高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布 2.1 離散型隨機變量及其分布列 2.1.2 離散型隨機變量的分布列一學(xué)案 新人教A版選修23

《高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布 2.1 離散型隨機變量及其分布列 2.1.2 離散型隨機變量的分布列一學(xué)案 新人教A版選修23》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布 2.1 離散型隨機變量及其分布列 2.1.2 離散型隨機變量的分布列一學(xué)案 新人教A版選修23（18頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2.1.2　離散型隨機變量的分布列(一) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念.2.了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性.3.掌握離散型隨機變量分布列的表示方法和性質(zhì)． 知識點　離散型隨機變量的分布列 思考　擲一枚骰子，所得點數(shù)為X，則X可取哪些數(shù)字？X取不同的值時，其概率分別是多少？你能用表格表示X與P的對應(yīng)關(guān)系嗎？ 答案　(1)x＝1,2,3,4,5,6，概率均為. (2)X與P的對應(yīng)關(guān)系為 X 1 2 3 4 5 6 P 梳理　(1)離散型隨機變量的分布列的概念 一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為

2、x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 此表稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列． (2)離散型隨機變量的分布列的性質(zhì) ①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；②＝1. 1．在離散型隨機變量分布列中每一個可能值對應(yīng)的概率可以為任意的實數(shù)．(　　) 2．在離散型隨機變量分布列中，在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各值的概率之積．(　　) 3．在離散型隨機變量分布列中，所有概率之和為

3、1.(　√　)  類型一　離散型隨機變量分布列的性質(zhì) 例1　設(shè)隨機變量X的分布列為P＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求常數(shù)a的值； (2)求P； (3)求P. 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 題點　根據(jù)分布列的性質(zhì)求概率 解　(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝. (2)∵P＝k(k＝1,2,3,4,5)， ∴P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝. (3)當(dāng)

4、1，而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n. 跟蹤訓(xùn)練1　(1)設(shè)隨機變量ξ只能取5,6,7，…，16這12個值，且取每一個值概率均相等，若P(ξ

5、＝. ∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝＋＝. 類型二　求離散型隨機變量的分布列 例2　已知隨機變量ξ的分布列為 ξ －2 －1 0 1 2 3 P 分別求出隨機變量η1＝ξ，η2＝ξ2的分布列． 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 題點　兩個相關(guān)的隨機變量分布列的求法 解　由η1＝ξ知，對于ξ取不同的值－2，－1,0,1,2,3時，η1的值分別為－1，－，0，，1，， 所以η1的分布列為 η1 －1 － 0 1 P 由η2＝ξ2知，對于ξ的不同取值－2,2及－1

6、,1，η2分別取相同的值4與1，即η2取4這個值的概率應(yīng)是ξ?。?與2的概率與的和，η2取1這個值的概率應(yīng)是ξ?。?與1的概率與的和，所以η2的分布列為 η2 0 1 4 9 P 反思與感悟　(1)若ξ是一個隨機變量，a，b是常數(shù)，則η＝aξ＋b也是一個隨機變量，推廣到一般情況有：若ξ是隨機變量，f(x)是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則η＝f(ξ)也是隨機變量，也就是說，隨機變量的某些函數(shù)值也是隨機變量，并且若ξ為離散型隨機變量，則η＝f(ξ)也為離散型隨機變量． (2)已知離散型隨機變量ξ的分布列，求離散型隨機變量η＝f(ξ)的分布列的關(guān)鍵是弄清楚ξ取每一個值時對

7、應(yīng)的η的值，再把η取相同的值時所對應(yīng)的事件的概率相加，列出概率分布列即可． 跟蹤訓(xùn)練2　已知隨機變量ξ的分布列為 ξ －2 －1 0 1 2 3 P 分別求出隨機變量η1＝－ξ＋，η2＝ξ2－2ξ的分布列． 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 題點　兩個相關(guān)隨機變量分布列的求法 解　由η1＝－ξ＋，對于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η1＝，，，－，－，－，相應(yīng)的概率值為，，，，，. 故η1的分布列為 η1 － － － P 由η2＝ξ2－2ξ，對于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得

8、η2＝8,3,0，－1,0,3. 所以P(η2＝8)＝，P(η2＝3)＝＋＝， P(η2＝0)＝＋＝，P(η2＝－1)＝. 故η2的分布列為 η2 8 3 0 －1 P 例3　某班有學(xué)生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．現(xiàn)從中抽1人，其血型為隨機變量X，求X的分布列． 考點　離散型隨機變量的分布列 題點　求離散型隨機變量的分布列 解　將O，A，B，AB四種血型分別編號為1,2,3,4， 則X的可能取值為1,2,3,4. P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝

9、＝. 故X的分布列為 X 1 2 3 4 P 反思與感悟　求離散型隨機變量分布列的步驟 (1)首先確定隨機變量X的取值； (2)求出每個取值對應(yīng)的概率； (3)列表對應(yīng)，即為分布列． 跟蹤訓(xùn)練3　一袋中裝有5個球，編號分別為1,2,3,4,5.在袋中同時取3個球，以X表示取出的3個球中的最小號碼，寫出隨機變量X的分布列． 考點　離散型隨機變量的分布列 題點　求離散型隨機變量的分布列 解　隨機變量X的可能取值為1,2,3. 當(dāng)X＝1時，即取出的3個球中最小號碼為1，則其他2個球只能在編號為2,3,4,5的4個球中取，故有P(X＝1)＝＝＝；

10、當(dāng)X＝2時，即取出的3個球中最小號碼為2，則其他2個球只能在編號為3,4,5的3個球中取，故有P(X＝2)＝＝； 當(dāng)X＝3時，即取出的3個球中最小號碼為3，則其他2個球只能是編號為4,5的2個球，故有P(X＝3)＝＝. 因此，X的分布列為 X 1 2 3 P 類型三　離散型隨機變量的分布列的綜合應(yīng)用 例4　袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用ξ表示取球終止所需要的取球次數(shù)． (1)求袋中

11、原有的白球的個數(shù)； (2)求隨機變量ξ的分布列； (3)求甲取到白球的概率． 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 題點　排列、組合知識在分布列中的應(yīng)用 解　(1)設(shè)袋中原有n個白球，由題意知 ＝＝＝， 可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3個白球． (2)由題意，ξ的可能取值為1,2,3,4,5. P(ξ＝1)＝； P(ξ＝2)＝＝； P(ξ＝3)＝＝； P(ξ＝4)＝＝； P(ξ＝5)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 1 2 3 4 5 P (3)因為甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，記

12、“甲取到白球”為事件A， 則P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝. 反思與感悟　求離散型隨機變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定ξ的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識求出ξ取各個值的概率，即必須解決好兩個問題，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一個值時的概率． 跟蹤訓(xùn)練4　北京奧運會吉祥物由5個“中國福娃”組成，分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮．現(xiàn)有8個相同的盒子，每個盒子中放一只福娃，每種福娃的數(shù)量如下表： 福娃名稱 貝貝 晶晶 歡歡 迎迎 妮妮 數(shù)量 1 2 3 1 1 從中隨機地選取5只． (1)求選取的5只恰好組成完整的“奧

13、運會吉祥物”的概率； (2)若完整的選取奧運會吉祥物記100分；若選出的5只中僅差一種記80分；差兩種記60分；以此類推，設(shè)X表示所得的分?jǐn)?shù)，求X的分布列． 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 題點　排列、組合知識在分布列中的應(yīng)用 解　(1)選取的5只恰好組成完整的“奧運會吉祥物”的概率P＝＝＝. (2)X的取值為100,80,60,40. P(X＝100)＝＝， P(X＝80)＝＝， P(X＝60)＝＝＝， P(X＝40)＝＝. 所以X的分布列為 X 100 80 60 40 P 1．已知隨機變量X的分布列如下： X

14、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P m 則P(X＝10)等于(　　) A. B. C. D. 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 題點　根據(jù)分布列的性質(zhì)求概率 答案　C 解析　P(X＝10)＝1－－…－＝. 2．已知隨機變量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)等于(　　) X －1 0 1 P a b c A. B. C. D. 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 題點　根據(jù)分布列的性質(zhì)求概率 答案　D 解析　∵a

15、，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c. 由分布列的性質(zhì)得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝. ∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1) ＝1－P(X＝0)＝1－＝. 3．已知隨機變量X的分布列如下表(其中a為常數(shù))： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 則下列計算結(jié)果錯誤的是(　　) A．a(chǎn)＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7 C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 題點　根據(jù)分布列的性質(zhì)求概率 答案　C 解析　易得a＝0.1，P(X≥3)＝0.3，故C錯誤．

16、4．設(shè)ξ是一個離散型隨機變量，其分布列為 ξ －1 0 1 P 1－2q q2 則P(ξ≤0)＝________. 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 題點　根據(jù)分布列的性質(zhì)求概率 答案?。? 解析　由分布列的性質(zhì)，得1－2q≥0，q2≥0， ＋(1－2q)＋q2＝1， 所以q＝1－，q＝1＋(舍去)． P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0) ＝＋1－2＝－. 5．將一枚骰子擲兩次，求兩次擲出的最大點數(shù)ξ的分布列． 考點　離散型隨機變量的分布列 題點　求離散型隨機變量的分布列 解　由題意知ξ＝i(i＝1,2,3,4,5,6)， 則P(ξ＝

17、1)＝＝； P(ξ＝2)＝＝＝； P(ξ＝3)＝＝； P(ξ＝4)＝＝； P(ξ＝5)＝＝＝； P(ξ＝6)＝＝. 所以拋擲兩次擲出的最大點數(shù)構(gòu)成的分布列為 ξ 1 2 3 4 5 6 P 1．離散型隨機變量的分布列，不僅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一個值時的概率的大小，從而反映了隨機變量在隨機試驗中取值的分布情況． 2．一般地，離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和． 一、選擇題 1．設(shè)隨機變量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么(　　)

18、 A．n＝3 B．n＝4 C．n＝10 D．n＝9 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 題點　由分布列的性質(zhì)求參數(shù) 答案　C 解析　由題意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3， ∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10. 2．若隨機變量η的分布列如下： η －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 則當(dāng)P(η

19、布列的性質(zhì)求參數(shù) 答案　C 解析　由分布列知， P(η＝－2)＋P(η＝－1)＋P(η＝0)＋P(η＝1) ＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8， ∴P(η<2)＝0.8，故1

20、 0 1 2 P a b c 其中a，b，c成等差數(shù)列，則函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一個零點的概率為(　　) A. B. C. D. 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 題點　根據(jù)分布列的性質(zhì)求概率 答案　B 解析　由題意知解得b＝. ∵f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一個零點， ∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1， ∴P(ξ＝1)＝. 5．設(shè)離散型隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 若隨機變量Y＝X－2，則P(Y＝2)等于(　　) A．0.3 B．0.4

21、C．0.6 D．0.7 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 題點　根據(jù)分布列的性質(zhì)求概率 答案　A 解析　由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3. 又P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3. 6．拋擲2枚骰子，所得點數(shù)之和X是一個隨機變量，則P(X≤4)等于(　　) A. B. C. D. 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 題點　根據(jù)分布列的性質(zhì)求概率 答案　A 解析　根據(jù)題意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．拋擲兩枚骰子，按所得的點數(shù)共36個基本事件，而X＝2對應(yīng)(1,1)，X＝3對應(yīng)(1,2)，(2,1)，X＝4

22、對應(yīng)(1,3)，(3,1)，(2,2)． 故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以P(X≤4)＝＋＋＝. 7．已知隨機變量ξ只能取三個值x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則該等差數(shù)列的公差的取值范圍是(　　) A. B. C．[－3,3] D．[0,1] 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 題點　根據(jù)分布列的性質(zhì)求參數(shù) 答案　B 解析　設(shè)隨機變量ξ取x1，x2，x3的概率分別為a－d，a，a＋d，則由分布列的性質(zhì)，得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1， 故a＝.由解得－≤d≤. 二、填空題 8．一批產(chǎn)品分為一、二、三級，其中一級品是二級品的

23、兩倍，三級品為二級品的一半，從這批產(chǎn)品中隨機抽取一個檢驗，其級別為隨機變量ξ，則P＝________. 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 題點　根據(jù)分布列的性質(zhì)求概率 答案　 解析　設(shè)二級品有k個，則一級品有2k個，三級品有個，總數(shù)為k個．∴ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P ∴P＝P(ξ＝1)＝. 9．由于電腦故障，使得隨機變量X的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，以□代替，其表如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.□5 0.10 0.1□ 0.20 根據(jù)該表可知X取奇數(shù)值時的概率是________．

24、 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 題點　根據(jù)分布列的性質(zhì)求概率 答案　0.6 解析　由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)，可求得P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15，故X取奇數(shù)值時的概率為P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6. 10．把3枚骰子全部擲出，設(shè)出現(xiàn)6點的骰子個數(shù)是X，則有P(X<2)＝________. 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 題點　根據(jù)分布列的性質(zhì)求概率 答案　 解析　P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝. 11．將3個小球任意地放入4個大玻璃杯中，一個杯子中球的最多個數(shù)記為X，則X

25、的分布列是________． 考點　離散型隨機變量的分布列 題點　求離散型隨機變量的分布列 答案　 X 1 2 3 P 解析　由題意知X＝1,2,3. P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝. ∴X的分布列為 X 1 2 3 P 三、解答題 12．設(shè)S是不等式x2－x－6≤0的解集，整數(shù)m，n∈S. (1)設(shè)“使得m＋n＝0成立的有序數(shù)組(m，n)”為事件A，試列舉事件A包含的基本事件； (2)設(shè)ξ＝m2，求ξ的分布列． 考點　離散型隨機變量的分布列 題點　求離散型隨機變量的分布列 解　(1)由

26、x2－x－6≤0， 得－2≤x≤3， 即S＝{x|－2≤x≤3}． 由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0， 所以事件A包含的基本事件為 (－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于m的所有不同取值為－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m2的所有不同取值為0,1,4,9，且有 P(ξ＝0)＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝9)＝. 故ξ的分布列為 ξ 0 1 4 9 P 13．將一枚骰子擲兩次，第一次擲出的點數(shù)減去第二次擲出的點數(shù)的差為X，求X的分布列． 考點　離散型隨機變量的

27、分布列 題點　求離散型隨機變量的分布列 解　第一次擲出的點數(shù)與第二次擲出的點數(shù)的差X的可能取值為－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5， 則P(X＝－5)＝， P(X＝－4)＝＝， …， P(X＝5)＝. 故X的分布列為 X －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 P 四、探究與拓展 14．袋中有4個紅球，3個黑球，從袋中任取4個球，取到1個紅球得1分，取到1個黑球得3分，記得分為隨機變量ξ，則P(ξ≤6)＝________. 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 題點

28、　排列、組合知識在分布列中的應(yīng)用 答案　 解析　取出的4個球中紅球的個數(shù)可能為4,3,2,1，相應(yīng)的黑球個數(shù)為0,1,2,3，其得分ξ＝4,6,8,10，則P(ξ≤6)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝6)＝＋＝. 15．在一次購物抽獎活動中，假設(shè)某10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品；有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品；其余6張沒有獎．某顧客從此10張獎券中任抽2張，求： (1)該顧客中獎的概率； (2)該顧客獲得的獎品總價值X的分布列，并求出P(5≤X≤25)的值． 考點　離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 題點　排列、組合知識在分布列中的應(yīng)用 解　(1)該顧客中

29、獎的概率P＝1－＝1－＝. (2)X的可能取值為0,10,20,50,60. P(X＝0)＝＝， P(X＝10)＝＝， P(X＝20)＝＝， P(X＝50)＝＝， P(X＝60)＝＝. 故隨機變量X的分布列為 X 0 10 20 50 60 P 所以P(5≤X≤25)＝P(X＝10)＋P(X＝20)＝＋＝. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375