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1、
專題對點練16 空間中的平行與垂直
1.
(2017江蘇無錫一模,16)如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,側面AA1C1C是菱形,AC1與A1C交于點O,E是棱AB上一點,且OE∥平面BCC1B1.
(1)求證:E是AB的中點;
(2)若AC1⊥A1B,求證:AC1⊥BC.
證明 (1)連接BC1,取AB的中點E.
∵側面AA1C1C是菱形,AC1與A1C交于點O,
∴O為AC1的中點.
∵E是AB的中點,∴OE∥BC1.
∵OE?平面BCC1B1,BC1?平面BCC1B1,
∴OE∥平面BCC1B1.
∵OE∥平面BCC1B1,∴E,E重合,∴E是AB
2、的中點.
(2)∵側面AA1C1C是菱形,∴AC1⊥A1C.
∵AC1⊥A1B,A1C∩A1B=A1,A1C?平面A1BC,A1B?平面A1BC,∴AC1⊥平面A1BC,
∵BC?平面A1BC,∴AC1⊥BC.
2.
(2017江蘇南京三模,15)如圖,在三棱錐A-BCD中,E,F分別為BC,CD上的點,且BD∥平面AEF.
(1)求證:EF∥平面ABD;
(2)若AE⊥平面BCD,BD⊥CD,求證:平面AEF⊥平面ACD.
證明 (1)∵BD∥平面AEF,BD?平面BCD,平面BCD∩平面AEF=EF,
∴BD∥EF.又BD?平面ABD,EF?平面ABD,
∴EF∥平
3、面ABD.
(2)∵AE⊥平面BCD,CD?平面BCD,∴AE⊥CD.
由(1)可知BD∥EF.∵BD⊥CD,∴EF⊥CD.
又AE∩EF=E,AE?平面AEF,EF?平面AEF,
∴CD⊥平面AEF.又CD?平面ACD,
∴平面AEF⊥平面ACD.
3.
如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC為等腰直角三角形,∠BAC=90,且AB=AA1,D,E,F分別為B1A,C1C,BC的中點,求證:
(1)DE∥平面ABC;
(2)B1F⊥平面AEF.
證明 如圖,建立空間直角坐標系Axyz,不妨設AB=AA1=4,
則A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,
4、2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4).
(1)取AB的中點為N,連接CN,則N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),
∴DE=(-2,4,0),NC=(-2,4,0),
∴DE=NC,
∴DE∥NC.∵NC?平面ABC,DE?平面ABC,
∴DE∥平面ABC.
(2)B1F=(-2,2,-4),EF=(2,-2,-2),AF=(2,2,0).
∴B1FEF=(-2)2+2(-2)+(-4)(-2)=0,
B1FAF=(-2)2+22+(-4)0=0.
∴B1F⊥EF,B1F⊥AF,即B1F⊥EF,B1F⊥AF.
又AF∩EF=F,∴B1F⊥平面A
5、EF.
4.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90,BC=2,CC1=4,點E在線段BB1上,且EB1=1,D,F,G分別為CC1,C1B1,C1A1的中點.
求證:(1)B1D⊥平面ABD;
(2)平面EGF∥平面ABD.
證明 (1)以B為坐標原點,BA,BC,BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖所示,則B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),C1(0,2,4).
設BA=a,則A(a,0,0),所以BA=(a,0,0),BD=(0,2,2),B1D=(0,2,-2),B1DBA=0,B1DBD=0+4-4=0,
6、即B1D⊥BA,B1D⊥BD.
又BA∩BD=B,BA,BD?平面ABD,
因此B1D⊥平面ABD.
(2)由(1)知,E(0,0,3),Ga2,1,4,F(0,1,4),則EG=a2,1,1,EF=(0,1,1),B1DEG=0+2-2=0,B1DEF=0+2-2=0,即B1D⊥EG,B1D⊥EF.
又EG∩EF=E,EG,EF?平面EGF,
因此B1D⊥平面EGF.
結合(1)可知平面EGF∥平面ABD.
5.(2017北京房山一模,理16)如圖1,在邊長為2的菱形ABCD中,∠BAD=60,將△BCD沿對角線BD折起到△BCD的位置,使平面BCD⊥平面ABD,E是BD的中點
7、,FA⊥平面ABD,且FA=23,如圖2.
(1)求證:FA∥平面BCD;
(2)求平面ABD與平面FBC所成角的余弦值;
(3)在線段AD上是否存在一點M,使得CM⊥平面FBC?若存在,求AMAD的值;若不存在,請說明理由.
(1)證明 ∵BC=CD,E為BD的中點,
∴CE⊥BD.
又平面BCD⊥平面ABD,且平面BCD∩平面ABD=BD,
∴CE⊥平面ABD.
∵FA⊥平面ABD,∴FA∥CE.又CE?平面BCD,FA?平面BCD,∴FA∥平面BCD.
(2)解 以DB所在直線為x軸,AE所在直線為y軸,EC所在直線為z軸建立空間直角坐標系,則B(1,0,0),
8、A(0,-3,0),D(-1,0,0),F(0,-3,23),C(0,0,3),
∴BF=(-1,-3,23),BC=(-1,0,3).
設平面FBC的一個法向量為m=(x,y,z),
則mBF=-x-3y+23z=0,mBC=-x+3z=0,取z=1,則m=(3,1,1).
∵平面ABD的一個法向量為n=(0,0,1),
∴cos=mn|m||n|=151=55.
則平面ABD與平面FBC所成角的余弦值為55.
(3)解 假設在線段AD上存在M(x,y,z),使得CM⊥平面FBC,設AM=λAD,則(x,y+3,z)=λ(-1,3,0)=(-λ,3λ,0),∴x=-λ
9、,y=3(λ-1),z=0.而CM=(-λ,3(λ-1),-3),由m∥CM,得-λ3=3(λ-1)1=-31,λ無解.
∴線段AD上不存在點M,使得CM⊥平面FBC.
6.
在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC,E,F,E1分別是棱AA1,BB1,A1B1的中點.
(1)求證:CE∥平面C1E1F;
(2)求證:平面C1E1F⊥平面CEF.
證明 以D為原點,DA,DC,DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,設BC=1,則C(0,1,0),E(1,0,1),C1(0,1,2),F(1,1,1),E11,12,2.
(1)設平面
10、C1E1F的法向量為n=(x,y,z).
∵C1E1=1,-12,0,FC1=(-1,0,1),
∴nC1E1=0,nFC1=0,即x-12y=0,-x+z=0.令x=1,得n=(1,2,1).
∵CE=(1,-1,1),nCE=1-2+1=0,∴CE⊥n.
又CE?平面C1E1F,∴CE∥平面C1E1F.
(2)設平面EFC的法向量為m=(a,b,c),
由EF=(0,1,0),FC=(-1,0,-1),
∴mEF=0,mFC=0,即b=0,-a-c=0.
令a=-1,得m=(-1,0,1).
∵mn=1(-1)+20+11=-1+1=0,
∴平面C1E1F⊥平面CEF.
11、 ?導學號16804198?
7.(2017安徽安慶二模,理18)在如圖所示的五面體中,四邊形ABCD為直角梯形,∠BAD=∠ADC=π2,平面ADE⊥平面ABCD,EF=2DC=4AB=4,△ADE是邊長為2的正三角形.
(1)證明:BE⊥平面ACF;
(2)求二面角A-BC-F的余弦值.
(1)證明
取AD的中點O,以O為原點,OA為x軸,過O作AB的平行線為y軸,OE為z軸,建立空間直角坐標系,
則B(1,1,0),E(0,0,3),A(1,0,0),C(-1,2,0),F(0,4,3),
∴BE=(-1,-1,3),AF=(-1,4,3),AC=(-2,2,0)
12、,
∴BEAF=1-4+3=0,BEAC=2-2=0,
∴BE⊥AF,BE⊥AC.又AF∩AC=A,∴BE⊥平面ACF.
(2)解 BC=(-2,1,0),BF=(-1,3,3).
設平面BCF的法向量n=(x,y,z),
則nBC=-2x+y=0,nBF=-x+3y+3z=0,
取x=1,得n=1,2,-53.
易知平面ABC的一個法向量m=(0,0,1).設二面角A-BC-F的平面角為θ,則cos θ=mn|m||n|=-5311+4+253=-104.
∴二面角A-BC-F的余弦值為-104. ?導學號16804199?
8.(2017北京西城二模,理16)如圖,在幾何
13、體ABCDEF中,底面ABCD為矩形,EF∥CD,AD⊥FC.點M在棱FC上,平面ADM與棱FB交于點N.
(1)求證:AD∥MN;
(2)求證:平面ADMN⊥平面CDEF;
(3)若CD⊥EA,EF=ED,CD=2EF,平面ADE∩平面BCF=l,求二面角A-l-B的大小.
(1)證明 因為四邊形ABCD為矩形,所以AD∥BC,所以AD∥平面FBC.
又因為平面ADMN∩平面FBC=MN,所以AD∥MN.
(2)證明 因為四邊形ABCD為矩形,所以AD⊥CD.
因為AD⊥FC,所以AD⊥平面CDEF.
所以平面ADMN⊥平面CDEF.
(3)解 因為EA⊥CD,AD⊥C
14、D,
所以CD⊥平面ADE,所以CD⊥DE.
由(2)得AD⊥平面CDEF,所以AD⊥DE.
所以DA,DC,DE兩兩互相垂直.建立空間直角坐標系Dxyz.
不妨設EF=ED=1,則CD=2.設AD=a(a>0),
由題意,得A(a,0,0),B(a,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),E(0,0,1),F(0,1,1).所以CB=(a,0,0),CF=(0,-1,1).
設平面FBC的法向量為n=(x,y,z),
則nCB=0,nCF=0,即ax=0,-y+z=0,
令z=1,則y=1.所以n=(0,1,1).
又平面ADE的一個法向量為DC=(0,2,0),
所以|cos|=|nDC||n||DC|=22.
因為二面角A-l-B的平面角是銳角,
所以二面角A-l-B的大小是45.
我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài)，需要轉變經(jīng)濟發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟結構，實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調發(fā)展，推進新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。
高考數(shù)學二輪復習 專題對點練16 空間中的平行與垂直 理
