2019高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系章末小結(jié)與測(cè)評(píng)講義（含解析）新人教A版必修2.doc

第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系考點(diǎn)1共點(diǎn)、共線、共面問題1三點(diǎn)共線問題證明空間三點(diǎn)共線問題，通常證明這些點(diǎn)都在兩個(gè)面的交線上，即先確定出某兩點(diǎn)在某兩個(gè)平面的交線上，再證第三點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，則此點(diǎn)必在兩個(gè)平面的交線上2共面問題證明共面問題，一般有兩種證法：一是由某些元素確定一個(gè)平面，然后證明其余元素在這個(gè)平面內(nèi)；二是分別由不同元素確定若干個(gè)平面，然后證明這些平面重合3三線共點(diǎn)問題證明三線共點(diǎn)問題，先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過這點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上的問題典例1在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1 中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，求證：CE，D1F，DA三線交于一點(diǎn)證明：連接EF，D1C，A1B.E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，EFA1B，EFA1B.又A1BD1C，EFD1C，E，F(xiàn)，D1，C四點(diǎn)共面，且EFD1C，D1F與CE相交于點(diǎn)P.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點(diǎn)，又平面A1D1DA平面ABCDDA，根據(jù)公理3可得PDA，即CE，D1F，DA三線交于一點(diǎn)對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1在正方體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于點(diǎn)Q，求證：B，Q，D1三點(diǎn)共線證明：如圖所示，連接A1B，CD1.顯然B平面A1BCD1，D1平面A1BCD1.BD1平面A1BCD1.同理BD1平面ABC1D1.平面ABC1D1平面A1BCD1BD1.A1C平面ABC1D1Q，Q平面ABC1D1.又A1C平面A1BCD1，Q平面A1BCD1.QBD1，即B，Q，D1三點(diǎn)共線考點(diǎn)2平行關(guān)系1空間中平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化2判斷線面平行的兩種常用方法面面平行判定的落腳點(diǎn)是線面平行，因此掌握線面平行的判定方法是必要的，判定線面平行的兩種方法：(1)利用線面平行的判定定理；(2)利用面面平行的性質(zhì)，即當(dāng)兩平面平行時(shí)，其中一平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面3判斷面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的傳遞性(，)；(3)利用線面垂直的性質(zhì)(l，l)典例2如圖，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F(xiàn)，G分別是棱B1B，D1D，DA的中點(diǎn)求證：(1)平面AD1E平面BGF；(2)D1EAC.證明：(1)E，F(xiàn)分別是B1B和D1D的中點(diǎn)，D1FBE且D1FBE.四邊形BED1F是平行四邊形，D1EBF.又D1E平面BGF，BF平面BGF，D1E平面BGF.FG是DAD1的中位線，F(xiàn)GAD1.又AD1平面BGF，F(xiàn)G平面BGF，AD1平面BGF.又AD1D1ED1，平面AD1E平面BGF.(2)連接BD，B1D1，底面是正方形，ACBD.D1DAC，D1DBDD，AC平面BDD1B1.D1E平面BDD1B1，D1EAC.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2在多面體ABCDEF中，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，三角形CDE是等邊三角形，棱EFBC且EFBC.求證：FO平面CDE.證明：如圖所示，取CD中點(diǎn)M，連接OM, EM，在矩形ABCD中，OMBC且OMBC，又EFBC且EFBC，則EFOM且EFOM.所以四邊形EFOM為平行四邊形，所以FOEM.又因?yàn)镕O平面CDE，EM平面CDE，所以FO平面CDE.考點(diǎn)3垂直關(guān)系1空間中垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化2判定線面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理；(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直”；(3)利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則與另一個(gè)也垂直”；(4)利用面面垂直的性質(zhì)3判定線線垂直的方法(1)平面幾何中證明線線垂直的方法；(2)線面垂直的性質(zhì)：a，bab；(3)線面垂直的性質(zhì)：a，bab.4判斷面面垂直的方法(1)利用定義：兩個(gè)平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.典例3(2016九江高一檢測(cè))如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且ADDE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)求證：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直線A1F平面ADE.證明：(1)因?yàn)锳BCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1AD.又因?yàn)锳DDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因?yàn)锳1B1A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)，所以A1FB1C1.因?yàn)镃C1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因?yàn)镃C1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2016汕尾模擬)如圖所示：平面，直線a，且，AB，a，aAB.求證：a.證明：a，過a作平面交于a，則aa.aAB，aAB.，AB，a，a.考點(diǎn)4空 間 角空間角的求法(1)找異面直線所成的角的三種方法利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移(2)線面角：求斜線與平面所成的角關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，即確定過斜線上一點(diǎn)向平面所作垂線的垂足通常是解由斜線段，垂線段，斜線在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形典例4如圖，AB是O的直徑，PA垂直于O所在的平面，C是圓周上不同于A, B的一動(dòng)點(diǎn)(1)證明：PBC是直角三角形；(2)若PAAB2，且當(dāng)直線PC與平面ABC所成角的正切值為 時(shí)，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值解：(1)證明：AB是O的直徑，C是圓周上不同于A，B的一動(dòng)點(diǎn)BCAC，PA平面ABC，BCPA，又PAACA，BC平面PAC，BCPC，BPC是直角三角形(2)如圖，過A作AHPC于H，BC平面PAC，BCAH，PCBCC，AH平面PBC，ABH是直線AB與平面PBC所成角，PA平面ABC，PCA即是PC與平面ABC所成角，tanPCA，又PA2，AC，在RtPAC中，AH，在RtABH中，sinABH，即直線AB與平面PBC所成角的正弦值為.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4如圖，在三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC90，ABAC，D、E分別是BC、AB的中點(diǎn)，ACAD，設(shè)PC與DE所成的角為，PD與平面ABC所成的角為，二面角PBCA的平面角為，則、的大小關(guān)系是_解析：D、E分別是BC、AB的中點(diǎn)，DEAC，PC與DE所成的角為PCA，即；PA平面ABC，PD與平面ABC所成的角為PDA，即；過A作AHBC，垂足為H，連接PH，易證BC平面PAH，PHA是二面角PBCA的平面角，即.ABAC，ADAH，又ACAD，ACADAH，tan tan tan ，<<.答案：<<考點(diǎn)5折疊問題解決折疊問題的關(guān)鍵在于認(rèn)真分析折疊前后元素的位置變化情況，看看哪些元素的位置變了，哪些沒有變，基本思路是利用不變求變，一般步驟如下：(1)平面空間：根據(jù)平面圖形折出滿足條件的空間圖形想象出空間圖形，完成平面圖形與平面圖形在認(rèn)識(shí)上的轉(zhuǎn)化(2)空間平面：為解決空間圖形問題，要回到平面上來，重點(diǎn)分析元素的變與不變(3)平面空間：弄清楚變與不變的元素以后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系去探求變化后元素在空間中的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系典例5如圖，在矩形ABCD中，AB2AD，E是AB的中點(diǎn)，沿DE將ADE折起(1)如果二面角ADEC是直二面角，求證：ABAC；(2)如果ABAC，求證：平面ADE平面BCDE.證明：(1)過點(diǎn)A作AMDE于點(diǎn)M，則AM平面BCDE，AMBC.又ADAE，M是DE的中點(diǎn)取BC中點(diǎn)N，連接MN，AN，則MNBC.又AMBC，AMMNM，BC平面AMN，ANBC.又N是BC中點(diǎn)，ABAC.(2)取BC的中點(diǎn)N，連接AN.ABAC，ANBC.取DE的中點(diǎn)M，連接MN，AM，MNBC.又ANMNN，BC平面AMN，AMBC.又M是DE的中點(diǎn)，ADAE，AMDE.又DE與BC是平面BCDE內(nèi)的相交直線，AM平面BCDE.AM平面ADE，平面ADE平面BCDE.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5如圖所示，在平行四邊形ABCD中，已知AD2AB2a，BDa，ACBDE，將其沿對(duì)角線BD折成直二面角求證：(1)AB平面BCD；(2)平面ACD平面ABD.證明：(1)在ABD中，ABa，AD2a，BDa，AB2BD2AD2，ABD90，ABBD.又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，AB平面BCD.(2)折疊前四邊形ABCD是平行四邊形，且ABBD，CDBD.AB平面BCD，ABCD.又ABBDB，CD平面ABD.又CD平面ACD，平面ACD平面ABD.（時(shí)間120分鐘 滿分150分）一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1下列推理錯(cuò)誤的是()AAl，A，Bl，BlBA，A，B，BABCl，AlADAl，lA解析：選C若直線lA，顯然有l(wèi) ，Al，但A.2下列命題正確的是()A一直線與一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則此直線與平面垂直B兩條異面直線不能同時(shí)垂直于一個(gè)平面C直線與平面所成的角的取值范圍是：0180D兩異面直線所成的角的取值范圍是：090.解析：選BA錯(cuò)誤一直線與一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，并不意味著和平面內(nèi)的任意直線垂直，所以此直線與平面不一定垂直；B正確由線面垂直的性質(zhì)定理可知，兩條異面直線不能同時(shí)垂直于一個(gè)平面；C錯(cuò)誤直線與平面所成的角的取值范圍是：090；D錯(cuò)誤兩異面直線所成的角的取值范圍是：090.3下列說法不正確的是()A空間中，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形一定是平行四邊形B同一平面的兩條垂線一定共面C過直線上一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線與這條直線垂直，且這些直線都在同一平面內(nèi)D過一條直線有且只有一個(gè)平面與已知平面垂直解析：選D如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AD平面DCC1D1，因此平面ABCD、平面AA1D1D均與平面DCC1D1垂直而且平面AA1D1D平面ABCDAD，顯然選項(xiàng)D不正確，故選D.4(2016廣州模擬)在空間中，下列命題正確的是()A平行直線在同一平面內(nèi)的射影平行或重合B垂直于同一平面的兩條直線平行C垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行D平行于同一直線的兩個(gè)平面平行解析：選BA中的射影也有可能是兩個(gè)點(diǎn)，錯(cuò)誤；C中兩個(gè)平面也可能相交，錯(cuò)誤；D中的兩個(gè)平面也有可能相交，錯(cuò)誤所以只有B正確5如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中點(diǎn)，則直線CE垂直于()AAC BBDCA1D DA1D1解析：選BCE平面ACC1A1，而BDAC，BDAA1，BD平面ACC1A1，BDCE.6(2016湖南師大附中高一檢測(cè))設(shè)，為兩兩不重合的平面，l，m，n為兩兩不重合的直線，給出下列三個(gè)說法：若，則；若，l，則l；若l，m，n，l，則mn.其中正確的說法個(gè)數(shù)是()A3 B2 C1 D0解析：選B垂直于同一平面的兩個(gè)平面不一定平行，故錯(cuò)誤；由面面平行的性質(zhì)知正確；借助于三棱柱可知正確7(2015安徽高考)已知m，n是兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是()A若，垂直于同一平面，則與平行B若m，n平行于同一平面，則m與n平行C若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線D若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面解析：選DA項(xiàng)，可能相交，故錯(cuò)誤；B項(xiàng)，直線m，n的位置關(guān)系不確定，可能相交、平行或異面，故錯(cuò)誤；C項(xiàng)，若m，n，mn，則m，故錯(cuò)誤；D項(xiàng)，假設(shè)m，n垂直于同一平面，則必有mn，所以原命題正確，故D項(xiàng)正確8(2016濮陽(yáng)質(zhì)檢)a、b、c為三條不重合的直線，、為三個(gè)不重合的平面，現(xiàn)給出四個(gè)命題：；a；a.其中正確的命題是()A B C D解析：選C正確錯(cuò)在與可能相交錯(cuò)在a可能在內(nèi)9在四面體ABCD中，已知棱AC的長(zhǎng)為 ，其余各棱長(zhǎng)都為1，則二面角ACDB的余弦值為()A. B. C. D.解析：選C取AC的中點(diǎn)E，CD的中點(diǎn)F，則EF，BE，BF，BEF為直角三角形，cos .10在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，則BC1與平面BB1D1D所成的角的正弦值為()A. B. C. D.解析：選D在平面A1B1C1D1內(nèi)過點(diǎn)C1作B1D1的垂線，垂足為E，連接BE.C1E平面BDD1B1，C1BE的正弦值就是所求角的正弦值BC1，C1E，sinC1BE.11矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為()A. B. C. D.解析：選C球心O為AC中點(diǎn)，半徑為RAC，VR3.12如圖，四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構(gòu)成四面體ABCD，則在四面體ABCD中，下列結(jié)論正確的是()A平面ABD平面ABC B平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDC D平面ADC平面ABC解析：選D易知BCD中，DBC45，BDC90，又平面ABD平面BCD，而CDBD，CD平面ABD，ABCD，而ABAD，CDADD，AB平面ACD，平面ABC平面ACD.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1內(nèi)，MNBC于M，則MN與AB的位置關(guān)系是_解析：由平面BCC1B1平面ABCD，知MN平面ABCD.MNAB.答案：垂直14如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是棱AA1和AB上的點(diǎn)，若B1MN是直角，則C1MN等于_解析：B1C1平面A1ABB1，MN平面A1ABB1，B1C1MN，又B1MN為直角B1MMN，而B1MB1C1B1.MN平面MB1C1，又MC1平面MB1C1，MNMC1，C1MN90.答案：9015如圖，圓錐SO中，AB、CD為底面圓的兩條直徑，ABCDO，且ABCD，SOOB2，P為SB的中點(diǎn)，則異面直線SA與PD所成角的正切值為_解析：連接PO，則POSA，OPD即為異面直線SA與PD所成的角，且OPD為直角三角形，POD為直角，tanOPD.答案：16(2016福州高一檢測(cè))如圖，AB是O的直徑，C是圓周上不同于A、B的點(diǎn)，PA垂直于O所在的平面，AEPB于E，AFPC于F，因此，_平面PBC.(填圖中的一條直線)解析：AB是O的直徑，C是圓周上不同于A、B的點(diǎn)，BCAC，PA垂直于O所在的平面，BCPA，又PAACA，BC平面PAC，AF平面PAC，AFBC，又AFPC，BCPCC，AF平面PBC.答案：AF三、解答題(本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)如圖，在四面體ABCD中，CBCD，ADBD，且E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)求證：(1)EF平面ACD；(2)平面EFC平面BCD.證明：(1)E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)，EF是ABD的中位線，EFAD，EF平面ACD，AD平面ACD，EF平面ACD.(2)ADBD，EFAD，EFBD.CBCD，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，CFBD.又EFCFF，BD平面EFC.BD平面BCD，平面EFC平面BCD.18(本小題滿分12分)(2016常德高一檢測(cè))如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，F(xiàn)，F(xiàn)1分別是AC，A1C1的中點(diǎn)求證：(1)平面AB1F1平面C1BF；(2)平面AB1F1平面ACC1A1.證明：(1)在正三棱柱ABCA1B1C1中，F(xiàn)，F(xiàn)1分別是AC，A1C1的中點(diǎn)，B1F1BF，AF1C1F.又B1F1AF1F1，C1FBFF，平面AB1F1平面C1BF.(2)在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，B1F1AA1.又B1F1A1C1，A1C1AA1A1，B1F1平面ACC1A1，而B1F1平面AB1F1，平面AB1F1平面ACC1A1.19(本小題滿分12分)(2016滁州質(zhì)檢)矩形ABCD中，AB2，AD1，E為CD的中點(diǎn)，沿AE將DAE折起到D1AE的位置，使平面D1AE平面ABCE.(1)若F為線段D1A的中點(diǎn)，求證：EF平面D1BC；(2)求證：BED1A.證明：(1)取AB的中點(diǎn)G，連接EG、FG，則EGBC，F(xiàn)GD1B，且EGFGG，EG、FG平面EFG；D1BBCB，D1B、BC平面D1BC.平面EFG平面D1BC，注意到EF平面EFG，EF平面D1BC.(2)易證BEEA，平面D1AE平面ABCE，平面D1AE平面ABCEAE，BE平面D1AE，且D1A平面D1AE，BED1A.20(本小題滿分12分)在三棱錐SABC中，SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC且分別交AC、SC于D、E，又SAAB，SBBC.(1)求證：BD平面SAC；(2)求二面角EBDC的大小解：(1)證明：如圖，DESC，且E為SC的中點(diǎn)，又SBBC，BESC.又DEBEE，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理知SC平面BDE，BD平面BDE，SCBD.又SA平面ABC，BD平面ABC，SABD.又SASCS，BD平面SAC.(2)由(1)知EDC為二面角EBDC的平面角，又SACDEC，EDCASC.在RtSAB中，SAB90，設(shè)SAAB1，則SB.由SABC，ABBC，ABSAA，BC平面SAB，SB平面SAB，BCSB.在RtSBC中，SBBC，SBC90，則SC2.在RtSAC中，SAC90，SA1，SC2.cosASC.ASC60，即二面角EBDC的大小為60.21(12分)(2015北京高考)如圖，在三棱錐VABC中，平面VAB平面ABC，VAB為等邊三角形，ACBC，且ACBC，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)(1)求證：VB平面MOC；(2)求證：平面MOC平面VAB；(3)求三棱錐VABC的體積解：(1)證明：因?yàn)镺，M分別為AB，VA的中點(diǎn)，所以O(shè)MVB.又因?yàn)閂B平面MOC，OM平面MOC，所以VB平面MOC.(2)證明：因?yàn)锳CBC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)CAB.又因?yàn)槠矫鎂AB平面ABC，且OC平面ABC，所以O(shè)C平面VAB.又OC平面MOC，所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1.所以等邊三角形VAB的面積SVAB.又因?yàn)镺C平面VAB，所以三棱錐CVAB的體積等于OCSVAB.又因?yàn)槿忮FVABC的體積與三棱錐CVAB的體積相等，所以三棱錐VABC的體積為.22(12分)(2015天津高考)如圖，已知AA1平面ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2，AA1，BB12，點(diǎn)E和F分別為BC和A1C的中點(diǎn)(1)求證：EF平面A1B1BA；(2)求證：平面AEA1平面BCB1；(3)求直線A1B1與平面BCB1所成角的大小解：(1)證明：如圖，連接A1B.在A1BC中，因?yàn)镋和F分別是BC和A1C的中點(diǎn)，所以EFBA1.又因?yàn)镋F平面A1B1BA，所以EF平面A1B1BA.(2)證明：因?yàn)锳BAC，E為BC的中點(diǎn)，所以AEBC.因?yàn)锳A1平面ABC，BB1AA1，所以BB1平面ABC，從而BB1AE.又因?yàn)锽CBB1B，所以AE平面BCB1.又因?yàn)锳E平面AEA1，所以平面AEA1平面BCB1.(3)取BB1的中點(diǎn)M和B1C的中點(diǎn)N，連接A1M，A1N，NE.因?yàn)镹和E分別為B1C和BC的中點(diǎn)，所以NEB1B，NEB1B，故NEA1A且NEA1A，所以A1NAE，且A1NAE.又因?yàn)锳E平面BCB1，所以A1N平面BCB1，從而A1B1N為直線A1B1與平面BCB1所成的角在ABC中，可得AE2，所以A1NAE2.因?yàn)锽MAA1，BMAA1，所以A1MAB，A1MAB.又由ABBB1，有A1MBB1.在RtA1MB1中，可得A1B14.在RtA1NB1中，sinA1B1N，因此A1B1N30.所以，直線A1B1與平面BCB1所成的角為30.