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考點測試12 函數(shù)與方程
高考概覽
考綱研讀
結合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)
一、基礎小題
1．若函數(shù)f(x)＝ax＋b的零點是2，那么函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點是( )
A．0，2 B．0，
C．0，－ D．2，－
答案 C
解析 由題意知2a＋b＝0，即b＝－2a.令g(x)＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.
2．若函數(shù)f(x)＝ax＋1在區(qū)間(－1，1)上存在一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，1)
答案 C
解析 由題意知，f(－1)f(1)<0，即(1－a)(1＋a)<0，解得a<－1或a>1.
3．下列函數(shù)圖象與x軸均有公共點，其中能用二分法求零點的是( )
答案 C
解析 能用二分法求零點的函數(shù)必須在給定區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，并且有f(a)f(b)<0.A，B中不存在f(x)<0，D中函數(shù)不連續(xù)．故選C.
4．用二分法研究函數(shù)f(x)＝x5＋8x3－1的零點時，第一次經(jīng)過計算得f(0)<0，f(0.5)>0，則其中一個零點所在的區(qū)間和第二次應計算的函數(shù)值分別為( )
A．(0，0.5)，f(0.125) B．(0.5，1)，f(0.875)
C．(0.5，1)，f(0.75) D．(0，0.5)，f(0.25)
答案 D
解析 ∵f(x)＝x5＋8x3－1，f(0)<0，f(0.5)>0，
∴f(0)f(0.5)<0，∴其中一個零點所在的區(qū)間為(0，0.5)，第二次應計算的函數(shù)值為f(0.25)，故選D.
5．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，則f(x)在(1，2)上零點的個數(shù)為( )
A．至多有一個 B．有一個或兩個
C．有且僅有一個 D．一個也沒有
答案 C
解析 ∵f(1)>0，f(2)<0，∴f(x)在(1，2)上必有零點，又∵函數(shù)為二次函數(shù)，∴有且只有一個零點．
6．函數(shù)f(x)＝3x＋x2－2的零點個數(shù)為( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 函數(shù)f(x)＝3x＋x2－2的零點個數(shù)即為函數(shù)y＝3x與函數(shù)y＝2－x2的圖象的交點個數(shù)，由圖象易知交點個數(shù)為2，則f(x)＝3x＋x2－2的零點個數(shù)為2，故選C.
7．已知自變量和函數(shù)值的對應值如下表：
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
則方程2x＝x2的一個根位于區(qū)間( )
A．(0.6，1.0) B．(1.4，1.8)
C．(1.8，2.2) D．(2.6，3.0)
答案 C
解析 令f(x)＝2x，g(x)＝x2，因為f(1.8)＝3.482，g(1.8)＝3.24，f(2.2)＝4.595，g(2.2)＝4.84.令h(x)＝2x－x2，則h(1.8)>0，h(2.2)<0.故選C.
8．函數(shù)f(x)＝ex＋2x－3的零點所在的一個區(qū)間為( )
A．(－1，0) B．0， C.，1 D．1，
答案 C
解析 ∵f＝e－2<0，f(1)＝e－1>0，∴零點在，1上，故選C.
9．設函數(shù)f(x)＝x3－3x，若函數(shù)g(x)＝f(x)＋f(t－x)有零點，則實數(shù)t的取值范圍是( )
A．(－2，2) B．(－，)
C．[－2，2] D．[－，]
答案 C
解析 由題意，g(x)＝x3－3x＋(t－x)3－3(t－x)＝3tx2－3t2x＋t3－3t，當t＝0時，顯然g(x)＝0恒成立；當t≠0時，只需Δ＝(－3t2)2－43t(t3－3t)≥0，化簡得t2≤12，即－2≤t≤2，t≠0.綜上可知，實數(shù)t的取值范圍是[－2，2]．
10．若a
0，f(b)<0，f(c)>0，又該函數(shù)是二次函數(shù)，且圖象開口向上，可知兩個零點分別在(a，b)和(b，c)內(nèi)．
11．已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一個零點比1大，一個零點比1小，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案 (－2，1)
解析 函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，則f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，得－21?a<－即可．
二、高考小題
13．(2018全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝
g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是( )
A．[－1，0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 C
解析 畫出函數(shù)f(x)的圖象，再畫出直線y＝－x并上下移動，可以發(fā)現(xiàn)當直線y＝－x過點A時，直線y＝－x與函數(shù)f(x)的圖象有兩個交點，并且向下無限移動，都可以保證直線y＝－x與函數(shù)f(x)的圖象有兩個交點，即方程f(x)＝－x－a有兩個解，也就是函數(shù)g(x)有兩個零點，此時滿足－a≤1，即a≥－1，故選C.
14．(2017全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零點，則a＝( )
A．－ B. C. D．1
答案 C
解析 解法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，
令t＝x－1，則g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a－1.
∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，
∴函數(shù)g(t)為偶函數(shù)．
∵f(x)有唯一零點，∴g(t)也有唯一零點．
又g(t)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)知g(0)＝0，
∴2a－1＝0，解得a＝.故選C.
解法二：f(x)＝0?a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.
ex－1＋e－x＋1≥2 ＝2，
當且僅當x＝1時取“＝”．
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，當且僅當x＝1時取“＝”．
若a＞0，則a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，
要使f(x)有唯一零點，則必有2a＝1，即a＝.
若a≤0，則f(x)的零點不唯一．故選C.
15．(2017山東高考)已知當x∈[0，1]時，函數(shù)y＝(mx－1)2的圖象與y＝＋m的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)m的取值范圍是( )
A．(0，1]∪[2，＋∞) B．(0，1]∪[3，＋∞)
C．(0，]∪[2，＋∞) D．(0，]∪[3，＋∞)
答案 B
解析 在同一直角坐標系中，分別作出函數(shù)f(x)＝(mx－1)2＝m22與g(x)＝＋m的大致圖象．
分兩種情形：
(1)當0＜m≤1時，≥1，如圖①，當x∈[0，1]時，f(x)與g(x)的圖象有一個交點，符合題意；
(2)當m＞1時，0＜＜1，如圖②，要使f(x)與g(x)的圖象在[0，1]上只有一個交點，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．
綜上所述，m∈(0，1]∪[3，＋∞)．故選B.
16．(2016天津高考)已知函數(shù)
f(x)＝(a>0，且a≠1)在R上單調(diào)遞減，且關于x的方程|f(x)|＝2－x恰有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是( )
A. B.
C.∪ D.∪
答案 C
解析
要使函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，只需解得≤a≤，因為方程|f(x)|＝2－x恰有兩個不相等的實數(shù)解，所以直線y＝2－x與函數(shù)y＝|f(x)|的圖象有兩個交點，如圖所示．
易知y＝|f(x)|的圖象與x軸的交點的橫坐標為－1，又≤－1≤2，故由圖可知，直線y＝2－x與y＝|f(x)|的圖象在x>0時有一個交點；當直線y＝2－x與y＝x2＋(4a－3)x＋3a(x<0)的圖象相切時，設切點為(x0，y0)，則整理可得4a2－7a＋3＝0，解得a＝1(舍)或a＝.而當3a≤2，即a≤時，直線y＝2－x與y＝|f(x)|的圖象在y軸左側(cè)有一個交點，綜合可得a∈∪.
17．(2018全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝cos在[0，π]的零點個數(shù)為________．
答案 3
解析 ∵0≤x≤π，∴≤3x＋≤.由題可知，當3x＋＝，3x＋＝，或3x＋＝時，f(x)＝0.解得x＝，，或.故函數(shù)f(x)＝cos3x＋在[0，π]上有3個零點．
18．(2018天津高考)已知a>0，函數(shù)f(x)＝若關于x的方程f(x)＝ax恰有2個互異的實數(shù)解，則a的取值范圍是________．
答案 (4，8)
解析 設g(x)＝f(x)－ax＝
方程f(x)＝ax恰有2個互異的實數(shù)解即函數(shù)y＝g(x)有兩個零點，即y＝g(x)的圖象與x軸有2個交點，滿足條件的y＝g(x)的圖象有以下兩種情況：
情況一：
則∴44.②兩個零點為1，4，由圖可知，此時1<λ≤3.綜上，λ的取值范圍為(1，3]∪(4，＋∞)．
三、模擬小題
20．(2018河南濮陽一模)函數(shù)f(x)＝ln 2x－1的零點所在區(qū)間為( )
A．(2，3) B．(3，4) C．(0，1) D．(1，2)
答案 D
解析 由f(x)＝ln 2x－1，得函數(shù)是增函數(shù)，并且是連續(xù)函數(shù)，f(1)＝ln 2－1<0，f(2)＝ln 4－1>0，根據(jù)函數(shù)零點存在性定理可得，函數(shù)f(x)的零點位于區(qū)間(1，2)上，故選D.
21．(2018安徽安慶二模)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，則函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)內(nèi)的零點個數(shù)為( )
A．3 B．2 C．1 D．0
答案 B
解析 由f(x＋1)＝f(x－1)，知f(x)的周期是2，畫出函數(shù)f(x)和g(x)的部分圖象，如圖所示，由圖象可知f(x)與g(x)的圖象有2個交點，故F(x)有2個零點．故選B.
22．(2018沈陽質(zhì)檢一)設函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋2)＝f(2－x)，當x∈[－2，0]時，f(x)＝x－1，則在區(qū)間(－2，6)上關于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0的解的個數(shù)為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 原方程等價于y＝f(x)與y＝log8(x＋2)的圖象的交點個數(shù)問題，由f(x＋2)＝f(2－x)，可知f(x)的圖象關于x＝2對稱，再根據(jù)f(x)是偶函數(shù)這一性質(zhì)，可由f(x)在[－2，0]上的解析式，作出f(x)在(0，2)上的圖象，進而作出f(x)在(－2，6)上的圖象，如圖所示．
再在同一坐標系下，畫出y＝log8(x＋2)的圖象，注意其圖象過點(6，1)，由圖可知，兩圖象在區(qū)間(－2，6)內(nèi)有三個交點，從而原方程有三個根，故選C.
23．(2018鄭州質(zhì)檢一)已知函數(shù)f(x)＝(a∈R)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(0，1] B．[1，＋∞) C．(0，1) D．(－∞，1]
答案 A
解析 由于x≤0時，f(x)＝ex－a在(－∞，0]上單調(diào)遞增，x>0時，f(x)＝2x－a在(0，＋∞)上也單調(diào)遞增，而函數(shù)f(x)在R上有兩個零點，所以當x≤0時，f(x)＝ex－a在(－∞，0]上有一個零點，即ex＝a有一個根．因為x≤0，00時，f(x)＝2x－a在(0，＋∞)上有一個零點，即2x＝a有一個根．因為x>0，2x>0，所以a>0.所以函數(shù)f(x)在R上有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是(0，1]，故選A.
24．(2019貴陽模擬)已知定義在[－2，2]上的函數(shù)f(x)＝若g(x)＝f(x)－a(x＋2)的圖象與x軸有3個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．0， B．0，
C.， D.，＋∞
答案 C
解析 ∵g(x)的圖象與x軸有3個不同的交點，∴y＝f(x) 與y＝a(x＋2)的圖象有3個不同的交點．作出y＝f(x) 與y＝a(x＋2)的圖象，如圖所示，易知直線y＝a(x＋2)過定點A(－2，0)，斜率為a.
當直線y＝a(x＋2)與y＝ln (x＋2)相切時是一個臨界狀態(tài)，設切點為(x0，y0)，則解得x0＝e－2，a＝.又B(2，ln 4)，kAB＝＝，故≤a<.故選C.
25．(2018衡陽三模)已知函數(shù)f(x)＝x2－3x＋－8cosπ－x，則函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的所有零點之和為( )
A．6 B．7 C．9 D．12
答案 A
解析
h(x)＝x2－3x＋＝x－2＋1的圖象關于x＝對稱，設函數(shù)g(x)＝8cosπ－x.由π－x＝kπ，可得x＝－k(k∈Z)，令k＝－1可得x＝，所以函數(shù)g(x)＝8cosπ－x的圖象也關于x＝對稱．當x＝時，h＝2
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2020高考數(shù)學刷題首選卷
第二章
函數(shù)、導數(shù)及其應用
考點測試12
函數(shù)與方程
文含解析
2020
高考
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函數(shù)
導數(shù)
及其
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考點
測試
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