高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.1 離散型隨機(jī)變量及其分布列 2.1.2 離散型隨機(jī)變量的分布列二學(xué)案 新人教A版選修23

2.1.2離散型隨機(jī)變量的分布列(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步理解離散型隨機(jī)變量的分布列的求法、作用.2.理解兩點(diǎn)分布和超幾何分布知識(shí)點(diǎn)一兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量X的分布列為X01P1pp若隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱X服從兩點(diǎn)分布，并稱pP(X1)為成功概率知識(shí)點(diǎn)二超幾何分布思考在含有5名男生的100名學(xué)生中，任選3人，求恰有2名男生的概率表達(dá)式答案.梳理一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(Xk)，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，稱分布列X01mP為超幾何分布列如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布類型一兩點(diǎn)分布例1(1)某運(yùn)動(dòng)員射擊命中10環(huán)的概率為0.9，求他在一次射擊中命中10環(huán)的次數(shù)的分布列；(2)若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01P9c2c38c求出c，并說明X是否服從兩點(diǎn)分布，若是，則成功概率是多少？考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的分布列題點(diǎn)兩點(diǎn)分布解(1)設(shè)該運(yùn)動(dòng)員射擊一次命中10環(huán)的次數(shù)為X，則P(X1)0.9，P(X0)10.90.1.X01P0.10.9(2)由(9c2c)(38c)1，解得c或c，又9c2c0,38c0，所以c，所以c.X的取值為0,1，故X服從兩點(diǎn)分布，成功概率為38c.反思與感悟兩步法判斷一個(gè)分布是否為兩點(diǎn)分布(1)看取值：隨機(jī)變量只取兩個(gè)值：0和1.(2)驗(yàn)概率：檢驗(yàn)P(X0)P(X1)1是否成立如果一個(gè)分布滿足以上兩點(diǎn)，則該分布是兩點(diǎn)分布，否則不是兩點(diǎn)分布跟蹤訓(xùn)練1已知一批100件的待出廠產(chǎn)品中，有1件不合格品，現(xiàn)從中任意抽取2件進(jìn)行檢查，若用隨機(jī)變量X表示抽取的2件產(chǎn)品中的次品數(shù)，求X的分布列考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的分布列題點(diǎn)兩點(diǎn)分布解由題意知，X服從兩點(diǎn)分布，P(X0)，P(X1)1.所以隨機(jī)變量X的分布列為X01P類型二超幾何分布例2一個(gè)袋中裝有6個(gè)形狀、大小完全相同的小球，其中紅球有3個(gè)，編號(hào)為1,2,3；黑球有2個(gè)，編號(hào)為1,2；白球有1個(gè)，編號(hào)為1.現(xiàn)從袋中一次隨機(jī)抽取3個(gè)球(1)求取出的3個(gè)球的顏色都不相同的概率；(2)記取得1號(hào)球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的分布列考點(diǎn)超幾何分布題點(diǎn)求超幾何分布的分布列解(1)從袋中一次隨機(jī)抽取3個(gè)球，基本事件總數(shù)nC20，取出的3個(gè)球的顏色都不相同包含的基本事件的個(gè)數(shù)為CCC6，所以取出的3個(gè)球的顏色都不相同的概率為P.(2)由題意知X0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的分布列為X0123P引申探究1在本例條件下，若記取到白球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列解由題意可知0,1，服從兩點(diǎn)分布又P(1)，所以的分布列為01P2將本例的條件“一次隨機(jī)抽取3個(gè)球”改為“有放回地抽取3次球，每次抽取1個(gè)球”，其他條件不變，結(jié)果又如何？解(1)取出3個(gè)球顏色都不相同的概率P.(2)由題意知X0,1,2,3.P(X0)，P(X1).P(X2)，P(X3).所以X的分布列為X0123P反思與感悟超幾何分布的求解步驟(1)辨模型：結(jié)合實(shí)際情景分析所求概率分布問題是否由具有明顯的兩部分組成，如“男生、女生”，“正品、次品”“優(yōu)劣”等，或可轉(zhuǎn)化為明顯的兩部分具有該特征的概率模型為超幾何分布模型(2)算概率：可以直接借助公式P(Xk)求解，也可以利用排列、組合及概率的知識(shí)求解，需注意借助公式求解時(shí)應(yīng)理解參數(shù)M，N，n，k的含義(3)列分布表：把求得的概率值通過表格表示出來跟蹤訓(xùn)練2某市A，B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；(2)某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列考點(diǎn)超幾何分布題點(diǎn)求超幾何分布的分布列解(1)由題意知，參加集訓(xùn)的男生、女生各有6人代表隊(duì)中的學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價(jià)于A中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊(duì))的概率為，因此，A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為1.(2)根據(jù)題意，X的所有可能取值為1,2,3.P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的分布列為X123P1設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量去表示1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(0)等于()A0 B. C. D.考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的分布列題點(diǎn)兩點(diǎn)分布答案C解析由題意知該分布為兩點(diǎn)分布，又P(1)2P(0)且P(1)P(0)1，P(0).2已知在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用X表示10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，則下列概率中等于的是()AP(X2) BP(X2)CP(X4) DP(X4)考點(diǎn)超幾何分布題點(diǎn)利用超幾何分布求概率答案C解析X服從超幾何分布，基本事件總數(shù)為C，所求事件數(shù)為CC，P(X4).3若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P(X0)0.8，P(X1)0.2.令Y3X2，則P(Y2)等于()A0.8 B0.2 C0.4 D0.1考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的分布列題點(diǎn)兩點(diǎn)分布答案A解析因?yàn)閅3X2，所以X(Y2)當(dāng)Y2時(shí)，X0，所以P(Y2)P(X0)0.8.4從4名男生和2名女生中任選3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，則所選3人中，女生的人數(shù)不超過1人的概率為_考點(diǎn)超幾何分布題點(diǎn)利用超幾何分布求概率答案解析設(shè)所選女生數(shù)為隨機(jī)變量X，則X服從超幾何分布，所以P(X1)P(X0)P(X1).5交5元錢，可以參加一次摸獎(jiǎng)，一袋中有同樣大小的球10個(gè)，其中8個(gè)標(biāo)有1元錢，2個(gè)標(biāo)有5元錢，摸獎(jiǎng)?wù)咧荒軓闹腥稳?個(gè)球，他所得獎(jiǎng)勵(lì)是所抽2球的錢數(shù)之和，求抽獎(jiǎng)人所得錢數(shù)的分布列考點(diǎn)超幾何分布題點(diǎn)求超幾何分布的分布列解設(shè)抽獎(jiǎng)人所得錢數(shù)為隨機(jī)變量，則2,6,10.P(2)，P(6)，P(10).故的分布列為2610P1兩點(diǎn)分布：兩點(diǎn)分布是很簡(jiǎn)單的一種概率分布，兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)結(jié)果只有兩種可能，要注意成功概率的值指的是哪一個(gè)量2超幾何分布：超幾何分布在實(shí)際生產(chǎn)中常用來檢驗(yàn)產(chǎn)品的次品數(shù)，只要知道N，M和n就可以根據(jù)公式：P(Xk)求出X取不同值k時(shí)的概率學(xué)習(xí)時(shí)，不能機(jī)械地去記憶公式，而要結(jié)合條件以及組合知識(shí)理解M，N，n，k的含義一、選擇題1從一副不含大、小王的52張撲克牌中任意抽出5張，則至少有3張是A的概率為()A. B.C1 D.考點(diǎn)超幾何分布題點(diǎn)利用超幾何分布求概率答案D解析設(shè)X為抽出的5張撲克牌中含A的張數(shù)，則P(X3)P(X3)P(X4).2下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布的是()A將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)XB從7名男生與3名女生共10名學(xué)生干部中選出5名優(yōu)秀學(xué)生干部，選出女生的人數(shù)為XC某射手的命中率為0.8，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊1次，記命中目標(biāo)的次數(shù)為XD盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球時(shí)的總次數(shù)考點(diǎn)超幾何分布題點(diǎn)超幾何分布的概念答案B解析由超幾何分布的定義可知B正確3在100張獎(jiǎng)券中，有4張能中獎(jiǎng)，從中任取2張，則2張都能中獎(jiǎng)的概率是()A. B. C. D.考點(diǎn)超幾何分布題點(diǎn)利用超幾何分布求概率答案C解析記X為2張中的中獎(jiǎng)數(shù)，則P(X2).410名同學(xué)中有a名女生，若從中抽取2個(gè)人作為學(xué)生代表，恰抽取1名女生的概率為，則a等于()A1 B2或8 C2 D8考點(diǎn)超幾何分布題點(diǎn)利用超幾何分布求概率答案B解析由題意知，解得a2或8.5一個(gè)盒子里裝有大小相同的10個(gè)黑球，12個(gè)紅球，4個(gè)白球，從中任取2個(gè)，其中白球的個(gè)數(shù)記為X，則下列概率等于的是()AP(0<X2) BP(X1)CP(X1) DP(X2)考點(diǎn)超幾何分布題點(diǎn)利用超幾何分布求概率答案B解析本題相當(dāng)于求至多取出1個(gè)白球的概率，即取到1個(gè)白球或沒有取到白球的概率6盒中有10個(gè)螺絲釘，其中有3個(gè)是壞的，現(xiàn)從盒中隨機(jī)地抽取4個(gè)，則概率是的事件為()A恰有1個(gè)是壞的 B4個(gè)全是好的C恰有2個(gè)是好的 D至多有2個(gè)是壞的考點(diǎn)超幾何分布題點(diǎn)利用超幾何分布求概率答案C解析“Xk”表示“取出的螺絲釘恰有k個(gè)是好的”，則P(Xk)(k1,2,3,4)所以P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，故選C.7從只有3張中獎(jiǎng)的10張彩票中不放回隨機(jī)逐張抽取，設(shè)X表示直至抽到中獎(jiǎng)彩票時(shí)的次數(shù)，則P(X3)等于()A. B. C. D.考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用題點(diǎn)排列、組合知識(shí)在分布列中的應(yīng)用答案D解析“X3”表示前2次未抽到中獎(jiǎng)彩票，第3次抽到中獎(jiǎng)彩票，故P(X3)，故選D.二、填空題8某手機(jī)經(jīng)銷商從已購(gòu)買某品牌手機(jī)的市民中抽取20人參加宣傳活動(dòng)，這20人中年齡低于30歲的有5人現(xiàn)從這20人中隨機(jī)選取2人各贈(zèng)送一部手機(jī)，記X為選取的年齡低于30歲的人數(shù)，則P(X1)_.考點(diǎn)超幾何分布題點(diǎn)利用超幾何分布求概率答案解析易知P(X1).9在A，B兩個(gè)袋中都有6張分別寫有數(shù)字0,1,2,3,4,5的卡片，現(xiàn)從每個(gè)袋中任取一張卡片，兩張卡片上的數(shù)字之和記為X，則P(X7)_.考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用題點(diǎn)排列、組合知識(shí)在分布列中的應(yīng)用答案解析P(X7).10有同一型號(hào)的電視機(jī)100臺(tái)，其中一級(jí)品97臺(tái)，二級(jí)品3臺(tái)，從中任取4臺(tái)，則二級(jí)品不多于1臺(tái)的概率為_(用式子表示)考點(diǎn)超幾何分布題點(diǎn)利用超幾何分布求概率答案解析二級(jí)品不多于1臺(tái)，即一級(jí)品有3臺(tái)或4臺(tái)11袋中裝有5個(gè)紅球和4個(gè)黑球，從袋中任取4個(gè)球，取到1個(gè)紅球得3分，取到1個(gè)黑球得1分，設(shè)得分為隨機(jī)變量，則8的概率P(8)_.考點(diǎn)超幾何分布題點(diǎn)利用超幾何分布求概率答案解析由題意知P(8)1P(6)P(4)1.三、解答題12老師要從10篇課文中隨機(jī)抽3篇讓學(xué)生背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格某同學(xué)只能背誦其中的6篇，試求：(1)抽到他能背誦的課文的數(shù)量X的分布列；(2)他能及格的概率考點(diǎn)超幾何分布題點(diǎn)求超幾何分布的分布列解(1)X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的分布列為X0123P(2)他能及格的概率為P(X2)P(X2)P(X3).13受轎車在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤(rùn)與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)，某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：品牌甲乙首次出現(xiàn)故障時(shí)間x(年)0<x11<x2x>20<x2x>2轎車數(shù)量(輛)2345545每輛利潤(rùn)(萬元)1231.82.9將頻率視為概率，解答下列問題：(1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；(2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤(rùn)為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤(rùn)為X2，分別求X1，X2的分布列考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的分布列題點(diǎn)求離散型隨機(jī)變量的分布列解(1)設(shè)“甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A，則P(A).(2)依題意得，X1的分布列為X1123PX2的分布列為X21.82.9P四、探究與拓展14一袋中裝有10個(gè)大小相同的黑球和白球已知從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是.從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X，則P(X2)_.考點(diǎn)超幾何分布題點(diǎn)利用超幾何分布求概率答案解析設(shè)10個(gè)球中有白球m個(gè)，則1，解得m5或m14(舍去)所以P(X2).15為了迎接即將到來的某商界大會(huì)，大會(huì)組委會(huì)在某學(xué)院招募了12名男志愿者和18名女志愿者做接待工作，將這30名志愿者的身高編成如圖所示的莖葉圖(單位：cm)若身高在175 cm以上(包括175 cm)定義為“高個(gè)子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定義為“非高個(gè)子”，且只有“女高個(gè)子”才擔(dān)任“禮儀小姐”(1)如果用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中選取5人，再?gòu)倪@5人中選2人，那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率是多少？(2)若從所有“高個(gè)子”中選3名志愿者，用X表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù)，試寫出X的分布列考點(diǎn)超幾何分布題點(diǎn)求超幾何分布的分布列解(1)根據(jù)莖葉圖，有“高個(gè)子”12人，“非高個(gè)子”18人，用分層抽樣的方法，每個(gè)人被抽中的概率是，所以選中的“高個(gè)子”有122(人)，“非高個(gè)子”有183(人)用事件A表示“至少有一名高個(gè)子被選中”，則它的對(duì)立事件表示“沒有一個(gè)高個(gè)子被選中”，則P(A)1P()11.因此，至少有一人是“高個(gè)子”的概率是.(2)依題意，X的可能取值為0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).因此，X的分布列為X0123P6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375