2020版高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 1.1 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性學(xué)案(含解析)北師大版選修1 -1.docx
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11導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷(證明)函數(shù)單調(diào)性的方法.3.能利用導(dǎo)數(shù)求不超過三次多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間知識點(diǎn)一導(dǎo)函數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系(1)在區(qū)間(a,b)內(nèi)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性有如下關(guān)系:導(dǎo)函數(shù)的正、負(fù)函數(shù)的單調(diào)性f(x)0增加的f(x)0,則f(x)仍是增加的(減少的情形完全類似)(2)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x(a,b)都有f(x)0且在(a,b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f(x)不恒為0.知識點(diǎn)二函數(shù)的變化快慢與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系一般地,如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大,那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得快,這時,函數(shù)的圖像就比較“陡峭”(向上或向下);反之,函數(shù)的圖像就“平緩”一些1函數(shù)的導(dǎo)數(shù)越小,函數(shù)值的變化越慢,函數(shù)的圖像就越“平緩”()2函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)越大,函數(shù)在該點(diǎn)處的切線越“陡峭”()3函數(shù)在某個區(qū)間上變化的越快,函數(shù)在這個區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的絕對值越大()4若f(x)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo),則“f(x)0”是“f(x)在(a,b)上是增加的”的充要條件()5若f(x)的圖像在a,b上是一條連續(xù)曲線,且f(x)在(a,b)上f(x)0,解得x2;由f(x)0,解得3x0,即20,解得x.令f(x)0,即20,解得0x0和f(x)0的區(qū)間為遞增區(qū)間,定義域內(nèi)滿足f(x)0,(x2)20.由f(x)0,得x3,所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(3,);由f(x)0,得x3.又函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,2)(2,),所以函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為(,2)和(2,3)題型三含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性例3若函數(shù)f(x)kxlnx在區(qū)間(1,)上是增加的,則k的取值范圍是_考點(diǎn)利用函數(shù)單調(diào)性求變量題點(diǎn)已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)答案1,)解析由于f(x)k,f(x)kxlnx在區(qū)間(1,)上是增加的,得f(x)k0在(1,)上恒成立因?yàn)閗,而00時,函數(shù)的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為.2若f(x)kxlnx在區(qū)間(1,)上不單調(diào),則k的取值范圍是_答案(0,1)解析由引申探究1知k0,且1,則0k0(或f(x)0,f(x)的遞增區(qū)間為(0,);當(dāng)a0時,f(x),當(dāng)x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:x(0,)(,)f(x)0f(x)由上表可知,函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間是(0,);遞增區(qū)間是(,)(2)由g(x)x22alnx,得g(x)2x,由已知函數(shù)g(x)為1,2上為減函數(shù),則g(x)0在1,2上恒成立,即2x0在1,2上恒成立,即ax2在1,2上恒成立令h(x)x2,則h(x)2x0,故f(x)在(0,)上是增加的;當(dāng)a0時,f(x)0,故f(x)在(0,)上是減少的;當(dāng)0a1時,令f(x)0,解得x,則當(dāng)x時,f(x)0,故f(x)在上是減少的,在上是增加的綜上所述,當(dāng)a1時,f(x)在(0,)上是增加的;當(dāng)a0時,f(x)在(0,)上是減少的;當(dāng)0a0,解得x2,所以f(x)的遞增區(qū)間是(2,)2函數(shù)yf(x)的圖像如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖像可能是()考點(diǎn)函數(shù)變化的快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點(diǎn)根據(jù)原函數(shù)圖像確定導(dǎo)函數(shù)圖像答案D解析函數(shù)f(x)在(,0),(0,)上都是減函數(shù),當(dāng)x0時,f(x)0;當(dāng)x0時,f(x)0.故選D.3若函數(shù)yf(x)a(x3x)的遞減區(qū)間為,則a的取值范圍是_考點(diǎn)利用函數(shù)的單調(diào)性求變量題點(diǎn)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)答案(0,)解析f(x)a(3x21)3a,令f(x)0,由已知得x0.4已知a0且a1,證明:函數(shù)yaxxlna在(,0)上是減少的考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)根據(jù)導(dǎo)數(shù)判定(證明)函數(shù)的單調(diào)性證明yaxlnalnalna(ax1),當(dāng)a1時,因?yàn)閘na0,ax1,所以y0,即y在(,0)上是減少的;當(dāng)0a1時,因?yàn)閘na1,所以y0和f(x)0)故函數(shù)在(1,)上是減少的,在(0,1)上是增加的故選B.2函數(shù)yf(x)xcosxsinx的遞增區(qū)間為()A.B.C.D.考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)根據(jù)導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性答案B解析ycosxxsinxcosxxsinx,若yf(x)在某區(qū)間內(nèi)是增加的,只需在此區(qū)間內(nèi)y0恒成立即可,只有選項(xiàng)B符合題意,當(dāng)x(,2)時,y0恒成立3函數(shù)f(x)xlnx的遞減區(qū)間為()A(,1 B1,)C(0,1 D(0,)考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)不含參數(shù)求單調(diào)區(qū)間答案C解析f(x)1(x0),令f(x)0,解得00,所以在(4,5)上f(x)是增函數(shù)5函數(shù)f(x)ax3x在R上是減少的,則()Aa0Ba1Ca0時,顯然不符合題意,當(dāng)a0時,成立故a0.6已知函數(shù)yxf(x)的圖像如圖所示,選項(xiàng)中的四個圖像能大致表示yf(x)的圖像的是()答案C解析由題圖可知,當(dāng)x1時,xf(x)0,所以f(x)0,此時原函數(shù)是增加的,圖像應(yīng)是上升的;當(dāng)1x0時,xf(x)0,所以f(x)0,此時原函數(shù)為是減少的,圖像應(yīng)是下降的;當(dāng)0x1時,xf(x)0,所以f(x)0,此時原函數(shù)是減少的,圖像應(yīng)是下降的;當(dāng)x1時,xf(x)0,所以f(x)0,此時原函數(shù)是增加的,圖像應(yīng)是上升的由上述分析可知選C.7已知函數(shù)f(x)在定義域R上為增函數(shù),且f(x)0,則g(x)x2f(x)在(,0)內(nèi)的單調(diào)情況一定是()A減少的B增加的C先增加后減少D先減少后增加考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)根據(jù)導(dǎo)數(shù)判定(證明)函數(shù)的單調(diào)性答案B解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在定義域R上是增加的,所以f(x)0在R上恒成立又因?yàn)間(x)2xf(x)x2f(x),所以當(dāng)x(,0)時,g(x)0恒成立,所以g(x)x2f(x)在(,0)內(nèi)是增加的8函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(1)1,對任意xR,f(x)2x1的解集為()A(1,1) B(1,)C(,1) D(,)考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解不等式答案C解析令g(x)f(x)2x1,則g(x)f(x)2g(1)0時,x0,即f(x)2x1的解集為(,1)二、填空題9已知函數(shù)f(x)kex1xx2(k為常數(shù)),曲線yf(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線與x軸平行,則f(x)的遞減區(qū)間為_考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)含參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間答案(,0)解析f(x)kex11x,曲線yf(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線與x軸平行,f(0)ke110,解得ke,故f(x)exx1.令f(x)0,解得x0,故f(x)的遞減區(qū)間為(,0)10函數(shù)f(x)的圖像如圖所示,f(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),則不等式0的解集為_考點(diǎn)函數(shù)變化快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點(diǎn)求解不等式答案(3,1)(0,1)解析由題圖知,當(dāng)x(,3)(1,1)時,f(x)0,故不等式0,求證:xsinx.考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式證明設(shè)f(x)xsinx(x0),則f(x)1cosx0對x(0,)恒成立,函數(shù)f(x)xsinx在(0,)上是增加的,又f(0)0,f(x)0對x(0,)恒成立,xsinx(x0)13若函數(shù)f(x)x3ax2(a1)x1在區(qū)間(1,4)內(nèi)是減少的,在區(qū)間(6,)內(nèi)是增加的,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍考點(diǎn)利用函數(shù)的單調(diào)性求變量題點(diǎn)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)解f(x)x2axa1(x1)x(a1),令f(x)0,得x11,x2a1.因?yàn)閒(x)在(1,4)內(nèi)是減少的,所以當(dāng)x(1,4)時,f(x)0;因?yàn)閒(x)在(6,)內(nèi)是增加的,所以當(dāng)x(6,)時,f(x)0.所以4a16,解得5a7,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為5,714f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x0,g(3)0,則不等式f(x)g(x)0的解集是_考點(diǎn)題點(diǎn)答案(,3)(0,3)解析令h(x)f(x)g(x),則h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x),因此函數(shù)h(x)在R上是奇函數(shù)當(dāng)x0,h(x)在(,0)上是增加的,h(3)f(3)g(3)0,由h(x)0,得x0時,函數(shù)h(x)在R上是奇函數(shù),h(x)在(0,)上是增加的,且h(3)h(3)0,h(x)0的解集為(0,3),不等式f(x)g(x)0)當(dāng)x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:x(0,1)1(1,3)3(3,)f(x)00f(x)f(x)的遞增區(qū)間為(0,1)和(3,),f(x)的遞減區(qū)間為(1,3)要使函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),則解得m.即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.- 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