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專題突破練(7) 概率與其他知識的交匯
一、選擇題
1．(2018太原五中測試)在區(qū)間[1，5]上隨機地取一個數m，則方程4x2＋m2y2＝1表示焦點在y軸上的橢圓的概率是( )
A． B． C． D．
答案 B
解析 由方程4x2＋m2y2＝1，即＋＝1表示焦點在y軸上的橢圓，得<，即m2<4，而1≤m≤5，則1≤m＜2，則所求概率為＝．故選B．
2．(2018湖南六校聯(lián)考)折紙已經成為開發(fā)少年兒童智力的一種重要工具和手段，已知在折疊“愛心”活動中，會產生如圖所示的幾何圖形，其中四邊形ABCD為正方形，G為線段BC的中點，四邊形AEFG與四邊形DGHI也是正方形，連接EB，CI，則向多邊形AEFGHID中投擲一點，則該點落在陰影部分的概率為( )
A． B． C． D．
答案 C
解析 設AB＝2，則BG＝1，AG＝，故多邊形AEFGHID的面積S＝()22＋22＝12，由sin∠EAB＝cos∠GAB＝＝，所以S陰影部分＝AEABsin∠EAB＝2，故所求概率P＝＝．故選C．
3．(2018黑龍江虎林一中期末)若隨機變量X～N(μ，σ2)(σ>0)，則有如下結論：
P(μ－σ
130)＝(1－0．6826)＝0．1587，所以成績在130分以上人數約為400．1587≈6．故選C．
4．(2018廣東三校聯(lián)考)已知函數f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1，2，3三個數中任取一個數，b是從0，1，2三個數中任取一個數，則該函數有兩個極值點的概率為( )
A． B． C． D．
答案 D
解析 將a記為橫坐標，b記為縱坐標，可知有(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共9個基本事件，而函數有兩個極值點的條件為其導函數有兩個不相等的實根．因為f′(x)＝x2＋2ax＋b2，滿足題中條件為Δ＝4a2－4b2>0，即a>b，所以滿足條件的有(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共6個基本事件，所以所求的概率為P＝＝．故選D．
5．(2018湖北部分重點中學聯(lián)考二)已知實數a，b是利用計算機產生的0～1之間的均勻隨機數，設事件A為“(a－1)2＋b2>”，則事件A發(fā)生的概率為( )
A． B．1－ C． D．1－
答案 B
解析 分別以a，b為橫軸和縱軸建立平面直角坐標系，則符合題意的實數對(a，b)表示的平面區(qū)域為邊長為1的正方形及其內部，其中使得事件A不發(fā)生的實數對(a，b)表示的平面區(qū)域為以(1，0)為圓心，半徑為的四分之一個圓及其內部，則事件A發(fā)生的概率為＝1－．故選B．
6．(2018山東青島統(tǒng)測)矩形OABC內的陰影部分由曲線f(x)＝sinx(x∈(0，π))及直線x＝a(a∈(0，π))與x軸圍成，向矩形OABC內隨機投擲一點，若落在陰影部分的概率為，則a的值為( )
A． B． C． D．
答案 A
解析 根據題意，陰影部分的面積為sinxdx＝1－cosa，矩形的面積為a＝8，故由幾何概型的概率公式可得＝，解得cosa＝－，所以a＝．故選A．
7．(2018山西考前適應訓練)甲、乙二人約定7：10在某處會面，甲在7：00～7：20內某一時刻隨機到達，乙在7：05～7：20內某一時刻隨機到達，則甲至少需等待乙5分鐘的概率是( )
A．B．C．D．
答案 C
解析 設甲、乙到達約會地點的時刻分別是x，y，則取值范圍為對應區(qū)域是以20和15為邊長的長方形，其中甲至少需等待乙5分鐘滿足y－x≥5，對應區(qū)域是以15為直角邊的等腰直角三角形(如圖中陰影部分(含邊界)所示)，則所求概率為＝．故選C．
二、填空題
8．(2019成都模擬)甲、乙兩人在5次綜合測評中成績的莖葉圖如圖所示，其中一個數字被污損，記甲、乙的平均成績分別為甲，乙，則甲>乙的概率是________．
答案
解析 乙的綜合測評成績?yōu)?6，87，91，92，94，乙＝＝90，污損處可取數字0，1，2，…，9，共10種，而甲>乙發(fā)生對應的數字有6，7，8，9，共4種，故甲>乙的概率為＝．
9．(2018安徽聯(lián)考)將一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點數記為a，第二次出現(xiàn)的點數記為b，設任意投擲兩次使l1：x＋ay＝3，l2：bx＋6y＝3平行的概率為P1，不平行的概率為P2，若點(P1，P2)在圓(x－m)2＋y2＝的內部，則實數m的取值范圍是________．
答案?。?m<
解析 由l1∥l2得ab＝6且a≠6，b≠1，滿足條件的(a，b)為(1，6)，(2，3)，(3，2)，而所有的(a，b)有66＝36種，∴P1＝，P2＝，∴2＋2<，解得－10000)＝0．5＋0．2＝0．7，
由二項分布，3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為p＝1－(1－p1)3＝1－0．33＝0．973．
13．(2018河南八市聯(lián)考一)我們國家正處于老齡化社會中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有戶籍人口400萬，其中老人(年齡60歲及以上)人數約有66萬，為了了解老人們的健康狀況，政府從老人中隨機抽取600人并委托醫(yī)療機構免費為他們進行健康評估，健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個等級，并以80歲為界限分成兩個群體進行統(tǒng)計，樣本頻數分布被制作成如下圖表：
(1)若采用分層抽樣的方法從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進一步了解他們的生活狀況，則兩個群體中各應抽取多少人？
(2)估算該市80歲及以上老人占全市戶籍人口的百分比；
(3)據統(tǒng)計該市大約有五分之一的戶籍老人無固定收入，政府計劃為這部分老人每月發(fā)放生活補貼，標準如下：
①80歲及以上老人每人每月發(fā)放生活補貼200元；
②80歲以下老人每人每月發(fā)放生活補貼120元；
③不能自理的老人每人每月額外發(fā)放生活補貼100元．
利用樣本估計總體，試估計政府執(zhí)行此計劃的年度預算．(單位：億元，結果保留兩位小數)
解 (1)數據整理如下表：
健康狀況
健康
基本健康
不健康尚能自理
不能自理
80歲及以上
20
45
20
15
80歲以下
200
225
50
25
從圖表中知采用分層抽樣的方法從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進一步了解他們的生活狀況，80歲及以上應抽取8＝3(人)，80歲以下應抽取8＝5(人)．
(2)在600人中80歲及以上老人在老人中占比為＝，
用樣本估計總體，80歲及以上長者為66＝11(萬人)，
80歲及以上老人占全市戶籍人口的百分比為100%＝2．75%．
(3)解法一：用樣本估計總體，設任一戶籍老人每月享受的生活補助為X元，
P(X＝0)＝，
P(X＝120)＝＝，
P(X＝200)＝＝，
P(X＝220)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
則隨機變量X的分布列為
X
0
120
200
220
300
P
E(X)＝＝28，
全市老人的總預算為281266104＝2．2176108元．
故政府執(zhí)行此計劃的年度預算約為2．22億元．
解法二：在無固定收入的戶籍老人中，
80歲及以上老人有66＝(萬)，
80歲以下老人有66＝11(萬)，
不能自理老人有66＝(萬)．
所以全市老人總預算為：
200＋11120＋10010412＝2．2176108元．
故政府執(zhí)行此計劃的年度預算約為2．22億元．
2020高考數學刷題首選卷 專題突破練（7）概率與其他知識的交匯（理）（含解析）.docx
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