高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 算法初步、統(tǒng)計、統(tǒng)計案例 第四節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例教師用書 理

第四節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例2017考綱考題考情考綱要求真題舉例命題角度1.會作兩個相關(guān)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關(guān)關(guān)系；2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程；3.了解獨立性檢驗(只要求22列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用；4.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用。2016，全國卷，18,12分(線性回歸分析)2015，全國卷，19,12分(線性回歸分析)2015，福建卷，4,5分(線性回歸分析)2014，安徽卷，18,12分(獨立性檢驗)1.以選擇題、填空題的形式考查求線性回歸系數(shù)或利用線性回歸方程進行預(yù)測，在給出臨界值的情況下判斷兩個變量是否有關(guān)；2.在解答題中與頻率分布結(jié)合考查線性回歸方程的建立及應(yīng)用和獨立性檢驗的應(yīng)用。微知識小題練自|主|排|查1兩個變量的線性相關(guān)(1)正相關(guān)在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)。(2)負相關(guān)在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為負相關(guān)。(3)線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線。2回歸方程(1)最小二乘法使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法。(2)回歸方程方程x是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的回歸方程，其中 ， 是待定參數(shù)。3回歸分析(1)定義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法。(2)樣本點的中心對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中(，)稱為樣本點的中心。(3)相關(guān)系數(shù)當(dāng)r>0時，表明兩個變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時，表明兩個變量負相關(guān)。r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強。r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系。通常|r|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關(guān)性。4獨立性檢驗(1)分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這類變量稱為分類變量。(2)列聯(lián)表：列出兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為x1，x2和y1，y2，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為22列聯(lián)表)為22列聯(lián)表y1y2總計x1ababx2cdcd總計acbdabcd構(gòu)造一個隨機變量K2，其中nabcd為樣本容量。(3)獨立性檢驗利用隨機變量K2來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗。微點提醒1回歸分析中易誤認為樣本數(shù)據(jù)必在回歸直線上，實質(zhì)上回歸直線必過(，)點，可能所有的樣本數(shù)據(jù)點都不在直線上。2利用回歸方程分析問題時，所得的數(shù)據(jù)易誤認為是準確值，而實質(zhì)上是預(yù)測值(期望值)。3K2越大，“X與Y有關(guān)聯(lián)”的把握程度越大。小|題|快|練一 、走進教材1(必修3P94A組T3改編)相關(guān)變量x，y的樣本數(shù)據(jù)如下表：經(jīng)回歸分析可得y與x線性相關(guān)，并由最小二乘法求得回歸直線方程為1.1xa，則a()A0.1 B0.2C0.3 D0.4【解析】3，3.6，又回歸直線經(jīng)過樣本中心點(，)，所以3.61.13a，解得a0.3。故選C。【答案】C2(選修12P16習(xí)題1.2T1改編)為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，對100只某種動物進行試驗，得到如下的列聯(lián)表：患病未患病合計服用藥104050沒服用藥203050合計3070100經(jīng)計算，統(tǒng)計量K24.762，則有_把握認為藥物有效(P(K23.841)0.05，P(K25.0240.025)()A99.5% B95%C99% D97.5%【解析】由K24.762>3.841，可知有95%的把握，認為藥物有效。故選B?！敬鸢浮緽二、雙基查驗1觀察下列各圖：其中兩個變量x，y具有相關(guān)關(guān)系的圖是()A BC D【解析】由散點圖知具有相關(guān)關(guān)系。故選C?！敬鸢浮緾2(2016葫蘆島模擬)某商品銷售量Y(件)與銷售價格x(元/件)負相關(guān)，則其回歸直線方程可能是()A.10x200 B.10x200C.10x200 D.10x200【解析】因為商品銷售量Y(件)與銷售價格x(元/件)負相關(guān)，所以<0，排除B、D。又因為x0時，y>0，所以應(yīng)選A?！敬鸢浮緼3已知x，y的取值如下表，從散點圖可以看出y與x線性相關(guān)，且回歸方程為0.95xa，則a()x0134y2.24.34.86.7A.3.25 B2.6C2.2 D0【解析】由已知得2，4.5，因為回歸直線經(jīng)過點(，)，所以a4.50.9522.6。故選B?！敬鸢浮緽4在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中，下列說法正確的是()A若K2的觀測值為k6.635，我們有99%的把握認為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺病B從獨立性檢驗可知，有99%的把握認為吸煙與患肺病有關(guān)時，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病C若從統(tǒng)計量中求出有95%的把握認為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯誤D以上三種說法都不正確【解析】根據(jù)獨立性檢驗的思想知C項正確。【答案】C微考點大課堂考點一 相關(guān)關(guān)系的判斷【典例1】(1)下列四個散點圖中，變量x與y之間具有負的線性相關(guān)關(guān)系的是()(2)為研究語文成績和英語成績之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計某班學(xué)生的兩科成績得到如圖所示的散點圖(x軸、y軸的單位長度相同)，用回歸直線方程bxa近似地刻畫其相關(guān)關(guān)系，根據(jù)圖形，以下結(jié)論最有可能成立的是()A線性相關(guān)關(guān)系較強，b的值為1.25B線性相關(guān)關(guān)系較強，b的值為0.83C線性相關(guān)關(guān)系較強，b的值為0.87D線性相關(guān)關(guān)系較弱，無研究價值【解析】(1)觀察散點圖可知，只有D選項的散點圖表示的是變量x與y之間具有負的線性相關(guān)關(guān)系。故選D。(2)由散點圖可以看出兩個變量所構(gòu)成的點在一條直線附近，所以線性相關(guān)關(guān)系較強，且應(yīng)為正相關(guān)，所以回歸直線方程的斜率應(yīng)為正數(shù)，且從散點圖觀察，回歸直線方程的斜率應(yīng)該比yx的斜率要小一些，綜上可知應(yīng)選B?！敬鸢浮?1)D(2)B反思歸納相關(guān)關(guān)系的直觀判斷方法就是作出散點圖，若散點圖呈帶狀且區(qū)域較窄，說明兩個變量有一定的線性相關(guān)性，若呈曲線型也是有相關(guān)性，若呈圖形區(qū)域且分布較亂則不具有相關(guān)性?！咀兪接?xùn)練】(2016長沙模擬)某公司在2015年上半年的收入x(單位：萬元)與月支出Y(單位：萬元)的統(tǒng)計資料如表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出Y5.635.755.825.896.116.18根據(jù)統(tǒng)計資料，則()A月收入的中位數(shù)是15，x與Y有正線性相關(guān)關(guān)系B月收入的中位數(shù)是17，x與Y有負線性相關(guān)關(guān)系C月收入的中位數(shù)是16，x與Y有正線性相關(guān)關(guān)系D月收入的中位數(shù)是16，x與Y有負線性相關(guān)關(guān)系【解析】月收入的中位數(shù)是16，收入增加，支出增加，故x與Y有正線性相關(guān)關(guān)系。故選C?！敬鸢浮緾考點二 線性回歸分析【典例2】(2016全國卷)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖。(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量。附注：參考數(shù)據(jù)：i9.32，iyi40.17, 0.55，2.646。參考公式：相關(guān)系數(shù)r，回歸方程t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，?！窘馕觥?1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得4，(ti)228, 0.55，(ti)(yi)iyii40.1749.322.89，r0.99。因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系。(2)由1.331及(1)得0.103，1.3310.10340.92。所以，y關(guān)于t的回歸方程為0.920.10t。將2016年對應(yīng)的t9代入回歸方程得0.920.1091.82。所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量約為1.82億噸?！敬鸢浮?1)見解析(2)回歸方程為0.920.10t，生活垃圾無害化處理量約為1.82億噸反思歸納1.正確理解計算，的公式和準確的計算是求線性回歸方程的關(guān)鍵。2回歸直線方程x必經(jīng)過樣本點中心(，)。3在分析兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程來估計和預(yù)測?！咀兪接?xùn)練】某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份20062008201020122014需求量(萬噸)236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程x；(2)利用(1)中所求出的回歸直線方程預(yù)測該地2016年的糧食需求量?！窘馕觥?1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升，下面來求回歸直線方程，為此對數(shù)據(jù)預(yù)處理如下：年份201042024需求量257211101929對預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得，0，3.2，6.5，3.2。由上述計算結(jié)果，知所求回歸直線方程為257(x2010)6.5(x2010)3.2，即6.5(x2010)260.2。(*)(2)利用回歸直線方程(*)，可預(yù)測2016年的糧食需求量為6.5(20162010)260.26.56260.2299.2(萬噸)。【答案】(1)6.5(x2010)260.2(2)299.2 萬噸考點三 獨立性檢驗【典例3】(2017九江模擬)某校數(shù)學(xué)課外興趣小組為研究數(shù)學(xué)成績是否與性別有關(guān)，先統(tǒng)計本校高三年級每個學(xué)生一學(xué)期數(shù)學(xué)成績平均分(采用百分制)，剔除平均分在40分以下的學(xué)生后，共有男生300名，女生200名。現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，按性別分為兩組，并將兩組學(xué)生成績分為6組，得到如下所示頻數(shù)分布表。分數(shù)段40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100)男39181569女64510132(1)估計男、女生各自的平均分(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表)，從計算結(jié)果看，數(shù)學(xué)成績與性別是否有關(guān)；(2)規(guī)定80分以上為優(yōu)分(含80分)，請你根據(jù)已知條件作出22列聯(lián)表，并判斷是否有90%以上的把握認為“數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān)”。優(yōu)分非優(yōu)分總計男生女生總計100附表及公式P(K2k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828K2【解析】(1)男450.05550.15650.3750.25850.1950.1571.5，女450.15550.1650.125750.25850.325950.0571.5，從男、女生各自的平均分來看，并不能判斷數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān)。(2)由頻數(shù)分布表可知：在抽取的100名學(xué)生中，“男生組”中的優(yōu)分有15人，“女生組”中的優(yōu)分有15人，據(jù)此可得22列聯(lián)表如下：優(yōu)分非優(yōu)分總計男生154560女生152540總計3070100可得K21.79，因為1.79<2.706，所以沒有90%以上的把握認為“數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān)”?！敬鸢浮?1)不能判斷數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān)(2)沒有90%以上的把握認為“數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān)”反思歸納1.獨立性檢驗的關(guān)鍵是正確列出22列聯(lián)表，并計算出K2的值。2弄清判斷兩變量有關(guān)的把握性與犯錯誤概率的關(guān)系，根據(jù)題目要求作出正確的回答?！咀兪接?xùn)練】某學(xué)生對其親屬30人的飲食習(xí)慣進行了一次調(diào)查，并用下圖所示的莖葉圖表示30人的飲食指數(shù)(說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主)。(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列22列聯(lián)表：主食蔬菜主食肉類總計50歲以下50歲以上總計(2)能否有99%的把握認為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)？并寫出簡要分析?！窘馕觥?1)22列聯(lián)表如下：主食蔬菜主食肉類總計50歲以下481250歲以上16218總計201030(2)因為K210>6.635，所以有99%的把握認為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)。【答案】(1)見解析(2)有99%的把握認為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)，分析見解析微考場新提升1根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y4.02.50.50.52.03.0得到的回歸方程為x，則()A.>0，>0 B.>0，<0C.<0，>0 D.<0，<0解析根據(jù)題中表內(nèi)數(shù)據(jù)畫出散點圖(圖略)，由散點圖可知<0，>0，故選B。答案B2下列有關(guān)樣本相關(guān)系數(shù)的說法不正確的是()A相關(guān)系數(shù)用來衡量變量x與y之間的線性相關(guān)程度B|r|1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大C|r|1，且|r|越接近0，相關(guān)程度越小D|r|1，且|r|越接近1，相關(guān)程度越小答案D3“十一”期間，邢臺市通過隨機詢問100名性別不同的居民是否能做到“光盤”行動，得到了如下列聯(lián)表，下列結(jié)論正確的是()做不到“光盤”行動能做到“光盤”行動男4510女3015A.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“該市居民能否做到光盤行動與性別有關(guān)”B在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“該市居民能否做到光盤行動與性別無關(guān)”C有90%以上的把握認為“該市居民能否做到光盤行動與性別有關(guān)”D有90%以上的把握認為“該市居民能否做到光盤行動與性別無關(guān)”解析根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得到K23.03>2.706，有90%以上的把握認為“該市居民能否做到光盤行動與性別有關(guān)”。故選C。答案C4為了判斷高中三年級學(xué)生選修文科是否與性別有關(guān)，現(xiàn)隨機抽取50名學(xué)生，得到如下22列聯(lián)表：理科文科合計男131023女72027合計203050已知P(K23.841)0.05，P(K25.024)0.025。根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到K2的觀測值k4.844，則認為選修文科與性別有關(guān)系出錯的可能性約為_。解析由K2的觀測值k4.844>3.841，故認為選修文科與性別有關(guān)系出錯的可能性約為5%。答案5%5某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗。根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程0.67x54.9。零件數(shù)x(個)1020304050加工時間y(min)62758189現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)模糊看不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為_。解析由已知可計算求出30，而線性回歸直線必過點(，)，則0.673054.975，設(shè)模糊數(shù)字為a，則75，計算得a68。答案68我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。