2019-2020學年高中數學 第三章 函數的應用 3.1 函數與方程 3.1.2 用二分法求方程的近似解課后篇鞏固提升（含解析）新人教A版必修1.docx

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3.1.2　用二分法求方程的近似解 課后篇鞏固提升 基礎鞏固 1.以下每個圖象表示的函數都有零點,但不能用二分法求函數零點的是(　　) 解析根據二分法的思想,函數f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象連續(xù)不斷,且f(a)f(b)<0,即函數的零點是變號零點,才能將區(qū)間(a,b)一分為二,逐步得到零點的近似值,對各圖象分析可知,A,B,D都符合條件,而選項C不符合,因為圖象經過零點時函數值的符號沒有發(fā)生變化,因此不能用二分法求函數零點. 答案C 2.若函數f(x)=x2-4x+m存在零點,且不能用二分法求該函數的零點,則m的取值范圍是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(4,+∞) B.(-∞,4) C.{4} D.[4,+∞) 解析易知方程x2-4x+m=0有根,且Δ=16-4m=0,知m=4. 答案C 3.用二分法求函數f(x)=2x-3的零點時,初始區(qū)間可選為(　　) A.[-1,0] B.[0,1] C.[1,2] D.[2,3] 解析f(-1)=-52<0,f(0)=-2<0,f(1)=-1<0,f(2)=1>0,f(3)=5>0,則f(1)f(2)<0,即初始區(qū)間可選[1,2]. 答案C 4.用二分法求方程f(x)在區(qū)間[1,2]內的唯一實數解x0時,經計算得f(1)=2,f(2)=-2,f32=6,則下列結論正確的是(　　) A.x0∈1,32 B.x0=32 C.x0∈32,2 D.x0∈1,32或x0∈32,2 解析∵f(1)=2>0,f(2)=-2<0,f32=6>0,可得方程的根落在區(qū)間32,2內.故選C. 答案C 5.在用二分法求函數f(x)零點的近似值時,第一次取的區(qū)間是[-2,4],則第三次所取的區(qū)間可能是(　　) A.[1,4] B.[-2,1] C.[-2,2.5] D.[-0.5,1] 解析第二次取區(qū)間的中點x1=-2+42=1,故零點所在區(qū)間為[-2,1]或[1,4]; 第三次取中點x1=-2+12=-0.5,或x2=1+42=2.5.所以零點所在區(qū)間為[-2,-0.5]或[-0.5,1]或[1,2.5]或[2.5,4],故選D. 答案D 6.某方程在區(qū)間(2,4)內有一個實根,若用二分法求此根的精確度為0.1的近似值,則應將此區(qū)間二等分的次數為(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析等分1次,區(qū)間長度為1;等分2次,區(qū)間長度變?yōu)?.5;…;等分4次,區(qū)間長度變?yōu)?.125;等分5次,區(qū)間長度為0.062 5<0.1,符合題意,故選D. 答案D 7.用二分法求方程x3-2x-5=0在區(qū)間[2,3]內的實根,取區(qū)間中點x0=2.5,那么下一個有根區(qū)間為　. 解析因為f(2)<0,f(2.5)>0,f(3)>0, 所以f(2)f(2.5)<0,f(2.5)f(3)>0. 所以下一個有根區(qū)間應為[2,2.5]. 答案[2,2.5] 8.在用二分法求方程f(x)=0在(0,1)內的近似解時,經計算f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,則可得出方程的一個近似解為　　　　　　　　　　　　(精確度0.1). 解析因為|0.75-0.687 5|=0.062 5<0.1, 所以(0.687 5,0.75)內的任意一個值都可作為方程的近似解. 答案0.75(答案不唯一) 9.已知方程2x+2x=5. (1)判斷該方程解的個數以及所在區(qū)間; (2)用二分法求出方程的近似解(精確度0.1). 參考數值: x 1.187 5 1.125 1.25 1.312 5 1.375 1.5 2x 2.278 2.181 2.378 2.484 2.594 2.83 解(1)令f(x)=2x+2x-5. 因為函數f(x)=2x+2x-5在R上是增函數, 所以函數f(x)=2x+2x-5至多有一個零點. 因為f(1)=21+21-5=-1<0,f(2)=22+22-5=3>0, 所以函數f(x)=2x+2x-5的零點在(1,2)內. (2)用二分法逐次計算,列表如下: 區(qū)間 中點的值 中點函數值符號 (1,2) 1.5 f(1.5)>0 (1,1.5) 1.25 f(1.25)<0 (1.25,1.5) 1.375 f(1.375)>0 (1.25,1.375) 1.312 5 f(1.312 5)>0 (1.25,1.312 5) 因為|1.375-1.25|=0.125>0.1,且|1.312 5-1.25|=0.062 5<0.1, 所以函數的零點近似值為1.312 5, 即方程2x+2x=5的近似解為1.312 5. 能力提升 1.已知函數f(x)在區(qū)間[0,a]中有唯一的零點(a>0),在用二分法尋找零點的過程中,依次確定了零點所在的區(qū)間為0,a2、0,a4、0,a8,則下列說法正確的是 (　　) A.函數f(x)在區(qū)間0,a16中有零點 B.函數f(x)在區(qū)間0,a16或a16,a8中有零點 C.函數f(x)在區(qū)間a16,a中無零點 D.函數f(x)在區(qū)間0,a16或a16,a8中有零點,或零點是a16 答案D 2.已知函數f(x)=ln(x+1)+2x-m(m∈R)的一個零點附近的函數值的參考數據如表: x 0 0.5 0.531 25 0.562 5 0.625 0.75 1 f(x) -1.307 -0.084 -0.009 0.066 0.215 0.512 1.099 由二分法求得方程ln(x+1)+2x-m=0的近似解(精確度0.05)可能是(　　) A.0.625 B.-0.009 C.0.562 5 D.0.066 解析設近似解為x0, 因為f(0.531 25)<0,f(0.562 5)>0, 所以x0∈(0.531 25,0.562 5). 因為0.562 5-0.531 25=0.031 25<0.05, 所以方程的近似解可取為0.562 5,故選C. 答案C 3.已知f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在區(qū)間(1,2)內的近似解的過程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,則方程的根落在區(qū)間(　　) A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能確定 解析∵f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0, ∴f(1.25)f(1.5)<0,因此方程的根落在區(qū)間(1.25,1.5)內,故選B. 答案B 4.工作人員不慎將63枚真紀念幣和一枚假紀念幣混在了一起,從其外形無法分辨,僅僅知道假紀念幣的質量要比真紀念幣稍輕一點點,現用一臺天平,通過比較質量的方法來找出那枚假紀念幣,則最多只需稱量(　　) A.4次 B.5次 C.6次 D.7次 解析利用二分法的思想將這些紀念幣不斷地分成兩組,根據這兩組的質量確定出假的在哪里,直至找出那枚假的為止.求解時需將64枚紀念幣均分為兩組,分別稱其質量,假的一定在輕的那一組,再將這一組(共32枚)均分為兩組,稱其質量,這樣一直均分下去,6次就能找出那枚假的,即最多只需稱量6次. 答案C 5.若函數f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,根據下面的表格,可以斷定f(x)的零點所在的區(qū)間為　　　　　　.(只填序號) ①(-∞,1]　②[1,2]?、踇2,3]?、躘3,4]?、輀4,5]?、轠5,6]?、遊6,+∞) x 1 2 3 4 5 6 f(x) 136.123 15.542 -3.930 10.678 -50.667 -305.678 解析根據零點存在定理,f(x)在[2,3],[3,4],[4,5]內都有零點. 答案③④⑤ 6.如圖,一塊電路板的線路AB之間有64個串聯的焊接點(不含端點A,B),如果線路不通的原因是由于焊口脫落所致,要想檢驗出哪一處的焊口脫落,則至多需要檢測　　　　　次. 解析第1次取中點把焊點數減半為642=32,第2次取中點把焊點數減半為322=16,第3次取中點把焊點數減半為162=8,第4次取中點把焊點數減半為82=4,第5次取中點把焊點數減半為42=2,第6次取中點把焊點數減半為22=1,所以至多需要檢測的次數是6. 答案6 7.用二分法求函數f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1在區(qū)間(-1,0)內的零點的近似值(精確到0.1). 解f(-1)=-1<0,f(0)=5>0,可取區(qū)間[-1,0]作為計算的初始區(qū)間. 用二分法逐步計算,列表如下: 端點或中點橫坐標 計算端點或中 點的函數值 定區(qū)間 a0=-1,b0=0 f(-1)=-1,f(0)=5 [-1,0] x1=-1+02=-0.5 f(x1)=3.375>0 [-1,-0.5] x2=-1-0.52=-0.75 f(x2)=1.578 125>0 [-1,-0.75] x3=-1-0.752=-0.875 f(x3)≈0.392 6>0 [-1, -0.875] x4=-1-0.8752=-0.937 5 f(x4)≈-0.277 1<0 [-0.937 5, -0.875] 由上表可知,區(qū)間[-0.937 5,-0.875]的長度不大于0.1,因此可取-0.9為所求函數在區(qū)間(-1,0)內的零點的近似值. 8.求方程3x+xx+1=0的近似解(精確度0.1). 解原方程可化為3x-1x+1+1=0,即3x=1x+1-1. 令g(x)=3x,h(x)=1x+1-1, 在同一平面直角坐標系中,分別畫出函數g(x)=3x與h(x)=1x+1-1的簡圖. g(x)與h(x)圖象的交點的橫坐標位于區(qū)間(-1,0),且只有一交點, ∴原方程只有一個解x=x0. 令f(x)=3x+xx+1=3x-1x+1+1, ∵f(0)=1-1+1=1>0,f(-0.5)=13-2+1=1-33<0,∴x0∈(-0.5,0). 用二分法求解列表如下: 中點值 中點(端點)函數值及符號 選取區(qū)間 f(-0.5)<0,f(0)>0 (-0.5,0) -0.25 f(-0.25)≈0.426 5>0 (-0.5,-0.25) -0.375 f(-0.375)≈0.062 3>0 (-0.5,-0.375) -0.437 5 f(-0.437 5)≈-0.159 3<0 (-0.437 5,-0.375) ∵|-0.437 5-(-0.375)|=0.062 5<0.1, ∴原方程的近似解可取為-0.437 5.