2019高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.4 平面向量的數(shù)量積分層訓(xùn)練（含解析）新人教A版必修4.doc

平面向量的數(shù)量積 分層訓(xùn)練進(jìn)階沖關(guān)A組 基礎(chǔ)練(建議用時(shí)20分鐘)1.若|m|=4,|n|=6,m與n的夾角為135,則mn=(C)A.12B.12C.-12D.-122.已知|a|=9,|b|=6,ab=-54,則a與b的夾角為(B)A.45 B.135C.120 D.1503.已知向量a=(1,-2),b=(x,4),且ab,則|a-b|=(B)A.5B.3C.2D.24.已知向量a,b的夾角為120,|a|=1,|b|=5,則|3a-b|等于(A)A.7B.6C.5D.45.已知ab,|a|=2,|b|=3,且3a+2b與a-b垂直,則等于(A)A.B.-C.D.16.已知A,B,C是坐標(biāo)平面上的三點(diǎn),其坐標(biāo)分別為A(1,2),B(4,1),C(0,-1),則ABC的形狀為(C)A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.以上均不正確7.已知|a|=2,|b|=10,<a,b>=120,則b在a方向上的投影是-5,a在b方向上的投影是-1.8.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,i,j為相互垂直的單位向量,那么ab=-63.9.已知=(-2,1),=(0,2),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是(-2,6).10.已知a=(,2),b=(-3,5),且a與b的夾角為銳角,則的取值范圍是.11.已知非零向量a,b滿足|a|=1,(a-b)(a+b)=,且ab=.(1)求向量a,b的夾角.(2)求|a-b|.【解析】(1)設(shè)向量a,b的夾角為,因?yàn)?a-b)(a+b)=,所以a2-b2=,即|a|2-|b|2=;又|a|=1,所以|b|=.因?yàn)閍b=,所以|a|b|cos =,所以cos =.所以向量a,b的夾角為45.(2)因?yàn)閨a-b|2=(a-b)2=|a|2-2|a|b|cos +|b|2=,所以|a-b|=.12.已知向量a=(1,2),b=(x,1),(1)當(dāng)x為何值時(shí),使(a+2b)(2a-b)?(2)當(dāng)x為何值時(shí),使(a+2b)(2a-b)?【解析】(1)由a=(1,2),b=(x,1),得a+2b=(2x+1,4),2a-b=(2-x,3).因?yàn)?a+2b)(2a-b),所以3(2x+1)-4(2-x)=0,解得x=.(2)因?yàn)?a+2b)(2a-b),所以(2x+1)(2-x)+12=0,解得x=-2或x=.B組 提升練(建議用時(shí)20分鐘)13.定義:|ab|=|a|b|sin ,其中為向量a與b的夾角,若|a|=2,|b|=5,ab=-6,則|ab|等于(B)A.-8B.8C.-8或8D.614.設(shè)非零向量a,b,c滿足|a|=|b|=|c|,a+b=c,則<a,b>等于(B)A.150 B.120C.60D.3015.如圖所示,已知點(diǎn)A(1,1),單位圓上半部分上的點(diǎn)B滿足=0,則向量的坐標(biāo)為.16.如圖所示,在ABC中,C=90且AC=BC=4,點(diǎn)M滿足=3,則=4.17.在ABC中,O為中線AM上的一個(gè)動點(diǎn),若AM=2,求(+)的最小值.【解析】設(shè)=t,0t1,則+=2=2t,=+=t-=(t-1),所以(+)=2(t-1)t=8(t-1)t=8t2-8t=8-2.所以當(dāng)t=時(shí),(+)有最小值-2.18.已知平面上三個(gè)向量a,b,c的模均為1,它們相互之間的夾角均為120.(1)求證:(a-b)c.(2)若|ka+b+c|>1(kR),求k的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)閨a|=|b|=|c|=1,且a,b,c之間的夾角均為120,所以(a-b)c=ac-bc=|a|c|cos 120-|b|c|cos 120=0.所以(a-b)c.(2)因?yàn)閨ka+b+c|>1,所以(ka+b+c)2>1,即k2a2+b2+c2+2kab+2kac+2bc>1,所以k2+1+1+2kcos 120+2kcos 120+2cos 120>1.所以k2-2k>0,解得k<0或k>2.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為k<0或k>2.C組 培優(yōu)練(建議用時(shí)15分鐘)19.在四邊形ABCD中,已知AB=9,BC=6,=2.(1)若四邊形ABCD是矩形,求的值.(2)若四邊形ABCD是平行四邊形,且=6,求與夾角的余弦值.【解析】(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形,所以=0.由=2,得=,=-.所以=(+)(+)=-=36-81=18.(2)由題意,=+=+=+,=+=+=-,所以=-=36-18=18-.又=6,所以18-=6,所以=36.設(shè)與的夾角為,又=|cos =96cos =54cos ,所以54cos =36,即cos =.所以與夾角的余弦值為.20.已知=(4,0),=(2,2),=(1-)+(2).(1)求及在上的投影.(2)證明A,B,C三點(diǎn)共線,并在=時(shí),求的值.(3)求|的最小值.【解析】(1)=8,設(shè)與的夾角為,則cos =,所以在上的投影為|cos =4=2.(2)=-=(-2,2),=-=(1-)-(1-)=(-1),因?yàn)榕c有公共點(diǎn)B,所以A,B,C三點(diǎn)共線.當(dāng)=時(shí),-1=1,所以=2.(3)|2=(1-)2+2(1-)+2=162-16+16=16+12.所以當(dāng)=時(shí),|取到最小值2.