廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)規(guī)范練33 基本不等式及其應(yīng)用 文.docx

考點(diǎn)規(guī)范練33基本不等式及其應(yīng)用一、基礎(chǔ)鞏固1.下列不等式一定成立的是()A.lgx2+14>lg x(x>0)B.sin x+1sinx2(xk,kZ)C.x2+12|x|(xR)D.1x2+1>1(xR)答案C解析因?yàn)閤>0,所以x2+142x12=x,所以lgx2+14lgx(x>0),故選項(xiàng)A不正確;當(dāng)xk,kZ時(shí),sinx的正負(fù)不定,故選項(xiàng)B不正確;由基本不等式可知選項(xiàng)C正確;當(dāng)x=0時(shí),1x2+1=1,故選項(xiàng)D不正確.2.已知a>0,b>0,a,b的等比中項(xiàng)是1,且m=b+1a,n=a+1b,則m+n的最小值是()A.3B.4C.5D.6答案B解析由題意知ab=1,則m=b+1a=2b,n=a+1b=2a,故m+n=2(a+b)4ab=4(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí),等號(hào)成立).3.小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b(a<b),其全程的平均時(shí)速為v,則()A.a<v<abB.v=abC.ab<v<a+b2D.v=a+b2答案A解析設(shè)甲、乙兩地相距s,則小王往返兩地用時(shí)為sa+sb,從而v=2ssa+sb=2aba+b.0<a<b,ab<a+b2,2aba+b>2ab2b=a,2a+b<1ab,即2aba+b<ab,a<v<ab.4.已知圓x2+y2+4x-2y-1=0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線ax-2by+2=0(a>0,b>0)對(duì)稱,則1a+4b的最小值為()A.8B.9C.16D.18答案B解析由圓的對(duì)稱性可得,直線ax-2by+2=0必過圓心(-2,1),所以a+b=1.所以1a+4b=1a+4b(a+b)=5+ba+4ab5+4=9,當(dāng)且僅當(dāng)ba=4ab,即2a=b=23時(shí)等號(hào)成立,故選B.5.若正數(shù)x,y滿足4x2+9y2+3xy=30,則xy的最大值是()A.43B.53C.2D.54答案C解析由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy2(2x)(3y)+3xy(當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí)等號(hào)成立),則12xy+3xy30,即xy2,故xy的最大值為2.6.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+1y=1,且x+2y>m2+2m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(-,-2)4,+)B.(-,-42,+)C.(-2,4)D.(-4,2)答案D解析因?yàn)閤>0,y>0,2x+1y=1,所以x+2y=(x+2y)2x+1y=2+4yx+xy+28,當(dāng)且僅當(dāng)4yx=xy,即x=2y時(shí)等號(hào)成立.由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-4<m<2.7.設(shè)x,yR,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=23,則1x+1y的最大值為()A.2B.32C.1D.12答案C解析由ax=by=3,1x+1y=1loga3+1logb3=lga+lgblg3=lg(ab)lg3,又a>1,b>1,所以aba+b22=3,所以lg(ab)lg3,從而1x+1ylg3lg3=1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)等號(hào)成立.8.已知x>1,則logx9+log27x的最小值是.答案263解析x>1,logx9+log27x=2lg3lgx+lgx3lg3223=263,當(dāng)且僅當(dāng)x=36時(shí)等號(hào)成立.logx9+log27x的最小值為263.9.某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn),據(jù)市場(chǎng)分析,每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位:萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位:年)的關(guān)系為y=-x2+18x-25(xN*).則當(dāng)每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)年時(shí),年平均利潤最大,最大值是萬元.答案58解析每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為yx=18-x+25x,而x>0,所以yx18-225=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí),年平均利潤最大,最大值為8萬元.10.(2018天津,文13)已知a,bR,且a-3b+6=0,則2a+18b的最小值為.答案14解析a-3b+6=0,a-3b=-6.a,bR,2a>0,18b>0.2a+18b22a-3b=22-6=14,當(dāng)且僅當(dāng)2a=18b,即a=-3,b=1時(shí)取等號(hào).11.某種飲料分兩次提價(jià),提價(jià)方案有兩種,方案甲:第一次提價(jià)p%,第二次提價(jià)q%;方案乙:每次都提價(jià)p+q2%,若p>q>0,則提價(jià)多的方案是.答案乙解析設(shè)原價(jià)為a,則方案甲提價(jià)后為a(1+p%)(1+q%),方案乙提價(jià)后為a1+p+q2%2.由于(1+p%)(1+q%)<(1+p%)+(1+q%)22=1+p+q2%2,因此提價(jià)多的是方案乙.12.設(shè)a,b均為正實(shí)數(shù),求證:1a2+1b2+ab22.證明因?yàn)閍,b均為正實(shí)數(shù),所以1a2+1b221a21b2=2ab,當(dāng)且僅當(dāng)1a2=1b2,即a=b時(shí),等號(hào)成立,又因?yàn)?ab+ab22abab=22,當(dāng)且僅當(dāng)2ab=ab時(shí),等號(hào)成立,所以1a2+1b2+ab2ab+ab22,當(dāng)且僅當(dāng)1a2=1b2,2ab=ab,即a=b=42時(shí),等號(hào)成立.二、能力提升13.已知不等式2x2-axy+y20對(duì)任意x1,2及y1,3恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a22B.a22C.a113D.a92答案A解析因?yàn)?x2-axy+y20,且y0,所以2xy2-axy+10.令t=xy,則不等式變?yōu)?t2-at+10.由x1,2,y1,3,可知t13,2,即2t2-at+10在t13,2時(shí)恒成立.由2t2-at+10可得a2t2+1t,即a2t+1t.又2t+1t22t1t=22.當(dāng)且僅當(dāng)2t=1t,即t=22時(shí)等號(hào)成立,所以2t+1t取得最小值22,所以有a22,故選A.14.已知不等式|y+4|-|y|2x+a2x對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都成立,則實(shí)數(shù)a的最小值為()A.1B.2C.3D.4答案D解析令f(y)=|y+4|-|y|,則f(y)|y+4-y|=4,即f(y)max=4.不等式|y+4|-|y|2x+a2x對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都成立,2x+a2xf(y)max=4,a-(2x)2+42x=-(2x-2)2+4恒成立;令g(x)=-(2x)2+42x,則ag(x)max=4,實(shí)數(shù)a的最小值為4.15.已知x>0,a為大于2x的常數(shù).(1)求函數(shù)y=x(a-2x)的最大值;(2)求y=1a-2x-x的最小值.解(1)x>0,a>2x,y=x(a-2x)=122x(a-2x)122x+(a-2x)22=a28,當(dāng)且僅當(dāng)x=a4時(shí)取等號(hào),故函數(shù)y=x(a-2x)的最大值為a28.(2)y=1a-2x-x=1a-2x+a-2x2-a2212-a2=2-a2,當(dāng)且僅當(dāng)x=a-22時(shí)取等號(hào).故y=1a-2x-x的最小值為2-a2.16.某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)x千件,需另投入成本為C(x)(單元:萬元),當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí),C(x)=13x2+10x(單位:萬元).當(dāng)年產(chǎn)量不少于80千件時(shí),C(x)=51x+10000x-1 450(單位:萬元).每件商品售價(jià)為0.05萬元.通過市場(chǎng)分析,該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.(1)寫出年利潤L(x)(單位:萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位:千件)的函數(shù)解析式;(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?解(1)因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為0.05萬元,則x千件商品銷售額為0.051000x萬元,依題意得,當(dāng)0<x<80時(shí),L(x)=(0.051000x)-13x2-10x-250=-13x2+40x-250;當(dāng)x80時(shí),L(x)=(0.051000x)-51x-10000x+1450-250=1200-x+10000x,則L(x)=-13x2+40x-250,0<x<80,1200-x+10000x,x80.(2)當(dāng)0<x<80時(shí),L(x)=-13(x-60)2+950,此時(shí),當(dāng)x=60時(shí),L(x)取得最大值L(60)=950.當(dāng)x80時(shí),L(x)=1200-x+10000x1200-2x10000x=1200-200=1000,當(dāng)且僅當(dāng)x=10000x時(shí),即x=100時(shí),L(x)取得最大值1000.因?yàn)?50<1000,所以當(dāng)年產(chǎn)量為100千件時(shí),該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大.最大利潤為1000萬元.三、高考預(yù)測(cè)17.若a,b滿足ab=a+b+3,求ab的取值范圍.解ab=a+b+3,a+b=ab-3,(a+b)2=(ab-3)2.(a+b)24ab,(ab-3)24ab,即(ab)2-10ab+90,故ab1或ab9.因此ab的取值范圍是(-,19,+).