2019高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.2.2 反證法學(xué)案 新人教B版選修2-2.doc

2.2.2反證法1掌握間接證明的常見方法(反證法)的推理特點(diǎn)2學(xué)會寫出命題的否定，并以此作條件推出矛盾結(jié)論，即學(xué)習(xí)用反證法證明簡單題目反證法一般地，由證明pq轉(zhuǎn)向證明：_，t與假設(shè)矛盾，或與某個真命題矛盾從而判定_為假，推出_為真的方法，叫做反證法1反證法適宜證明“存在性，唯一性，帶有至少有一個或至多有一個等字樣”的一些數(shù)學(xué)問題2應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的一般步驟：(1)分清命題的條件和結(jié)論；(2)做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)；(3)由假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用演繹推理方法，推出矛盾的結(jié)果；(4)斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所做的假定不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明命題為真常見的主要矛盾有：與數(shù)學(xué)公理、定理、公式、定義或已證明了的結(jié)論相矛盾；與臨時假設(shè)矛盾；與公認(rèn)的事實或自相矛盾等【做一做11】應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中可以把下列哪些作為條件使用()結(jié)論的相反判斷，即假設(shè)；原命題的條件；公理、定理、定義等；原結(jié)論A BC D【做一做12】用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至多有一個鈍角”時，假設(shè)正確的是()A假設(shè)三角形的內(nèi)角中至少有一個鈍角B假設(shè)三角形的內(nèi)角中至少有兩個鈍角C假設(shè)三角形的內(nèi)角中沒有一個鈍角D假設(shè)三角形的內(nèi)角中沒有一個鈍角或至少有兩個鈍角如何理解反證法？剖析：反證法證題的特征：通過導(dǎo)出矛盾、歸結(jié)為謬誤，而使命題得證反證法的原理是“否定之否定等于肯定”反證法解題的實質(zhì)就是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾，從而說明原結(jié)論正確，即證明命題的逆否命題成立否定結(jié)論：對結(jié)論的反面要一一否定，不能遺漏；否定一個反面之反證法稱為歸謬法，否定兩個或兩個以上反面之反證法稱為窮舉法要注意用反證法解題，“否定結(jié)論”在推理論證中作為已知使用，導(dǎo)出矛盾是指在假設(shè)的前提下，邏輯推理結(jié)果與“已知條件、假設(shè)、公理、定理或顯然成立的事實”等相矛盾用反證法證明不等式，常用的否定形式有：“”的反面為“”；“”的反面為“”；“”的反面為“”；“”的反面為“”；“”的反面為“”；“”的反面為“”或“”及“”反證法屬邏輯方法范疇，它的嚴(yán)謹(jǐn)性體現(xiàn)在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一個否定是指“否定結(jié)論”；第二個否定是指“邏輯推理結(jié)果否定了假設(shè)”反證法屬“間接解題方法”，書寫格式易錯之處是“假設(shè)”易錯寫成“設(shè)”反證法不是去直接證明結(jié)論，而是先否定結(jié)論，在否定結(jié)論的基礎(chǔ)上運(yùn)用演繹推理，導(dǎo)出矛盾，從而肯定結(jié)論的正確性題型一 命題的結(jié)論是否定型【例題1】已知函數(shù)f(x)ax(a1)(1)證明函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)；(2)用反證法證明方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根分析：應(yīng)用增函數(shù)定義證明第一問；第二問的結(jié)論是否定型的，適于應(yīng)用反證法反思：在解題過程中，提出假設(shè)，分類討論等都是在合理地增設(shè)條件，為解題提供幫助題型二 命題的結(jié)論涉及至多、至少及存在型【例題2】已知a，b，c都是小于1的正數(shù)，求證：(1a)b，(1b)c，(1c)a中至少有一個不大于.分析：命題中有“至少、不都、都不、至多”等指示性語句時，應(yīng)用直接方法證明時難度很大，根據(jù)正難則反的思想，應(yīng)用反證法證明本題中“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，然后由假設(shè)入手，應(yīng)用均值不等式證明反思：反證法證題的實質(zhì)是證明它的逆否命題成立，反證法的主要依據(jù)是邏輯中的排中律，排中律的一般表現(xiàn)形式是：或者是A，或者非A，即在同一討論過程中，A和非A有一個且僅有一個是對的，不能有第三種情形出現(xiàn)題型三 唯一性命題的證明【例題3】求證：過直線外一點(diǎn)只有一條直線與它平行分析：本題屬唯一性的證明問題，用反證法證明已知：Aa，Ab，ba，求證：b唯一題型四 易錯辨析易錯點(diǎn)：運(yùn)用反證法時，第一步否定結(jié)論易錯因為有些結(jié)論的對立面不易確定，從而導(dǎo)致錯誤【例題4】用反證法證明命題“a，b為整數(shù)，若ab不是偶數(shù)，則a，b都不是偶數(shù)”時，應(yīng)假設(shè)_錯解：a，b不都是偶數(shù)1反證法證題的關(guān)鍵是在正確的假設(shè)下得出矛盾這個矛盾可以是()與已知矛盾；與假設(shè)矛盾；與定義、定理、公理、法則矛盾；與事實矛盾A BC D2命題“在ABC中，若AB，則ab”的結(jié)論的否定應(yīng)該是()Aab Bab Cab Dab3“M不是N的子集”的充分必要條件是()A若xM則xNB若xN則xMC存在x1Mx1N，又存在x2Mx2ND存在x0Mx0N4設(shè)實數(shù)a，b，c滿足abc1，則a，b，c中至少有一個數(shù)不小于_5用反證法證明命題“若a2b20，則a，b全為0(a，b為實數(shù))”時，應(yīng)假設(shè)_答案；基礎(chǔ)知識梳理qrtqq【做一做11】C【做一做12】B“至多有一個”的反面為“至少有兩個”典型例題領(lǐng)悟【例題1】證明：(1)任取x1，x2(1，)，不妨設(shè)x1x2，則x2x10，ax2x11，且ax10，ax2ax1ax1(ax2x11)0.又x110，x210，0.f(x2)f(x1)ax2ax10.故函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)(2)假設(shè)存在x00(x01)，滿足f(x0)0，則ax0，且0ax01，01，即x02，與假設(shè)x00矛盾，故方程f(x)0沒有負(fù)根【例題2】證明：假設(shè)(1a)b，(1b)c，(1c)a.a，b，c都是小于1的正數(shù)，從而.但是，與上式矛盾假設(shè)不成立，即原命題成立【例題3】證明：假設(shè)過點(diǎn)A還有一條直線ba.根據(jù)平行公理，ba，bb，與bbA矛盾假設(shè)不成立，原命題成立【例題4】錯因分析：a，b不都是偶數(shù)包括的情況是：a是偶數(shù)，b是奇數(shù)；a是奇數(shù)；b是偶數(shù)；a，b都不是偶數(shù)顯然，否定的結(jié)論并不是結(jié)論的對立面，所以不正確，題目中“a，b都不是偶數(shù)”指“a，b都是奇數(shù)”正解：a，b不都是奇數(shù)隨堂練習(xí)鞏固1D2B“大于”的否定是“不大于”，即“小于”或“等于”3D按定義，若M是N的子集，則集合M的任一個元素都是集合N的元素所以，要使M不是N的子集，只需存在x0M但x0N.選D.4假設(shè)a，b，c都小于，則abc1.故a，b，c中至少有一個不小于.5a，b不全為0(a，b為實數(shù))“a，b全為0”即“a0且b0”，它的否定為“a0或b0”，即“a，b不全為0”