廣西2020版高考數(shù)學一輪復習 高考大題專項練五 高考中的解析幾何 文.docx

高考大題專項練五高考中的解析幾何1.設A,B為曲線C:y=x24上兩點,A與B的橫坐標之和為4.(1)求直線AB的斜率;(2)設M為曲線C上一點,C在M處的切線與直線AB平行,且AMBM,求直線AB的方程.解(1)設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,y1=x124,y2=x224,x1+x2=4,于是直線AB的斜率k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1.(2)由y=x24,得y=x2.設M(x3,y3),由題設知x32=1,解得x3=2,于是M(2,1).設直線AB的方程為y=x+m,故線段AB的中點為N(2,2+m),|MN|=|m+1|.將y=x+m代入y=x24得x2-4x-4m=0.當=16(m+1)>0,即m>-1時,x1,2=22m+1.從而|AB|=2|x1-x2|=42(m+1).由題設知|AB|=2|MN|,即42(m+1)=2(m+1),解得m=7.所以直線AB的方程為y=x+7.2.已知三點O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲線C上任意一點M(x,y)滿足|MA+MB|=OM(OA+OB)+2.(1)求曲線C的方程;(2)點Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲線C上動點,曲線C在點Q處的切線為l,點P的坐標是(0,-1),l與PA,PB分別交于點D,E,求QAB與PDE的面積之比.解(1)MA=(-2-x,1-y),MB=(2-x,1-y),OM=(x,y),OA+OB=(0,2),|MA+MB|=OM(OA+OB)+2,4x2+4(1-y)2=2y+2,x2=4y.曲線C的方程為x2=4y.(2)設Qx0,x024,則SQAB=21-x024,y=x24,y=12x,kl=12x0,切線l的方程為y-x024=12x0(x-x0)與y軸交點M0,-x024,|PM|=1-x024.直線PA的方程為y=-x-1,直線PB的方程為y=x-1,由y=-x-1,y=12x0x-x024,得xD=x0-22,由y=x-1,y=12x0x-x024,得xE=x0+22,SPDE=12|xD-xE|PM|=1-x024,QAB與PDE的面積之比為2.3.(2018全國,文20)設拋物線C:y2=2x,點A(2,0),B(-2,0),過點A的直線l與C交于M,N兩點.(1)當l與x軸垂直時,求直線BM的方程;(2)證明:ABM=ABN.(1)解當l與x軸垂直時,l的方程為x=2,可得M的坐標為(2,2)或(2,-2).所以直線BM的方程為y=12x+1或y=-12x-1.(2)證明當l與x軸垂直時,AB為MN的垂直平分線,所以ABM=ABN.當l與x軸不垂直時,設l的方程為y=k(x-2)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),則x1>0,x2>0.由y=k(x-2),y2=2x得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=2k,y1y2=-4.直線BM,BN的斜率之和為kBM+kBN=y1x1+2+y2x2+2=x2y1+x1y2+2(y1+y2)(x1+2)(x2+2).將x1=y1k+2,x2=y2k+2及y1+y2,y1y2的表達式代入式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=2y1y2+4k(y1+y2)k=-8+8k=0.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的傾斜角互補,所以ABM=ABN.綜上,ABM=ABN.4.已知中心在原點O,左焦點為F1(-1,0)的橢圓C的左頂點為A,上頂點為B,F1到直線AB的距離為77|OB|.(1)求橢圓C的方程;(2)若橢圓C1的方程為x2m2+y2n2=1(m>n>0),橢圓C2的方程為x2m2+y2n2=(>0,且1),則稱橢圓C2是橢圓C1的倍相似橢圓.如圖,已知C2是橢圓C的3倍相似橢圓,若橢圓C的任意一條切線l交橢圓C2于兩點M,N,試求弦長|MN|的取值范圍.解(1)設橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),直線AB的方程為x-a+yb=1.F1(-1,0)到直線AB的距離d=|b-ab|a2+b2=77b,a2+b2=7(a-1)2.又b2=a2-1,解得a=2,b=3,故橢圓C的方程為x24+y23=1.(2)橢圓C的3倍相似橢圓C2的方程為x212+y29=1,若切線l垂直于x軸,則其方程為x=2,易求得|MN|=26.若切線l不垂直于x軸,可設其方程為y=kx+b,將y=kx+b代入橢圓C的方程,得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0,=(8kb)2-4(3+4k2)(4b2-12)=48(4k2+3-b2)=0,即b2=4k2+3,(*)設M,N兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),將y=kx+b代入橢圓C2的方程,得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-36=0,此時x1+x2=-8kb3+4k2,x1x2=4b2-363+4k2,|x1-x2|=43(12k2+9-b2)3+4k2,|MN|=1+k243(12k2+9-b2)3+4k2=461+k23+4k2=261+13+4k2.3+4k23,1<1+13+4k243,即26<261+13+4k242.綜合,得弦長|MN|的取值范圍為26,42.5.(2018全國 ,文20)已知斜率為k的直線l與橢圓C:x24+y23=1交于A,B兩點,線段AB的中點為M(1,m)(m>0).(1)證明:k<-12;(2)設F為C的右焦點,P為C上一點,且FP+FA+FB=0.證明:2|FP|=|FA|+|FB|.證明(1)設A(x1,y1),B(x2,y2),則x124+y123=1,x224+y223=1.兩式相減,并由y1-y2x1-x2=k得x1+x24+y1+y23k=0.由題設知x1+x22=1,y1+y22=m,于是k=-34m.由題設得0<m<32,故k<-12.(2)由題意得F(1,0).設P(x3,y3),則(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及題設得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又點P在C上,所以m=34,從而P1,-32,|FP|=32.于是|FA|=(x1-1)2+y12=(x1-1)2+31-x124=2-x12.同理|FB|=2-x22.所以|FA|+|FB|=4-12(x1+x2)=3.故2|FP|=|FA|+|FB|.6.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12,以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+6=0相切,過點P(4,0)且不垂直于x軸的直線l與橢圓C相交于A,B兩點.(1)求橢圓C的方程;(2)求OAOB的取值范圍;(3)若B點關于x軸的對稱點是E,證明:直線AE與x軸相交于定點.(1)解由題意知,ca=12,62=b,即b=3.又a2=b2+c2,所以a=2,b=3.故橢圓C的方程為x24+y23=1.(2)解由題意知直線l的斜率存在,設直線l的方程為y=k(x-4),由y=k(x-4),x24+y23=1,可得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則=322k4-4(3+4k2)(64k2-12)>0,所以0k2<14.則x1+x2=32k23+4k2,x1x2=64k2-123+4k2.所以OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-4)(x2-4)=(1+k2)x1x2-4k2(x1+x2)+16k2=(1+k2)64k2-123+4k2-4k232k23+4k2+16k2=25-874k2+3.因為0k2<14,所以-873-874k2+3<-874,則-425-874k2+3<134,即OAOB-4,134.(3)證明因為B,E關于x軸對稱,所以可設E(x2,-y2),則直線AE的方程為y-y1=y1+y2x1-x2(x-x1).令y=0,可得x=x1-y1(x1-x2)y1+y2.因為y1=k(x1-4),y2=k(x2-4),所以x=2x1x2-4(x1+x2)x1+x2-8=264k2-123+4k2-432k23+4k232k23+4k2-8=1,所以直線AE與x軸交于定點(1,0).7.(2018天津,文19)設橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點為A,上頂點為B.已知橢圓的離心率為53,|AB|=13.(1)求橢圓的方程;(2)設直線l:y=kx(k<0)與橢圓交于P,Q兩點,l與直線AB交于點M,且點P,M均在第四象限.若BPM的面積是BPQ面積的2倍,求k的值.解(1)設橢圓的焦距為2c,由已知有c2a2=59.又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|=a2+b2=13,從而a=3,b=2.所以,橢圓的方程為x29+y24=1.(2)設點P的坐標為(x1,y1),點M的坐標為(x2,y2),由題意,x2>x1>0,點Q的坐標為(-x1,-y1).由BPM的面積是BPQ面積的2倍,可得|PM|=2|PQ|,從而x2-x1=2x1-(-x1),即x2=5x1.易知直線AB的方程為2x+3y=6,由方程組2x+3y=6,y=kx,消去y,可得x2=63k+2.由方程組x29+y24=1,y=kx,消去y,可得x1=69k2+4.由x2=5x1,可得9k2+4=5(3k+2),兩邊平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-89,或k=-12.當k=-89時,x2=-9<0,不合題意,舍去;當k=-12時,x2=12,x1=125,符合題意.所以,k的值為-12.8.如圖,已知橢圓x24+y23=1的左焦點為F,過點F的直線交橢圓于A,B兩點,線段AB的中點為G,AB的垂直平分線與x軸和y軸分別交于D,E兩點.(1)若點G的橫坐標為-14,求直線AB的斜率;(2)記GFD的面積為S1,OED(O為原點)的面積為S2.試問:是否存在直線AB,使得S1=S2?說明理由.解(1)依題意可知,直線AB的斜率存在,設其方程為y=k(x+1),將其代入x24+y23=1,整理得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=-8k24k2+3.故點G的橫坐標為x1+x22=-4k24k2+3=-14,解得k=12.(2)假設存在直線AB,使得S1=S2,顯然直線AB不能與x軸或y軸垂直.由(1)可得G-4k24k2+3,3k4k2+3.設點D坐標為(xD,0).因為DGAB,所以3k4k2+3-4k24k2+3-xDk=-1,解得xD=-k24k2+3,即D-k24k2+3,0.因為GFDOED,且S1=S2,所以|GD|=|OD|.所以-k24k2+3-4k24k2+32+-3k4k2+32=-k24k2+3,整理得8k2+9=0.因為此方程無解,所以不存在直線AB,使得S1=S2.