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專(zhuān)題突破練(7) 概率與其他知識(shí)的交匯
一、選擇題
1．(2018太原五中測(cè)試)在區(qū)間[1，5]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)m，則方程4x2＋m2y2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的概率是( )
A． B． C． D．
答案 B
解析 由方程4x2＋m2y2＝1，即＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，得<，即m2<4，而1≤m≤5，則1≤m＜2，則所求概率為＝．故選B．
2．(2018湖南六校聯(lián)考)折紙已經(jīng)成為開(kāi)發(fā)少年兒童智力的一種重要工具和手段，已知在折疊“愛(ài)心”活動(dòng)中，會(huì)產(chǎn)生如圖所示的幾何圖形，其中四邊形ABCD為正方形，G為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，四邊形AEFG與四邊形DGHI也是正方形，連接EB，CI，則向多邊形AEFGHID中投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分的概率為( )
A． B． C． D．
答案 C
解析 設(shè)AB＝2，則BG＝1，AG＝，故多邊形AEFGHID的面積S＝()22＋22＝12，由sin∠EAB＝cos∠GAB＝＝，所以S陰影部分＝AEABsin∠EAB＝2，故所求概率P＝＝．故選C．
3．(2018黑龍江虎林一中期末)若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)(σ>0)，則有如下結(jié)論：
P(μ－σ
130)＝(1－0．6826)＝0．1587，所以成績(jī)?cè)?30分以上人數(shù)約為400．1587≈6．故選C．
4．(2018廣東三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1，2，3三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為( )
A． B． C． D．
答案 D
解析 將a記為橫坐標(biāo)，b記為縱坐標(biāo)，可知有(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共9個(gè)基本事件，而函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的條件為其導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)根．因?yàn)閒′(x)＝x2＋2ax＋b2，滿(mǎn)足題中條件為Δ＝4a2－4b2>0，即a>b，所以滿(mǎn)足條件的有(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共6個(gè)基本事件，所以所求的概率為P＝＝．故選D．
5．(2018湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考二)已知實(shí)數(shù)a，b是利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)，設(shè)事件A為“(a－1)2＋b2>”，則事件A發(fā)生的概率為( )
A． B．1－ C． D．1－
答案 B
解析 分別以a，b為橫軸和縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，則符合題意的實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)表示的平面區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為1的正方形及其內(nèi)部，其中使得事件A不發(fā)生的實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)表示的平面區(qū)域?yàn)橐?1，0)為圓心，半徑為的四分之一個(gè)圓及其內(nèi)部，則事件A發(fā)生的概率為＝1－．故選B．
6．(2018山東青島統(tǒng)測(cè))矩形OABC內(nèi)的陰影部分由曲線(xiàn)f(x)＝sinx(x∈(0，π))及直線(xiàn)x＝a(a∈(0，π))與x軸圍成，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，若落在陰影部分的概率為，則a的值為( )
A． B． C． D．
答案 A
解析 根據(jù)題意，陰影部分的面積為sinxdx＝1－cosa，矩形的面積為a＝8，故由幾何概型的概率公式可得＝，解得cosa＝－，所以a＝．故選A．
7．(2018山西考前適應(yīng)訓(xùn)練)甲、乙二人約定7：10在某處會(huì)面，甲在7：00～7：20內(nèi)某一時(shí)刻隨機(jī)到達(dá)，乙在7：05～7：20內(nèi)某一時(shí)刻隨機(jī)到達(dá)，則甲至少需等待乙5分鐘的概率是( )
A．B．C．D．
答案 C
解析 設(shè)甲、乙到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)刻分別是x，y，則取值范圍為對(duì)應(yīng)區(qū)域是以20和15為邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方形，其中甲至少需等待乙5分鐘滿(mǎn)足y－x≥5，對(duì)應(yīng)區(qū)域是以15為直角邊的等腰直角三角形(如圖中陰影部分(含邊界)所示)，則所求概率為＝．故選C．
二、填空題
8．(2019成都模擬)甲、乙兩人在5次綜合測(cè)評(píng)中成績(jī)的莖葉圖如圖所示，其中一個(gè)數(shù)字被污損，記甲、乙的平均成績(jī)分別為甲，乙，則甲>乙的概率是________．
答案
解析 乙的綜合測(cè)評(píng)成績(jī)?yōu)?6，87，91，92，94，乙＝＝90，污損處可取數(shù)字0，1，2，…，9，共10種，而甲>乙發(fā)生對(duì)應(yīng)的數(shù)字有6，7，8，9，共4種，故甲>乙的概率為＝．
9．(2018安徽聯(lián)考)將一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為b，設(shè)任意投擲兩次使l1：x＋ay＝3，l2：bx＋6y＝3平行的概率為P1，不平行的概率為P2，若點(diǎn)(P1，P2)在圓(x－m)2＋y2＝的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
答案?。?m<
解析 由l1∥l2得ab＝6且a≠6，b≠1，滿(mǎn)足條件的(a，b)為(1，6)，(2，3)，(3，2)，而所有的(a，b)有66＝36種，∴P1＝，P2＝，∴2＋2<，解得－10000)＝0．5＋0．2＝0．7，
由二項(xiàng)分布，3天中至少有1天最大獲利超過(guò)10000元的概率為p＝1－(1－p1)3＝1－0．33＝0．973．
13．(2018河南八市聯(lián)考一)我們國(guó)家正處于老齡化社會(huì)中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有戶(hù)籍人口400萬(wàn)，其中老人(年齡60歲及以上)人數(shù)約有66萬(wàn)，為了了解老人們的健康狀況，政府從老人中隨機(jī)抽取600人并委托醫(yī)療機(jī)構(gòu)免費(fèi)為他們進(jìn)行健康評(píng)估，健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個(gè)等級(jí)，并以80歲為界限分成兩個(gè)群體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，樣本頻數(shù)分布被制作成如下圖表：
(1)若采用分層抽樣的方法從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進(jìn)一步了解他們的生活狀況，則兩個(gè)群體中各應(yīng)抽取多少人？
(2)估算該市80歲及以上老人占全市戶(hù)籍人口的百分比；
(3)據(jù)統(tǒng)計(jì)該市大約有五分之一的戶(hù)籍老人無(wú)固定收入，政府計(jì)劃為這部分老人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼，標(biāo)準(zhǔn)如下：
①80歲及以上老人每人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼200元；
②80歲以下老人每人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼120元；
③不能自理的老人每人每月額外發(fā)放生活補(bǔ)貼100元．
利用樣本估計(jì)總體，試估計(jì)政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算．(單位：億元，結(jié)果保留兩位小數(shù))
解 (1)數(shù)據(jù)整理如下表：
健康狀況
健康
基本健康
不健康尚能自理
不能自理
80歲及以上
20
45
20
15
80歲以下
200
225
50
25
從圖表中知采用分層抽樣的方法從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進(jìn)一步了解他們的生活狀況，80歲及以上應(yīng)抽取8＝3(人)，80歲以下應(yīng)抽取8＝5(人)．
(2)在600人中80歲及以上老人在老人中占比為＝，
用樣本估計(jì)總體，80歲及以上長(zhǎng)者為66＝11(萬(wàn)人)，
80歲及以上老人占全市戶(hù)籍人口的百分比為100%＝2．75%．
(3)解法一：用樣本估計(jì)總體，設(shè)任一戶(hù)籍老人每月享受的生活補(bǔ)助為X元，
P(X＝0)＝，
P(X＝120)＝＝，
P(X＝200)＝＝，
P(X＝220)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
則隨機(jī)變量X的分布列為
X
0
120
200
220
300
P
E(X)＝＝28，
全市老人的總預(yù)算為281266104＝2．2176108元．
故政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算約為2．22億元．
解法二：在無(wú)固定收入的戶(hù)籍老人中，
80歲及以上老人有66＝(萬(wàn))，
80歲以下老人有66＝11(萬(wàn))，
不能自理老人有66＝(萬(wàn))．
所以全市老人總預(yù)算為：
200＋11120＋10010412＝2．2176108元．
故政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算約為2．22億元．
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