球的最大號(hào)碼，則8表示的試驗(yàn)結(jié)果有_種考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的可能取值題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的結(jié)果答案21解析8表示在3個(gè)籃球中，一個(gè)編號(hào)是8，另外兩個(gè)從剩余7個(gè)號(hào)中選2個(gè)，有C種方法，即21種三、解答題13某車間三天內(nèi)每天生產(chǎn)10件某產(chǎn)品，其中第一天、第二天分別生產(chǎn)了1件、2件次品，而質(zhì)檢部門每天要在生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件進(jìn)行檢查，若發(fā)現(xiàn)有次品，則當(dāng)天的產(chǎn)品不能通過若廠內(nèi)對(duì)車間生產(chǎn)的產(chǎn)品采用記分制，兩天全不通過檢查得0分，通過一天、兩天分別得1分、2分設(shè)該車間在這兩天內(nèi)總得分為，寫出的可能取值，并說明這些值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的可能取值題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的取值解的可能取值為0,1,2.0表示在兩天檢查中均發(fā)現(xiàn)了次品；1表示在兩天檢查中有1天沒有檢查到次品，1天檢查到了次品；2表示在兩天檢查中都沒有發(fā)現(xiàn)次品四、探究與拓展14在一次比賽中，需回答三個(gè)問題，比賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得100分，則選手甲回答這三個(gè)問題的總得分的所有可能取值是_考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的可能取值題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的取值答案300，100,100,300解析答對(duì)的個(gè)數(shù)可以取0,1,2,3，所對(duì)應(yīng)的得分為300，100,100,300，可取300，100,100,300.15一個(gè)袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球的個(gè)數(shù)為.(1)列表說明可能出現(xiàn)的結(jié)果與對(duì)應(yīng)的的值；(2)若規(guī)定抽取3個(gè)球中，每抽到一個(gè)白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管結(jié)果都加上6分求最終得分的可能取值，并判定的隨機(jī)變量類型考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的可能取值題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的取值解(1)0123結(jié)果取得3個(gè)黑球取得1個(gè)白球2個(gè)黑球取得2個(gè)白球1個(gè)黑球取得3個(gè)白球(2)由題意可得56，而可能的取值范圍為0,1,2,3，所以對(duì)應(yīng)的各值是：506,516,526,536.故的可能取值為6,11,16,21，顯然為離散型隨機(jī)變量6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375