2020版高中數學 第四章 導數應用 1.1 導數與函數的單調性學案（含解析）北師大版選修1 -1.docx

11導數與函數的單調性學習目標1.了解導數與函數的單調性的關系.2.掌握利用導數判斷(證明)函數單調性的方法.3.能利用導數求不超過三次多項式函數的單調區(qū)間知識點一導函數的符號與函數的單調性的關系(1)在區(qū)間(a，b)內函數導數的符號與函數單調性有如下關系：導函數的正、負函數的單調性f(x)>0增加的f(x)<0減少的f(x)0常函數(2)在區(qū)間(a，b)內函數的單調性與導數有如下關系：函數的單調性導函數的正、負增加的f(x)0減少的f(x)0常函數f(x)0特別提醒：(1)若在某區(qū)間上有有限個點使f(x)0，在其余的點恒有f(x)>0，則f(x)仍是增加的(減少的情形完全類似)(2)f(x)為增函數的充要條件是對任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)內的任一非空子區(qū)間上f(x)不恒為0.知識點二函數的變化快慢與導函數的關系一般地，如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大，那么函數在這個范圍內變化得快，這時，函數的圖像就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數的圖像就“平緩”一些1函數的導數越小，函數值的變化越慢，函數的圖像就越“平緩”()2函數在某一點處的導數越大，函數在該點處的切線越“陡峭”()3函數在某個區(qū)間上變化的越快，函數在這個區(qū)間上導數的絕對值越大()4若f(x)在區(qū)間(a，b)上可導，則“f(x)>0”是“f(x)在(a，b)上是增加的”的充要條件()5若f(x)的圖像在a，b上是一條連續(xù)曲線，且f(x)在(a，b)上f(x)<0，則f(x)在a，b上是減少的()題型一原函數和導函數圖像之間的關系例1已知函數yf(x)的圖像如圖所示，則函數yf(x)的圖像可能是圖中的()考點函數變化的快慢與導數的關系題點根據原函數的圖像確定導函數的圖像答案C解析由函數yf(x)的圖像的增減變化趨勢判斷函數yf(x)的正、負情況如下表：x(1，b)(b，a)(a,1)f(x)f(x)由表可知函數yf(x)的圖像，當x(1，b)時，函數圖像在x軸下方；當x(b，a)時，函數圖像在x軸上方；當x(a,1)時，函數圖像在x軸下方故選C.反思感悟1.對于原函數圖像，要看其在哪個區(qū)間內是增加的，則在此區(qū)間內導數值大于零在哪個區(qū)間內是減少的，則在此區(qū)間內導數值小于零根據導數值的正負可判定導函數圖像2對于導函數的圖像可確定原函數的遞增(減)區(qū)間及增減快慢跟蹤訓練1函數yf(x)在定義域內可導，其圖像如圖所示，記yf(x)的導函數為yf(x)，則不等式f(x)0的解集是()A.2,3)B.C.1,2D.考點函數變化的快慢與導數的關系題點根據原函數圖像確定導函數圖像答案A解析求f(x)0的解集，即求函數f(x)在上的遞減區(qū)間由題干圖像可知yf(x)的遞減區(qū)間為，2,3)題型二利用導數求函數的單調區(qū)間例2求下列函數的單調區(qū)間(1)f(x)2x33x236x1；(2)f(x)3x22lnx.考點利用導數研究函數的單調性題點不含參數求單調區(qū)間解(1) f(x)6x26x36.由f(x)0，得6x26x36>0，解得x<3或x>2；由f(x)0，解得3<x<2.故f(x)的遞增區(qū)間是(，3)，(2，)；遞減區(qū)間是(3,2)(2)函數的定義域為(0，)，f(x)6x2.令f(x)>0，即2>0，解得x>.令f(x)<0，即2<0，解得0<x<.f(x)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.反思感悟求函數的單調區(qū)間的具體步驟(1)優(yōu)先確定f(x)的定義域(2)計算導函數f(x)(3)解f(x)>0和f(x)<0.(4)定義域內滿足f(x)>0的區(qū)間為遞增區(qū)間，定義域內滿足f(x)<0的區(qū)間為遞減區(qū)間跟蹤訓練2求函數f(x)的單調區(qū)間考點利用導數研究函數的單調性題點不含參數求單調區(qū)間解函數f(x)的定義域為(，2)(2，)f(x).因為x(，2)(2，)，所以ex>0，(x2)2>0.由f(x)>0，得x>3，所以函數f(x)的遞增區(qū)間為(3，)；由f(x)<0，得x<3.又函數f(x)的定義域為(，2)(2，)，所以函數f(x)的遞減區(qū)間為(，2)和(2,3)題型三含參數函數的單調性例3若函數f(x)kxlnx在區(qū)間(1，)上是增加的，則k的取值范圍是_考點利用函數單調性求變量題點已知函數單調性求參數答案1，)解析由于f(x)k，f(x)kxlnx在區(qū)間(1，)上是增加的，得f(x)k0在(1，)上恒成立因為k，而0<<1，所以k1，即k的取值范圍為1，)引申探究1試求函數f(x)kxlnx的單調區(qū)間解f(x)kxlnx的定義域為(0，)，f(x)k，當k0時，函數的遞減區(qū)間為(0，)；當k>0時，函數的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.2若f(x)kxlnx在區(qū)間(1，)上不單調，則k的取值范圍是_答案(0,1)解析由引申探究1知k>0，且>1，則0<k<1.反思感悟1.討論含有參數的函數的單調性，通常歸結為求含參數不等式的解集的問題，而對含有參數的不等式要針對具體情況進行討論，但始終注意定義域對單調性的影響以及分類討論的標準2利用導數法解決取值范圍問題的兩個基本思路(1)將問題轉化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即f(x)0(或f(x)0)恒成立，利用分離參數或函數性質求解參數范圍，然后檢驗參數取“”時是否滿足題意(2)先令f(x)>0(或f(x)<0)，求出參數的取值范圍后，再驗證參數取“”時f(x)是否滿足題意3恒成立問題的重要思路(1)mf(x)恒成立mf(x)max.(2)mf(x)恒成立mf(x)min.跟蹤訓練3已知函數f(x)x22alnx.(1)試討論函數f(x)的單調區(qū)間；(2)若函數g(x)f(x)在1,2上是減少的，求實數a的取值范圍考點利用函數的單調性求變量題點已知函數的單調性求參數解(1)f(x)2x，函數f(x)的定義域為(0，)當a0時，f(x)>0，f(x)的遞增區(qū)間為(0，)；當a<0時，f(x)，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)由上表可知，函數f(x)的遞減區(qū)間是(0，)；遞增區(qū)間是(，)(2)由g(x)x22alnx，得g(x)2x，由已知函數g(x)為1,2上為減函數，則g(x)0在1,2上恒成立，即2x0在1,2上恒成立，即ax2在1,2上恒成立令h(x)x2，則h(x)2x<0，x1,2，所以h(x)在1,2上是減少的，h(x)minh(2)，所以a.故實數a的取值范圍為.含有參數函數單調性的討論典例討論函數f(x)(a1)lnxax21的單調性解f(x)的定義域為(0，)，f(x)2ax.當a1時，f(x)>0，故f(x)在(0，)上是增加的；當a0時，f(x)<0，故f(x)在(0，)上是減少的；當0<a<1時，令f(x)0，解得x，則當x時，f(x)<0；當x時，f(x)>0，故f(x)在上是減少的，在上是增加的綜上所述，當a1時，f(x)在(0，)上是增加的；當a0時，f(x)在(0，)上是減少的；當0<a<1時，f(x)在上是減少的，在上是增加的素養(yǎng)評析(1)討論含有參數的函數的單調性，通常歸結為求含參不等式的解集問題，而對含有參數的不等式要針對具體情況進行討論，但要始終注意定義域及分類討論的標準(2)將函數單調性問題轉化為求解一元二次不等式問題，明確了運算方向，而分類與整合思想能優(yōu)化數學運算過程，對數學運算素養(yǎng)有較大的提高.1f(x)(x3)ex的遞增區(qū)間是()A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)考點利用導數研究函數的單調性題點不含參數的函數求單調區(qū)間答案D解析f(x)ex(x3)ex(x2)ex>0，解得x>2，所以f(x)的遞增區(qū)間是(2，)2函數yf(x)的圖像如圖所示，則導函數yf(x)的圖像可能是()考點函數變化的快慢與導數的關系題點根據原函數圖像確定導函數圖像答案D解析函數f(x)在(，0)，(0，)上都是減函數，當x>0時，f(x)<0；當x<0時，f(x)<0.故選D.3若函數yf(x)a(x3x)的遞減區(qū)間為，則a的取值范圍是_考點利用函數的單調性求變量題點已知函數的單調性求參數答案(0，)解析f(x)a(3x21)3a，令f(x)<0，由已知得<x<，可得a>0.4已知a>0且a1，證明：函數yaxxlna在(，0)上是減少的考點利用導數研究函數的單調性題點根據導數判定(證明)函數的單調性證明yaxlnalnalna(ax1)，當a>1時，因為lna>0，ax<1，所以y<0，即y在(，0)上是減少的；當0<a<1時，因為lna<0，ax>1，所以y<0，即y在(，0)上是減少的綜上，函數yaxxlna在(，0)上是減少的1導數的符號反映了函數在某個區(qū)間上的單調性，導數絕對值的大小反映了函數在某個區(qū)間或某點附近變化的快慢程度2利用導數求函數f(x)的單調區(qū)間的一般步驟(1)確定函數f(x)的定義域(2)求導數f(x)(3)在函數f(x)的定義域內解不等式f(x)>0和f(x)<0.(4)根據(3)的結果確定函數f(x)的單調區(qū)間.一、選擇題1下列函數中，在(0，)上是增加的是()AysinxByxexCyx3xDylnxx考點利用導數研究函數的單調性題點根據導數判定函數的單調性答案B解析顯然ysinx在(0，)上既有增又有減，故排除A；對于函數yxex，y(x1)ex，因為ex恒大于零，易知yxex在(0，)上是增加的；對于C，y3x213，故函數在，上是增加的，在上是減少的；對于D，y1(x>0)故函數在(1，)上是減少的，在(0,1)上是增加的故選B.2函數yf(x)xcosxsinx的遞增區(qū)間為()A.B.C.D.考點利用導數研究函數的單調性題點根據導數判定函數的單調性答案B解析ycosxxsinxcosxxsinx，若yf(x)在某區(qū)間內是增加的，只需在此區(qū)間內y>0恒成立即可，只有選項B符合題意，當x(，2)時，y>0恒成立3函數f(x)xlnx的遞減區(qū)間為()A(，1 B1，)C(0,1 D(0，)考點利用導數研究函數的單調性題點不含參數求單調區(qū)間答案C解析f(x)1(x>0)，令f(x)0，解得0<x1，f(x)在區(qū)間(0,1上是減少的4如圖是函數yf(x)的導函數yf(x)的圖像，則下列判斷正確的是()A在區(qū)間(2,1)上f(x)是增加的B在(1,3)上f(x)是減少的C在(4,5)上f(x)是增加的D在(3，2)上f(x)是增加的考點函數變化的快慢與導數的關系題點根據導函數圖像研究原函數圖像答案C解析由題圖知，當x(4,5)時，f(x)>0，所以在(4,5)上f(x)是增函數5函數f(x)ax3x在R上是減少的，則()Aa0Ba<1Ca<2Da考點利用函數的單調性求變量題點已知函數的單調性求參數答案A解析f(x)3ax21，由題意知，對任意xR，3ax210，當a>0時，顯然不符合題意，當a0時，成立故a0.6已知函數yxf(x)的圖像如圖所示，選項中的四個圖像能大致表示yf(x)的圖像的是()答案C解析由題圖可知，當x1時，xf(x)0，所以f(x)0，此時原函數是增加的，圖像應是上升的；當1x0時，xf(x)0，所以f(x)0，此時原函數為是減少的，圖像應是下降的；當0x1時，xf(x)0，所以f(x)0，此時原函數是減少的，圖像應是下降的；當x1時，xf(x)0，所以f(x)0，此時原函數是增加的，圖像應是上升的由上述分析可知選C.7已知函數f(x)在定義域R上為增函數，且f(x)0，則g(x)x2f(x)在(，0)內的單調情況一定是()A減少的B增加的C先增加后減少D先減少后增加考點利用導數研究函數的單調性題點根據導數判定(證明)函數的單調性答案B解析因為函數f(x)在定義域R上是增加的，所以f(x)0在R上恒成立又因為g(x)2xf(x)x2f(x)，所以當x(，0)時，g(x)0恒成立，所以g(x)x2f(x)在(，0)內是增加的8函數f(x)的定義域為R，f(1)1，對任意xR，f(x)<2，則f(x)>2x1的解集為()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)考點利用導數研究函數的單調性題點利用導數求解不等式答案C解析令g(x)f(x)2x1，則g(x)f(x)2<0，g(x)是減函數又g(1)f(1)2110，當g(x)>g(1)0時，x<1，f(x)2x1>0，即f(x)>2x1的解集為(，1)二、填空題9已知函數f(x)kex1xx2(k為常數)，曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線與x軸平行，則f(x)的遞減區(qū)間為_考點利用導數研究函數的單調性題點含參數的函數求單調區(qū)間答案(，0)解析f(x)kex11x，曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線與x軸平行，f(0)ke110，解得ke，故f(x)exx1.令f(x)<0，解得x<0，故f(x)的遞減區(qū)間為(，0)10函數f(x)的圖像如圖所示，f(x)為函數f(x)的導函數，則不等式<0的解集為_考點函數變化快慢與導數的關系題點求解不等式答案(3，1)(0,1)解析由題圖知，當x(，3)(1,1)時，f(x)<0，當x(3，1)(1，)時，f(x)>0，故不等式<0的解集為(3，1)(0,1)11已知f(x)在區(qū)間m，m1上是增函數，則實數m的取值范圍是_考點利用函數單調性求變量題點已知函數單調性求參數答案1,0解析f(x)，當1x1時，f(x)0，即f(x)的單調遞增區(qū)間是1,1，又f(x)在m，m1上是增函數，1m0，即實數m的取值范圍是1,0三、解答題12已知x>0，求證：x>sinx.考點利用導數研究函數的單調性題點利用導數證明不等式證明設f(x)xsinx(x>0)，則f(x)1cosx0對x(0，)恒成立，函數f(x)xsinx在(0，)上是增加的，又f(0)0，f(x)>0對x(0，)恒成立，x>sinx(x>0)13若函數f(x)x3ax2(a1)x1在區(qū)間(1,4)內是減少的，在區(qū)間(6，)內是增加的，試求實數a的取值范圍考點利用函數的單調性求變量題點已知函數的單調性求參數解f(x)x2axa1(x1)x(a1)，令f(x)0，得x11，x2a1.因為f(x)在(1,4)內是減少的，所以當x(1,4)時，f(x)0；因為f(x)在(6，)內是增加的，所以當x(6，)時，f(x)0.所以4a16，解得5a7，所以實數a的取值范圍為5,714f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x<0時，f(x)g(x)f(x)g(x)>0，g(3)0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是_考點題點答案(，3)(0,3)解析令h(x)f(x)g(x)，則h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，因此函數h(x)在R上是奇函數當x<0時，h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)>0，h(x)在(，0)上是增加的，h(3)f(3)g(3)0，由h(x)<0，得x<3.當x>0時，函數h(x)在R上是奇函數，h(x)在(0，)上是增加的，且h(3)h(3)0，h(x)<0的解集為(0,3)，不等式f(x)g(x)<0的解集是(，3)(0,3)15已知二次函數h(x)ax2bx2，其導函數yh(x)的圖像如圖，f(x)6lnxh(x)(1)求函數f(x)的解析式；(2)若函數f(x)在區(qū)間上是單調函數，求實數m的取值范圍考點利用函數的單調性求變量題點已知函數的單調性求參數解(1)由已知，h(x)2axb，其圖像為直線，且過(0，8)，(4,0)兩點，把兩點坐標代入h(x)2axb，解得h(x)x28x2，h(x)2x8，f(x)6lnxx28x2.(2)f(x)2x8(x>0)當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)f(x)的遞增區(qū)間為(0,1)和(3，)，f(x)的遞減區(qū)間為(1,3)要使函數f(x)在區(qū)間上是單調函數，則解得<m.即實數m的取值范圍為.