（浙江專用）2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習 第十章 計數(shù)原理 10.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理講義（含解析）.docx

10.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理最新考綱考情考向分析理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.以理解和應用兩個基本原理為主，常以實際問題為載體，突出分類討論思想，注重分析問題、解決問題能力的考查，常與排列、組合知識交匯；兩個計數(shù)原理在高考中單獨命題較少，一般是與排列組合結(jié)合進行考查；兩個計數(shù)原理的考查一般以選擇、填空題的形式出現(xiàn).1.分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有Nmn種不同的方法.2.分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有Nmn種不同的方法.3.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事.概念方法微思考1.在解題過程中如何判定是用分類加法計數(shù)原理還是分步乘法計數(shù)原理？提示如果已知的每類辦法中的每一種方法都能完成這件事，應該用分類加法計數(shù)原理；如果每類辦法中的每一種方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法計數(shù)原理.2.兩種原理解題策略有哪些？提示分清要完成的事情是什么；分清完成該事情是分類完成還是分步完成，“類”間互相獨立，“步”間互相聯(lián)系；有無特殊條件的限制；檢驗是否有重復或遺漏.題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.()(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.()(3)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分步完成的，其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有每個步驟都完成后，這件事情才算完成.()(4)如果完成一件事情有n個不同步驟，在每一步中都有若干種不同的方法mi(i1，2，3，n)，那么完成這件事共有m1m2m3mn種方法.()(5)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.()題組二教材改編2.P12A組T5已知集合M1，2，3，N4，5，6，7，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別作為點的橫坐標，縱坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是()A.12B.8C.6D.4答案C解析分兩步：第一步先確定橫坐標，有3種情況，第二步再確定縱坐標，有2種情況，因此第一、二象限內(nèi)不同點的個數(shù)是326，故選C.3.P10練習T4已知某公園有4個門，從一個門進，另一個門出，則不同的走法的種數(shù)為()A.16B.13C.12D.10答案C解析將4個門編號為1，2，3，4，從1號門進入后，有3種出門的方式，共3種走法，從2，3，4號門進入，同樣各有3種走法，即進門有4種走法，出門有3種走法，由分步乘法計數(shù)原理得，共有不同走法4312(種).題組三易錯自糾4.從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為()A.24B.18C.12D.6答案B解析分兩類情況討論：第1類，奇偶奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有2種選擇，共有32212(個)奇數(shù)；第2類，偶奇奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有1種選擇，共有3216(個)奇數(shù).根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共有12618(個)奇數(shù).5.現(xiàn)用4種不同顏色對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()A.24種B.30種C.36種D.48種答案D解析需要先給C塊著色，有4種方法；再給A塊著色，有3種方法；再給B塊著色，有2種方法；最后給D塊著色，有2種方法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有432248(種)著色方法.6.如果把個位數(shù)是1，且恰有3個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1，2，3，4四個數(shù)字組成的有重復數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有_個.答案12解析當組成的數(shù)字有三個1，三個2，三個3，三個4時共有4種情況.當有三個1時：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141，有9種，當有三個2，3，4時：2221，3331，4441，有3種，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共有12種結(jié)果.題型一分類加法計數(shù)原理1.滿足a，b1，0，1，2，且關于x的方程ax22xb0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為()A.14B.13C.12D.10答案B解析方程ax22xb0有實數(shù)解的情況應分類討論.當a0時，方程為一元一次方程2xb0，不論b取何值，方程一定有解.此時b的取值有4個，故此時有4個有序數(shù)對.當a0時，需要44ab0，即ab1.顯然有3個有序數(shù)對不滿足題意，分別為(1，2)，(2，1)，(2，2).a0時，(a，b)共有3412個實數(shù)對，故a0時滿足條件的實數(shù)對有1239個，所以答案應為4913.2.如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1<a2，且a2>a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120，343，275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為()A.240B.204C.729D.920答案A解析若a22，則百位數(shù)字只能選1，個位數(shù)字可選1或0，“凸數(shù)”為120與121，共2個.若a23，則百位數(shù)字有兩種選擇，個位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有236(個).若a24，滿足條件的“凸數(shù)”有3412(個)，若a29，滿足條件的“凸數(shù)”有8972(個).所以所有凸數(shù)有26122030425672240(個).3.定義“規(guī)范01數(shù)列”an如下：an共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k2m，a1，a2，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若m4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()A.18個B.16個C.14個D.12個答案C解析第一位為0，最后一位為1，中間3個0，3個1，3個1在一起時為000111，001110；只有2個1相鄰時，共A個，其中110100，110010，110001，101100不符合題意；三個1都不在一起時有C個，共28414(個).思維升華分類標準是運用分類加法計數(shù)原理的難點所在，應抓住題目中的關鍵詞，關鍵元素，關鍵位置.(1)根據(jù)題目特點恰當選擇一個分類標準.(2)分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復.(3)分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏.題型二分步乘法計數(shù)原理例1(1)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A.24B.18C.12D.9答案B解析從E點到F點的最短路徑有6條，從F點到G點的最短路徑有3條，所以從E點到G點的最短路徑有6318(條)，故選B.(2)有六名同學報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則共有_種不同的報名方法.答案120解析每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有654120(種).引申探究1.本例(2)中若將條件“每項限報一人，且每人至多參加一項”改為“每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限”，則有多少種不同的報名方法？解每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有36729(種).2.本例(2)中若將條件“每項限報一人，且每人至多參加一項”改為“每項限報一人，但每人參加的項目不限”，則有多少種不同的報名方法？解每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有63216(種).思維升華 (1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.跟蹤訓練1一個旅游景區(qū)的游覽線路如圖所示，某人從P點處進，Q點處出，沿圖中線路游覽A，B，C三個景點及沿途風景，則不同(除交匯點O外)的游覽線路有_種.(用數(shù)字作答)答案48解析根據(jù)題意，從點P處進入后，參觀第一個景點時，有6個路口可以選擇，從中任選一個，有6種選法；參觀完第一個景點，參觀第二個景點時，有4個路口可以選擇，從中任選一個，有4種選法；參觀完第二個景點，參觀第三個景點時，有2個路口可以選擇，從中任取一個，有2種選法.由分步乘法計數(shù)原理知，共有64248(種)不同游覽線路.題型三兩個計數(shù)原理的綜合應用例2(1)用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有_個.(用數(shù)字作答)答案1080解析當組成四位數(shù)的數(shù)字中有一個偶數(shù)時，四位數(shù)的個數(shù)為CCA960.當組成四位數(shù)的數(shù)字中不含偶數(shù)時，四位數(shù)的個數(shù)為A120.故符合題意的四位數(shù)一共有9601201080(個).(2)現(xiàn)有5種不同顏色的染料，要對如圖所示的四個不同區(qū)域進行涂色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能使用同一種顏色，則不同的涂色方法的種數(shù)是()A.120B.140C.240D.260答案D解析由題意，先涂A處共有5種涂法，再涂B處有4種涂法，最后涂C處，若C處與A處所涂顏色相同，則C處共有1種涂法，D處有4種涂法；若C處與A處所涂顏色不同，到C處有3種涂法，D處有3種涂法，由此可得不同的涂色方法有54(1433)260(種).故選D.(3)如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”.在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是()A.60B.48C.36D.24答案B解析長方體的6個表面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6636，另含4個頂點的6個面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6212，故符合條件的“平行線面組”的個數(shù)是361248.思維升華利用兩個計數(shù)原理解決應用問題的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么.(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類.(3)弄清分步、分類的標準是什么.(4)利用兩個計數(shù)原理求解.跟蹤訓練2(1)用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有()A.144個B.120個C.96個D.72個答案B解析由題意，首位數(shù)字只能是4，5，若萬位是5，則有3A72(個)；若萬位是4，則有2A48(個)，故比40000大的偶數(shù)共有7248120(個).故選B.(2)如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是_.答案36解析第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有21224(個)；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個.所以正方體中“正交線面對”共有241236(個).(3)如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)為_.答案96解析按區(qū)域1與3是否同色分類：區(qū)域1與3同色：先涂區(qū)域1與3有4種方法，再涂區(qū)域2，4，5(還有3種顏色)有A種方法.區(qū)域1與3同色時，共有4A24(種)方法.區(qū)域1與3不同色：第一步涂區(qū)域1與3有A種方法，第二步涂區(qū)域2有2種涂色方法，第三步涂區(qū)域4只有1種方法，第四步涂區(qū)域5有3種方法.共有A21372(種)方法.故由分類加法計數(shù)原理可知，不同的涂色種數(shù)為247296.1.集合A1，2，3，4，5，B3，4，5，6，7，8，9，從集合A，B中各取一個數(shù)，能組成的沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為()A.52B.58C.64D.70答案B解析根據(jù)分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理得(CCCCCCC)A58.2.三個人踢毽，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有()A.4種B.6種C.10種D.16種答案B解析分兩類：甲第一次踢給乙時，滿足條件的有3種傳遞方式(如圖)，同理，甲先傳給丙時，滿足條件的也有3種傳遞方式.由分類加法計數(shù)原理可知，共有336(種)傳遞方式.3.十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，則行車路線共有()A.24種B.16種C.12種D.10種答案C解析根據(jù)題意，車的行駛路線起點有4種，行駛方向有3種，所以行車路線共有4312(種)，故選C.4.若自然數(shù)n使得作豎式加法n(n1)(n2)各位數(shù)均不產(chǎn)生進位現(xiàn)象，則稱n為“開心數(shù)”.例如：32是“開心數(shù)”.因323334不產(chǎn)生進位現(xiàn)象；23不是“開心數(shù)”，因232425產(chǎn)生進位現(xiàn)象，那么，小于100的“開心數(shù)”的個數(shù)為()A.9B.10C.11D.12答案D解析根據(jù)題意個位數(shù)n需要滿足n(n1)(n2)<10，即n<2.3，個位數(shù)可取0，1，2三個數(shù)，十位數(shù)k需要滿足3k<10，k<3.3，十位數(shù)可以取0，1，2，3四個數(shù)，故小于100的“開心數(shù)”共有3412(個).故選D.5.如圖為我國數(shù)學家趙爽(約3世紀初)在為周髀算經(jīng)作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案共有()A.120種B.260種C.340種D.420種答案D解析由題意可知上下兩塊區(qū)域可以相同，也可以不同，則共有5431354322180240420.故選D.6.如圖，給7條線段的5個端點涂色，要求同一條線段的兩個端點不能同色，現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇，則不同的涂色方法種數(shù)有()A.24B.48C.96D.120答案C解析若A，D顏色相同，先涂E有4種涂法，再涂A，D有3種涂法，再涂B有2種涂法，C只有1種涂法，共有43224(種)；若顏色A，D不同，先涂E有4種涂法，再涂A有3種涂法，再涂D有2種涂法，當B和D相同時，C有2種涂法，當B和D不同時，C只有1種涂法，共有432(21)72(種)，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，共有247296(種)，故選C.7.對33000分解質(zhì)因數(shù)得330002335311，則33000的正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)是()A.48B.72C.64D.96答案A解析33000的因數(shù)由若干個2(共有23，22，21，20四種情況)，若干個3(共有3，30兩種情況)，若干個5(共有53，52，51，50四種情況)，若干個11(共有111，110兩種情況)，由分步乘法計數(shù)原理可得33000的因數(shù)共有424264(個)，不含2的共有24216(個)，正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)為641648，即33000的正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)是48，故選A.8.從1，2，3，4，7，9六個數(shù)中，任取兩個數(shù)作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所有不同對數(shù)值的個數(shù)為_.答案17解析當所取兩個數(shù)中含有1時，1只能作真數(shù)，對數(shù)值為0，當所取兩個數(shù)中不含有1時，可得到A20(個)對數(shù)，但log23log49，log32log94，log24log39，log42log93.綜上可知，共有201417(個)不同的對數(shù)值.9.設a，b，c1，2，3，4，5，6，若以a，b，c為三條邊的長可以構(gòu)成一個等腰(含等邊)三角形，則這樣的三角形有_個.答案27解析先考慮等邊的情況，abc1，2，6，有六個，再考慮等腰的情況，若ab1，c<ab2，此時c1與等邊重復，若ab2，c<ab4，則c1，3，有兩個，若ab3，c<ab6，則c1，2，4，5，有四個，若ab4，c<ab8，則c1，2，3，5，6，有五個，若ab5，c<ab10，則c1，2，3，4，6，有五個，若ab6，c<ab12，則c1，2，3，4，5，有五個，故一共有27個.10.(2019湖州高考適應性考試)將不同顏色的2個小球放入5個不同的盒子中，每個盒子最多可以放一個小球，則三個空盒中恰有兩個空盒相鄰的方法共有_種(用數(shù)字回答).答案12解析當兩個空盒在兩邊位置時，則一個小球放在中間的盒子內(nèi)，另一個有兩種放法，此時有22A8(種)放法；當兩個空盒在中間位置時，則兩個小球放在這兩個空盒的兩邊位置，此時有2A4(種)放法.綜上所述，不同的放法共有8412(種).11.(2019金華模擬)聯(lián)合國國際援助組織計劃向非洲三個國家援助糧食和藥品兩種物資，每種物資既可以全部給一個國家，也可以由其中兩個或三個國家均分，若每個國家都要有物資援助，則不同的援助方案有_種.答案25解析根據(jù)題意，可分為：三個國家糧食和藥品都有，有1種方法；一個國家糧食，兩個國家藥品，有3種方法；一個國家藥品，兩個國家糧食，有3種方法；兩個國家糧食，三個國家藥品，有3種方法；兩個國家藥品，三個國家糧食，有3種方法；兩個國家糧食，兩個國家藥品，有326種方法；三個國家糧食，一個國家藥品，有3種方法；三個國家藥品，一個國家糧食，有3種方法，故方法總數(shù)是25.12.(2018杭州教學質(zhì)量檢測)盒子里有完全相同的6個球，每次至少取出1個球(取出不放回)，取完為止，則共有_種不同的取法(用數(shù)字作答).答案32解析由題意知，一次可以取球的個數(shù)為1，2，3，4，5，6，若一次取完可由1個6組成，共1種；兩次取完可由1與5，2與4，3與3組成，共5種；三次取完可由1，1，4或1，2，3或2，2，2組成，共10種；四次取完可由1，1，1，3或1，1，2，2組成，共10種；五次取完可由1，1，1，1，2組成，共5種；六次取完可由6個1組成，共1種.綜上，不同的取法一共有1510105132(種).13.(2018杭州第二中學模擬)工人在安裝一個正六邊形零件時，需要固定如圖所示的六個位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是_.答案60解析根據(jù)題意，第一個可以從6個螺栓里任意選一個，共有6種選擇方法，并且是機會相等的，若第一個選1號螺栓，第二個可以選3，4，5號螺栓，依次選下去，共可以得到10種方法，所以總共有10660種方法，故答案是60.14.已知集合M1，2，3，N1，2，3，4，定義函數(shù)f：MN.若點A(1，f(1)，B(2，f(2)，C(3，f(3)，ABC的外接圓圓心為D，且(R)，則滿足條件的函數(shù)f(x)有_種.答案12解析由(R)，說明ABC是等腰三角形，且|BA|BC|，必有f(1)f(3)，f(1)f(2).當f(1)f(3)1時，f(2)2，3，4，有三種情況；f(1)f(3)2，f(2)1，3，4，有三種情況；f(1)f(3)3，f(2)2，1，4，有三種情況；f(1)f(3)4，f(2)2，3，1，有三種情況.因而滿足條件的函數(shù)f(x)有12種.15.(2018杭州四校聯(lián)考)在一個質(zhì)地均勻的正四面體中，一個面上標有數(shù)字1，一個面上標有數(shù)字2，另外兩個面上標有數(shù)字3，將該正四面體拋擲三次，則向下一面的數(shù)字之和為7的情況有_種.答案18解析向下一面的數(shù)字之和為7的所有可能的組合有2，2，3和3，3，1.當向下一面的數(shù)字分別為2，2，3時，可能有CC6(種)情況；當向下一面的數(shù)字分別為3，3，1時，可能有CCC12(種)情況.所以向下一面的數(shù)字之和為7的情況有61218(種).16.用6種不同的顏色給三棱柱ABCDEF六個頂點涂色，要求每個點涂一種顏色，且每條棱的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法有_種.(用數(shù)字作答)答案8520解析分兩步來進行，先涂A，B，C，再涂D，E，F(xiàn).第一類：若6種顏色都用上，此時方法共有A720種；第二類：若6種顏色只用5種，首先選出5種顏色，方法有C種；先涂A，B，C，方法有A種，再涂D，E，F(xiàn)中的兩個點，方法有A種，最后剩余的一個點只有2種涂法，故此時方法共有CAA24320種；第三類：若6種顏色只用4種，首先選出4種顏色，方法有C種；先涂A，B，C，方法有A種，再涂D，E，F(xiàn)中的一個點，方法有3種，最后剩余的兩個點只有3種涂法，故此時方法共有CA333240種；第四類：若6種顏色只用3種，首先選出3種顏色，方法有C種；先涂A，B，C，方法有A種，再涂D，E，F(xiàn)，方法有2種，故此時方法共有CA2240種.綜上可得，不同涂色方案共有720432032402408520種.