2018-2019高中數(shù)學 第二章 數(shù)列章末復習學案 蘇教版必修5.docx

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第二章 數(shù)列 章末復習 學習目標　1.整合知識結(jié)構(gòu)，梳理知識網(wǎng)絡，進一步鞏固、深化所學知識.2.提高解決等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的能力.3.依托等差數(shù)列、等比數(shù)列解決一般數(shù)列的常見通項、求和等問題． 1.等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本概念與公式 等差數(shù)列 等比數(shù)列 定義 如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示 如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 遞推公式 an＋1－an＝d ＝q 中項 由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列．這時A叫做a與b的等差中項，并且A＝ 如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，且G＝ 通項公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1 前n項和公式 Sn＝＝na1＋d 當q≠1時，Sn＝＝，當q＝1時，Sn＝na1 性質(zhì) am，an的關系 am－an＝(m－n)d ＝qm－n m，n，s，t∈N*，m＋n＝s＋t am＋an＝as＋at aman＝asat {kn}是等差數(shù)列，且kn∈N* {}是等差數(shù)列 {}是等比數(shù)列 n＝2k－1，k∈N* S2k－1＝(2k－1)ak a1a2…a2k－1＝a 判斷方法 利用定義 an＋1－an是同一常數(shù) 是同一常數(shù) 利用中項 an＋an＋2＝2an＋1 anan＋2＝a 利用通項公式 an＝pn＋q，其中p，q為常數(shù) an＝abn(a≠0，b≠0) 利用前n項和公式 Sn＝an2＋bn (a，b為常數(shù)) Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1或Sn＝np(p為非零常數(shù)) 2．數(shù)列中的基本方法和思想 (1)在求等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式時，分別用到了累加法和累乘法； (2)在求等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和時，分別用到了倒序相加法和錯位相減法． (3)等差數(shù)列和等比數(shù)列各自都涉及5個量，已知其中任意三個求其余兩個，用到了方程思想． (4)在研究等差數(shù)列和等比數(shù)列單調(diào)性，等差數(shù)列前n項和最值問題時，都用到了函數(shù)思想． 1．等差數(shù)列、等比數(shù)列的很多性質(zhì)是相似的．(√) 2．一般數(shù)列問題通常要轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列來解決．(√) 類型一　方程思想求解數(shù)列問題 例1　設{an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4構(gòu)成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項； (2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 考點　等差等比數(shù)列綜合應用 題點　等差等比基本量問題綜合 解　(1)由已知得解得a2＝2. 設數(shù)列{an}的公比為q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q， 又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0. 解得q1＝2，q2＝.由題意得q＞1，∴q＝2，∴a1＝1. 故數(shù)列{an}的通項為an＝2n－1. (2)由于bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…， 由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln23n＝3nln2. 又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差數(shù)列， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝ln2. 故Tn＝ln2. 反思與感悟　在等比數(shù)列和等差數(shù)列中，通項公式an和前n項和公式Sn共涉及五個量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首項a1和公比q(公差d)為基本量，“知三求二”是指將已知條件轉(zhuǎn)換成關于a1，an，n，q(d)，Sn的方程組，通過方程的思想解出需要的量． 跟蹤訓練1　記等差數(shù)列的前n項和為Sn，設S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比數(shù)列，求Sn. 考點　等差等比數(shù)列綜合應用 題點　等差等比基本量問題綜合 解　設數(shù)列的公差為d， 依題設有 即 解得或 因此Sn＝n(3n－1)或Sn＝2n(5－n)，n∈N*. 類型二　轉(zhuǎn)化與化歸思想求解數(shù)列問題 例2　在數(shù)列{an}中，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1. (1) 設cn＝，求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列； (2) 求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和的公式． 考點　等差等比數(shù)列綜合應用 題點　等差等比數(shù)列其他綜合問題 (1)證明　∵Sn＋1＝4an＋2， ① ∴當n≥2，n∈N*時，Sn＝4an－1＋2. ② ①－②得an＋1＝4an－4an－1. 方法一　對an＋1＝4an－4an－1兩邊同除以2n＋1，得 ＝2－， 即＋＝2， 即cn＋1＋cn－1＝2cn， ∴數(shù)列{cn}是等差數(shù)列． 由Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝4a1＋2，則a2＝3a1＋2＝5， ∴c1＝＝，c2＝＝，故公差d＝－＝， ∴{cn}是以為首項，為公差的等差數(shù)列． 方法二　∵an＋1－2an＝2an－4an－1＝2(an－2an－1)， 令bn＝an＋1－2an， 則{bn}是以a2－2a1＝4a1＋2－a1－2a1＝3為首項，2為公比的等比數(shù)列， ∴bn＝32n－1， ∵cn＝，∴cn＋1－cn＝－＝ ＝＝＝， c1＝＝， ∴{cn}是以為首項，為公差的等差數(shù)列． (2)解　由(1)可知數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列， ∴＝＋(n－1)＝n－，an＝(3n－1)2n－2是數(shù)列{an}的通項公式． 設Sn＝(3－1)2－1＋(32－1)20＋…＋(3n－1)2n－2， 則2Sn＝(3－1)20＋(32－1)21＋…＋(3n－1)2n－1， ∴Sn＝2Sn－Sn ＝－(3－1)2－1－3(20＋21＋…＋2n－2)＋(3n－1)2n－1 ＝－1－3＋(3n－1)2n－1 ＝－1＋3＋(3n－4)2n－1 ＝2＋(3n－4)2n－1. ∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝(3n－1)2n－2，前n項和公式為Sn＝2＋(3n－4)2n－1，n∈N*. 反思與感悟　由遞推公式求通項公式，要求掌握的方法有兩種，一種求法是先找出數(shù)列的前幾項，通過觀察、歸納得出，然后證明；另一種是通過變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，再采用公式求出． 跟蹤訓練2　設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)． (1)求a2，a3的值； (2)求證：數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列． 考點　等差等比數(shù)列綜合應用 題點　等差等比數(shù)列其他綜合問題 (1)解　∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan ＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)， ∴當n＝1時，a1＝21＝2； 當n＝2時，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4； 當n＝3時，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8. (2)證明　∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan ＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，① ∴當n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1 ＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．② ①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2 ＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2 ＝nan－Sn＋2Sn－1＋2. ∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2， ∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)． ∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴＝2， 故{Sn＋2}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列． 類型三　函數(shù)思想求解數(shù)列問題 命題角度1　借助函數(shù)性質(zhì)解數(shù)列問題 例3　已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝1，公差d>0，且第2項、第5項、第14項分別是一個等比數(shù)列的第2項、第3項、第4項． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝(n∈N*)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在t，使得對任意的n均有Sn>總成立？若存在，求出最大的整數(shù)t；若不存在，請說明理由． 考點　數(shù)列綜合問題 題點　數(shù)列與函數(shù)的綜合 解　(1)由題意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2， 整理得2a1d＝d2. ∵a1＝1，d>0，∴d＝2. ∴an＝2n－1(n∈N*)． (2)∵bn＝＝＝， ∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn ＝ ＝＝. 假設存在整數(shù)t滿足Sn>總成立， 又Sn＋1－Sn＝－＝>0， ∴數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列． ∴S1＝為Sn的最小值，故<，即t<9. 又∵t∈Z，∴適合條件的t的最大值為8. 反思與感悟　數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在求解數(shù)列問題時，若涉及參數(shù)取值范圍、最值問題或單調(diào)性時，均可考慮采用函數(shù)的性質(zhì)及研究方法指導解題．值得注意的是數(shù)列定義域是正整數(shù)集或{1,2,3，…，n}，這一特殊性對問題結(jié)果可能造成影響． 跟蹤訓練3　已知首項為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項和為Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設Tn＝Sn－(n∈N*)，求數(shù)列{Tn}最大項的值與最小項的值． 考點　數(shù)列綜合問題 題點　數(shù)列與函數(shù)的綜合 解　(1)設等比數(shù)列{an}的公比為q， 因為S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列， 所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5， 即4a5＝a3，于是q2＝＝. 又{an}不是遞減數(shù)列，且a1＝，所以q＝－. 故等比數(shù)列{an}的通項公式為 an＝n－1＝(－1)n－1. (2)由(1)得Sn＝1－n＝ 當n為奇數(shù)時，Sn隨n的增大而減小， 所以11，且對任意的實數(shù)x，y∈R，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若數(shù)列{an}滿足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝(n∈N*)，則a2018的值為________． 考點　數(shù)列綜合問題 題點　數(shù)列與函數(shù)的綜合 答案　4035 解析　根據(jù)題意，不妨設f(x)＝x， 則a1＝f(0)＝1， ∵f(an＋1)＝，∴an＋1＝an＋2，∴數(shù)列{an}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴an＝2n－1， ∴a2 018＝4 035. 1．等差數(shù)列與等比數(shù)列是高中階段學習的兩種最基本的數(shù)列，也是高考中經(jīng)?？疾椴⑶抑攸c考查的內(nèi)容之一，這類問題多從數(shù)列的本質(zhì)入手，考查這兩種基本數(shù)列的概念、基本性質(zhì)、簡單運算、通項公式、求和公式等問題． 2．數(shù)列求和的方法：一般的數(shù)列求和，應從通項入手，若無通項，先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關或具備某種方法適用特點的形式，從而選擇合適的方法求和． 一、填空題 1．若一個等差數(shù)列{an}的公差為d，第5項等于10，前3項的和等于3，那么a1＝________，d＝________. 考點　等差等比數(shù)列綜合應用 題點　等差等比基本量問題綜合 答案?。?　3 解析　由題意得即 解得a1＝－2，d＝3. 2．在等比數(shù)列{an}中，已知前4項和為1，前8項之和為17，則此等比數(shù)列的公比q為________． 考點　等差等比數(shù)列綜合應用 題點　等差等比基本量問題綜合 答案　2 解析　由題意可知q≠1，S4＝＝1，① S8＝＝17， ② ②①得1＋q4＝17，q4＝16. q＝2. 3．等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n＋t，則t＋a3＝________. 考點　等差等比數(shù)列綜合應用 題點　等差等比基本量問題綜合 答案　17 解析　a1＝S1＝3＋t， 由a1＋a2＝9＋t得a2＝6， 由a1＋a2＋a3＝27＋t得a3＝18， 由a1a3＝a，得t＝－1，故t＋a3＝17. 4．數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2＋3n＋1，n∈N*，則它的通項公式為________． 答案　an＝ 考點　數(shù)列綜合問題 題點　數(shù)列其他綜合問題 解析　當n＝1時，a1＝S1＝5； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2(a1＝5不符合)． 故數(shù)列{an}的通項公式為an＝ 5．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝________. 考點　等差等比數(shù)列綜合應用 題點　等差等比數(shù)列其他綜合問題 答案　(1－4－n) 解析　依題意a2＝a1q＝2，a5＝a1q4＝， 兩式相除可求得q＝，a1＝4， 又因為數(shù)列{an}是等比數(shù)列，所以{anan＋1}是以a1a2為首項，q2為公比的等比數(shù)列， 根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式可得 原式＝＝(1－4－n)． 6．已知{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，則S10的值為________． 考點　等差等比數(shù)列綜合應用 題點　等差等比基本量問題綜合 答案　110 解析　設{an}的首項，公差分別是a1，d， 則 解得a1＝20，d＝－2， ∴S10＝1020＋(－2)＝110. 7．已知等差數(shù)列前n項和為Sn，且S13<0，S12＞0，則此數(shù)列中絕對值最小的項為第________項． 考點　數(shù)列綜合問題 題點　數(shù)列與不等式的綜合 答案　7 解析　由S13＝13a7，S12＝6(a6＋a7)及S13<0，S12＞0， 知a7<0，a6＋a7＞0，即a6＞－a7＞0，故|a6|＞|a7|. 又等差數(shù)列為遞減數(shù)列，故|a1|＞|a2|＞…＞|a6|＞|a7|，|a7|<|a8|<…， 故|a7|最?。? 8．已知數(shù)列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么數(shù)列{bn}＝的前n項和為______． 考點　等差等比數(shù)列綜合應用 題點　等差等比數(shù)列其他綜合問題 答案　 解析　∵an＝＝＝， ∴bn＝＝＝4. ∴Sn＝4＝4＝. 9．在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n (n∈N*)，則S100＝________. 考點　數(shù)列前n項和的求法 題點　分組求和法 答案　2600 解析　由a1＝1，a2＝2且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)知， 當n為奇數(shù)時，an＋2－an＝0； 當n為偶數(shù)時，an＋2－an＝2. 所以前100項中，奇數(shù)項為常數(shù)項1，偶數(shù)項構(gòu)成以 a2＝2為首項，2為公差的等差數(shù)列． 所以S100＝502＋2＋501＝2600. 10．已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，且P(an，an＋1)(n∈N*)在直線x－y＋1＝0上，若函數(shù)f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N*，且n≥2)，則函數(shù)f(n)的最小值為________． 考點　數(shù)列綜合問題 題點　數(shù)列與函數(shù)的綜合 答案　 解析　由題意得an－an＋1＋1＝0，即an＋1－an＝1， ∴數(shù)列{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列， ∴an＝n，∴f(n)＝＋＋…＋， ∴f(n＋1)－f(n)＝＋＋…＋－ ＝＋－＝－>0， ∴{f(n)}(n∈N*，n≥2)為遞增數(shù)列， ∴f(n)min＝f(2)＝＋＝＋＝. 二、解答題 11．在等比數(shù)列{an}中，an>0 (n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3與a5的等比中項為2. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝log2an，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，當＋＋…＋最大時，求n的值． 考點　數(shù)列綜合問題 題點　數(shù)列與不等式的綜合 解　(1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25， ∴a＋2a3a5＋a＝25， 又an>0，∴a3＋a5＝5. 又a3與a5的等比中項為2， ∴a3a5＝4，而q∈(0,1)， ∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1. ∴q＝，a1＝16，∴an＝16n－1＝25－n. (2)bn＝log2an＝5－n， ∴bn＋1－bn＝－1， ∴{bn}是以b1＝4為首項，－1為公差的等差數(shù)列， ∴Sn＝， ∴＝， ∴當n≤8時，>0； 當n＝9時，＝0； 當n>9時，<0. ∴當n＝8或9時，＋＋＋…＋最大． 12．求數(shù)列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1的前n項和． 考點　數(shù)列前n項和的求法 題點　錯位相減法求和 解　(1)當a＝0時，Sn＝1. (2)當a＝1時，數(shù)列變?yōu)?,3,5,7，…，(2n－1)， 則Sn＝＝n2. (3)當a≠1且a≠0時， 有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1， ① aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an， ② ①－②得Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an， ∴(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1) ＝1－(2n－1)an＋2 ＝1－(2n－1)an＋， 又1－a≠0， ∴Sn＝＋. 綜上，Sn＝ 13．已知數(shù)列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1 (n≥2且n∈N*)． (1)求a2，a3的值； (2)是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由； (3)求通項公式an. 考點　遞推數(shù)列通項公式求法 題點　an＋1＝pan＋f(n)型 解　(1)∵a1＝5， ∴a2＝2a1＋22－1＝13， a3＝2a2＋23－1＝33. (2)假設存在實數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列． 設bn＝，由{bn}為等差數(shù)列， 可得2b2＝b1＋b3. ∴2＝＋， 即＝＋， 解得λ＝－1. 又bn＋1－bn＝－ ＝[(an＋1－2an)＋1] ＝[(2n＋1－1)＋1] ＝1. 綜上可知，存在實數(shù)λ＝－1，使得數(shù)列為首項是2，公差是1的等差數(shù)列． (3)由(2)知，數(shù)列為首項是2，公差是1的等差數(shù)列， ∴＝2＋(n－1)1＝n＋1， ∴an＝(n＋1)2n＋1. 三、探究與拓展 14．已知Sn和Tn分別為數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}的前n項和，且a1＝e4，Sn＝eSn＋1－e5，an＝，則當Tn取得最大值時n的值為________． 考點　數(shù)列綜合問題 題點　數(shù)列與不等式的綜合 答案　4或5 解析　由Sn＝eSn＋1－e5，得Sn－1＝eSn－e5(n≥2)，兩式相減，得an＝ean＋1(n≥2)，易知a2＝e3，＝＝，所以數(shù)列{an}是首項為e4，公比為的等比數(shù)列，所以an＝e5－n.因為an＝ebn，所以bn＝5－n.由即解得4≤n≤5，所以當n＝4或n＝5時，Tn取得最大值． 15．在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6. (1)求{an}的通項公式； (2)設bn＝[an]，求數(shù)列{bn}的前10項和，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[2.6]＝2. 考點　數(shù)列綜合問題 題點　數(shù)列其他綜合問題 解　(1)設數(shù)列{an}的公差為d， 由題意有　解得a1＝1，d＝. 所以{an}的通項公式為an＝. (2)由(1)知，bn＝. 當n＝1,2,3時，1≤<2，bn＝1； 當n＝4,5時，2≤<3，bn＝2； 當n＝6,7,8時，3≤<4，bn＝3； 當n＝9,10時，4≤<5，bn＝4. 所以數(shù)列{bn}的前10項和為13＋22＋33＋42＝24.