2018-2019高中數(shù)學 第1章 常用邏輯用語 1.1.1 四種命題學案 蘇教版選修1 -1.docx

1.1.1四種命題學習目標1.了解四種命題的概念，會寫出所給命題的逆命題、否命題和逆否命題.2.認識四種命題之間的關系以及真假性之間的聯(lián)系.3.會利用命題的等價性解決問題.知識點一命題的概念思考給出下列語句：(1)若直線ab，則直線a和直線b無公共點；(2)367；(3)偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；(4)5能被4整除.請你找出上述語句的共同特點.答案上述語句能夠判斷真假.梳理(1)定義：能夠判斷真假的語句.(2)分類真命題：判斷為真的語句.假命題：判斷為假的語句.(3)形式：若p則q.知識點二四種命題的概念思考給出以下四個命題：(1)當x2時，x23x20；(2)若x23x20，則x2；(3)若x2，則x23x20；(4)若x23x20，則x2.你能說出命題(1)與其他三個命題的條件與結(jié)論有什么關系嗎？答案命題(1)的條件和結(jié)論恰好是命題(2)的結(jié)論和條件.命題(1)的條件和結(jié)論恰好是命題(3)條件的否定和結(jié)論的否定.命題(1)的條件和結(jié)論恰好是命題(4)結(jié)論的否定和條件的否定.梳理一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，原命題：若p則q.(1)互逆命題：對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題.其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的逆命題.(2)互否命題：對于兩個命題，其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，這兩個命題稱為互否命題.其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的否命題.(3)互為逆否命題：對于兩個命題，其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，這兩個命題稱為互為逆否命題.其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的逆否命題.知識點三四種命題的關系思考1為了書寫方便常把p與q的否定分別記作“非p”和“非q”，如果原命題是“若p，則q”，那么它的逆命題、否命題、逆否命題該如何表示？答案逆命題：若q則p.否命題：若非p則非q.逆否命題：若非q則非p.思考2原命題的否命題與原命題的逆否命題之間是什么關系？原命題的逆命題與原命題的逆否命題之間是什么關系？原命題的逆命題與原命題的否命題呢？答案互逆、互否、互為逆否.梳理(1)四種命題之間的關系如下所示：(2)四種命題的真假關系如果兩個命題互為逆否命題，那么它們有相同的真假性；如果兩個命題為互逆命題或互否命題，那么它們的真假性沒有關系.1.疑問句、祈使句、感嘆句等都不是命題.()2.有的命題沒有否命題.()3.兩個互逆命題的真假性相同.()4.對于一個命題的四種命題，可以一個真命題也沒有.()類型一命題及其真假的判定例1把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷命題的真假.(1)奇數(shù)不能被2整除；(2)當(a1)2(b1)20時，ab1；(3)已知x，y為正整數(shù)，當yx1時，y3，x2.考點命題的概念題點命題真假性判斷解(1)若一個數(shù)是奇數(shù)，則它不能被2整除，是真命題；(2)若(a1)2(b1)20，則ab1，是真命題；(3)已知x，y為正整數(shù)，若yx1，則y3且x2，是假命題.反思與感悟(1)找準命題的條件和結(jié)論，是解決這類題目的關鍵，對于個別問題還要注意大前提的寫法.(2)命題形式的改變并不改變命題的真假，只是表述形式發(fā)生了變化.(3)一個命題若是假命題，只需找到一個反例來說明即可.跟蹤訓練1把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷真假.(1)實數(shù)的平方是非負數(shù)；(2)等底等高的兩個三角形是全等三角形；(3)當ac>bc時，a>b；(4)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.考點命題的概念題點命題真假性判斷解(1)若一個數(shù)是實數(shù)，則它的平方是非負數(shù)，是真命題.(2)若兩個三角形等底等高，則這兩個三角形是全等三角形，是假命題.(3)若ac>bc，則a>b，是假命題.(4)若一個點在角的平分線上，則該點到這個角的兩邊的距離相等，是真命題.類型二四種命題及其相互關系例2寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題：(1)若xA，則xAB；(2)若a，b都是偶數(shù)，則ab是偶數(shù)；(3)在ABC中，若a>b，則A>B.考點四種命題題點四種命題的理解解(1)逆命題：若xAB，則xA；否命題：若xA，則xAB；逆否命題：若xAB，則xA.(2)逆命題：若ab是偶數(shù)，則a，b都是偶數(shù)；否命題：若a，b不都是偶數(shù)，則ab不是偶數(shù)；逆否命題：若ab不是偶數(shù)，則a，b不都是偶數(shù).(3)逆命題：在ABC中，若A>B，則a>b；否命題：在ABC中，若ab，則AB；逆否命題：在ABC中，若AB，則ab.反思與感悟四種命題的轉(zhuǎn)換方法(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得命題是原命題的逆命題.(2)同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得命題是原命題的否命題.(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，所得命題是原命題的逆否命題.跟蹤訓練2分別寫出下列命題的逆命題、否命題與逆否命題：(1)若m>0，則x2xm0有實數(shù)根；(2)三邊對應相等的兩個三角形全等.考點四種命題題點四種命題的理解解(1)逆命題：若x2xm0有實數(shù)根，則m>0.否命題：若m0，則x2xm0沒有實數(shù)根.逆否命題：若x2xm0沒有實數(shù)根，則m0.(2)逆命題：兩個全等三角形的三邊對應相等.否命題：三邊不對應相等的兩個三角形不全等.逆否命題：兩個不全等三角形的三邊不對應相等.例3下列命題：“若xy1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題；“四邊相等的四邊形是正方形”的否命題；“梯形不是平行四邊形”的逆否命題；“若ac2>bc2，則a>b”的逆命題.其中是真命題的是_.(填序號)考點四種命題的真假判斷題點利用四種命題的關系判斷真假答案解析“若xy1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題是“若x，y互為倒數(shù)，則xy1”，是真命題；“四邊相等的四邊形是正方形”的否命題是“四邊不都相等的四邊形不是正方形”，是真命題；“梯形不是平行四邊形”本身是真命題，所以其逆否命題也是真命題；“若ac2>bc2，則a>b”的逆命題是“若a>b，則ac2>bc2”，是假命題.所以真命題是.反思與感悟要判斷四種命題的真假：首先，要熟練四種命題的相互關系，注意它們之間的相互性；其次，利用其他知識判斷真假時，一定要對有關知識熟練掌握.跟蹤訓練3下列命題中為真命題的是_.(填序號)“正三角形都相似”的逆命題；“若q1，則x22xq0有實根”的逆命題；“若x是有理數(shù)，則x是無理數(shù)”的逆否命題.考點四種命題的真假判斷題點利用四種命題的關系判斷真假答案解析原命題的逆命題為“若兩個三角形相似，則這兩個三角形是正三角形”，故為假命題.原命題的逆命題是“若x22xq0有實根，則q1”是真命題.原命題的逆否命題為“若x不是無理數(shù)，則x不是有理數(shù)”.x不是無理數(shù)，x是有理數(shù).又是無理數(shù)，x是無理數(shù)，不是有理數(shù)，故為真命題.命題中為真命題的是.類型三等價命題的應用例4判斷命題“已知a，x為實數(shù)，若關于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，則a1”的逆否命題的真假.考點四種命題的相互關系題點四種命題相互關系的應用解方法一原命題的逆否命題為已知a，x為實數(shù)，若a1，則關于x的不等式x2(2a1)xa220的解集為空集.真假判斷如下：因為yx2(2a1)xa22的圖象開口向上，判別式(2a1)24(a22)4a7，若a1，則4a70.即yx2(2a1)xa22的圖象與x軸無交點.所以關于x的不等式x2(2a1)xa220的解集為空集.故原命題的逆否命題為真.方法二先判斷原命題的真假.因為a，x為實數(shù)，且關于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，所以(2a1)24(a22)0，即4a70，a，所以a1成立，所以原命題為真.又因為原命題與其逆否命題等價，所以其逆否命題為真.反思與感悟(1)當原命題的真假不易判斷，而逆否命題的真假容易判斷時，可通過判斷其逆否命題的真假來判斷原命題的真假.(2)在證明某一個命題的真假性有困難時，可以證明它的逆否命題為真(假)命題，來間接地證明原命題為真(假)命題.跟蹤訓練4證明：若a24b22a10，則a2b1.考點四種命題的相互關系題點逆否證法證明“若a24b22a10，則a2b1”的逆否命題為“若a2b1，則a24b22a10”.a2b1，a24b22a1(2b1)24b22(2b1)14b214b4b24b210.命題“若a2b1，則a24b22a10”為真命題.由原命題與逆否命題具有相同的真假性可知，原命題正確.1.下列語句是命題的是_.若a>b，則a2>b2；a2>b2；方程x2x10的近似根；方程x2x10有根嗎？考點命題的概念及分類題點命題概念的理解答案解析無法判斷真假；是疑問句，不是陳述句，不能判斷真假.故不是命題.2.命題“若，則tan1”的逆否命題是_.考點四種命題題點四種命題概念的理解答案若tan1，則解析命題“若，則tan1”的條件是“”，結(jié)論是“tan1”，故其逆否命題是“若tan1，則”.3.(2018泰州中學月考)命題“若a>b，則2a>2b1”的否命題為_.考點四種命題題點四種命題概念的理解答案若ab，則2a2b1解析否定條件作為條件，同時否定結(jié)論作為結(jié)論，所以命題“若a>b，則2a>2b1”的否命題為“若ab，則2a2b1”.4.已知命題：“若x0，y0，則xy0”，則原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，真命題的個數(shù)是_.考點四種命題的真假判斷題點利用四種命題的關系判斷真假答案2解析由題意可判斷原命題為真命題，故其逆否命題也為真命題，其逆命題為“若xy0，則x0，y0”，為假命題，所以其否命題也為假命題，故四個命題中，真命題的個數(shù)為2.5.已知命題“若m1<x<m1，則1<x<2”的逆命題為真命題，則m的取值范圍為_.考點命題的概念及分類題點由命題的真假求參數(shù)的取值范圍答案1,2解析“若m1<x<m1，則1<x<2”的逆命題為“若1<x<2，則m1<x<m1”.逆命題為真命題，得1m2.1.根據(jù)命題的含義，可以判斷真假的語句是命題，命題的條件與結(jié)論之間屬于因果關系，真命題需要給出證明，假命題只需舉出一個反例即可.2.寫四種命題時，可以按下列步驟進行：(1)找出命題的條件p和結(jié)論q；(2)寫出條件p的否定非p和結(jié)論q的否定非q；(3)按照四種命題的結(jié)構(gòu)寫出所有命題.3.每一個命題都由條件和結(jié)論組成，要分清條件和結(jié)論.判斷命題的真假可以根據(jù)互為逆否的命題真假性相同來判斷，這也是反證法的理論基礎.一、填空題1.已知命題r：若xa2b2，則x2ab，下列說法正確的是_.(填序號)命題r的逆命題：若x<a2b2，則x<2ab；命題r的逆命題：若x<2ab，則x<a2b2；命題r的否命題：若x<a2b2，則x<2ab；命題r的否命題：若xa2b2，則x<2ab.考點四種命題題點四種命題概念的理解答案解析原命題為“若p則q”的形式，則原命題的逆命題為“若q則p”的形式，否命題為“若非p則非q”的形式，故只有說法正確.2.已知命題p：正數(shù)a的平方不等于0，命題q：若a的平方等于0，則a不是正數(shù)，則p是q的_命題.考點四種命題題點四種命題概念的理解答案逆否解析根據(jù)四種命題的關系知，“正數(shù)a的平方不等于0”的逆否命題是“若a的平方等于0，則a不是正數(shù)”.3.有下列命題：若xy0，則|x|y|0；若a>b，則ac>bc；矩形的對角線互相垂直.其中真命題共有_個.考點命題的概念及分類題點命題真假性判斷答案1解析由xy0，得到x0或y0，所以|x|y|0不正確，是假命題；當a>b時，有ac>bc成立，正確，是真命題；矩形的對角線不一定互相垂直，不正確，是假命題.4.證明“若x2y22，則xy2”時，可以轉(zhuǎn)化為證明_.考點四種命題的相互關系題點逆否證法答案若xy>2，則x2y22解析由于原命題與其逆否命題的真假性相同，所以可以轉(zhuǎn)化為證明“若xy>2，則x2y22”.5.若命題p的逆命題為q，命題q的否命題為r，則命題p是命題r的_命題.考點四種命題題點四種命題概念的理解答案逆否解析由四種命題的關系知，命題p與命題r互為逆否命題.6.“若x，y全為零，則xy0”的否命題為_.考點四種命題題點四種命題概念的理解答案若x，y不全為零，則xy0解析由于“全為零”的否定為“不全為零”，所以“若x，y全為零，則xy0”的否命題為“若x，y不全為零，則xy0”.7.給出下列命題：若直線l平面，直線m平面，則lm；若a，b都是正實數(shù)，則ab2；若x2>x，則x>1；函數(shù)yx3是指數(shù)函數(shù).其中假命題的個數(shù)為_.考點命題的概念題點命題真假性判斷答案3解析中，顯然lm或l與m重合，所以是假命題；由均值不等式，知是真命題；中，由x2>x，得x<0或x>1，所以是假命題；中，函數(shù)yx3是冪函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)，是假命題.所以假命題的個數(shù)為3.8.已知不等式x30的解集是A，則使得aA是假命題的a的取值范圍為_.考點命題的概念及分類題點由命題的真假求參數(shù)的取值范圍答案(，3)解析x30，Ax|x3.又aA是假命題，即aA，a<3.9.下列命題中：若一個四邊形的四條邊不相等，則它不是正方形；若一個四邊形的對角互補，則它內(nèi)接于圓；正方形的四條邊相等；圓的內(nèi)接四邊形的對角互補；對角不互補的四邊形不內(nèi)接于圓；若一個四邊形的四條邊相等，則它是正方形.其中互為逆命題的有_；互為否命題的有_；互為逆否命題的有_.考點四種命題題點四種命題概念的理解答案和，和和，和和，和解析命題可改寫為“若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等”；命題可改寫為“若一個四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，則它的對角互補”；命題可改寫為“若一個四邊形的對角不互補，則它不內(nèi)接于圓”.再依據(jù)四種命題間的關系，便不難判斷.10.下列命題：命題“若b24ac<0，則方程ax2bxc0(a0)無實根”的否命題；命題“在ABC中，如果ABBCCA，那么ABC為等邊三角形”的逆命題；命題“若a>b>0，則>>0”的逆否命題；“若m>1，則mx22(m1)x(m3)>0的解集為R”的逆命題.其中真命題的序號為_.考點四種命題的真假判斷題點利用四種命題的關系判斷真假答案解析若b24ac0，則方程ax2bxc0(a0)有實根，是真命題；若ABC為等邊三角形，則ABBCCA，是真命題；因為命題“若a>b>0，則>>0”是真命題，故其逆否命題為真命題；若mx22(m1)x(m3)>0的解集為R，則m>1，是假命題.所以應填.二、解答題11.寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并分別判斷它們的真假.(1)若ab，則a2b2；(2)若|2x1|1，則x2x>0.考點四種命題的真假判斷題點利用四種命題的關系判斷真假解(1)逆命題為：若a2b2，則ab，該命題是假命題.否命題為：若ab，則a2b2，該命題是假命題.逆否命題為：若a2b2，則ab，該命題是真命題.(2)逆命題為：若x2x>0，則|2x1|1，這是真命題.否命題為：若|2x1|<1，則x2x0，這是真命題.逆否命題為：若x2x0，則|2x1|<1，這是假命題.12.判斷命題：“若b1，則關于x的方程x22bxb2b0有實根”的逆否命題的真假.考點四種命題的相互關系題點四種命題相互關系的應用解方法一(利用原命題)因為原命題與逆否命題真假性一致，所以只需判斷原命題的真假即可.方程的判別式為4b24(b2b)4b.因為b1，所以4>0，故此方程有兩個不相等的實根，即原命題為真，故它的逆否命題也為真.方法二(利用逆否命題)原命題的逆否命題為“若關于x的方程x22bxb2b0無實根，則b>1”.方程的判別式為4b24(b2b)4b.因為方程無實根，所以<0，即4b<0，所以b>0，所以b>1成立，即原命題的逆否命題為真.13.給出兩個命題：命題甲：關于x的不等式x2(a1)xa20的解集為；命題乙：函數(shù)y(2a2a)x為增函數(shù).(1)甲、乙至少有一個是真命題；(2)甲、乙有且只有一個是真命題.分別求出符合(1)(2)的實數(shù)a的取值范圍.考點命題的概念及分類題點由命題的真假求參數(shù)的取值范圍解(1)當甲為真時，(a1)24a2<0，解得a>或a<1，即A；當乙為真時，2a2a>1，解得a>1或a<，即B.當甲、乙至少有一個為真命題時，a的取值范圍是.(2)當甲、乙有且只有一個真命題時，有兩種情況：當甲真乙假時，<a1；當甲假乙真時，1a<.所以當甲、乙中有且只有一個為真命題時，a的取值范圍是.三、探究與拓展14.原命題為“若<an，nN*，則an為遞減數(shù)列”，關于其逆命題、否命題、逆否命題中正確的個數(shù)是_.考點四種命題的真假判斷題點利用四種命題的關系判斷真假答案3解析<anan1<anan為遞減數(shù)列.原命題與其逆命題都是真命題，所以其否命題和逆否命題也都是真命題.15.命題：“若直線yax3與圓C：x2y22x80相交于A，B兩點，且點P(x0，y0)在直線y2x上，則PAPB”的逆否命題是真命題，則x0的取值范圍為_.考點四種命題的相互關系題點四種命題相互關系的應用答案(1,0)(0,2)解析由題意可知，原命題是真命題.圓心C(1,0)到直線l：yax3的距離d<3，解得a>0或a<.由PAPB，CACB，得PCl，于是kPC，利用y02x0，可求出x0.于是得x0的取值范圍是(1,0)(0,2).