廣西2020版高考數(shù)學一輪復習 考點規(guī)范練33 基本不等式及其應用 文.docx
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考點規(guī)范練33基本不等式及其應用一、基礎鞏固1.下列不等式一定成立的是()A.lgx2+14lg x(x0)B.sin x+1sinx2(xk,kZ)C.x2+12|x|(xR)D.1x2+11(xR)答案C解析因為x0,所以x2+142x12=x,所以lgx2+14lgx(x0),故選項A不正確;當xk,kZ時,sinx的正負不定,故選項B不正確;由基本不等式可知選項C正確;當x=0時,1x2+1=1,故選項D不正確.2.已知a0,b0,a,b的等比中項是1,且m=b+1a,n=a+1b,則m+n的最小值是()A.3B.4C.5D.6答案B解析由題意知ab=1,則m=b+1a=2b,n=a+1b=2a,故m+n=2(a+b)4ab=4(當且僅當a=b=1時,等號成立).3.小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(ab),其全程的平均時速為v,則()A.avabB.v=abC.abva+b2D.v=a+b2答案A解析設甲、乙兩地相距s,則小王往返兩地用時為sa+sb,從而v=2ssa+sb=2aba+b.0ab,ab2ab2b=a,2a+b1ab,即2aba+bab,av0,b0)對稱,則1a+4b的最小值為()A.8B.9C.16D.18答案B解析由圓的對稱性可得,直線ax-2by+2=0必過圓心(-2,1),所以a+b=1.所以1a+4b=1a+4b(a+b)=5+ba+4ab5+4=9,當且僅當ba=4ab,即2a=b=23時等號成立,故選B.5.若正數(shù)x,y滿足4x2+9y2+3xy=30,則xy的最大值是()A.43B.53C.2D.54答案C解析由x0,y0,得4x2+9y2+3xy2(2x)(3y)+3xy(當且僅當2x=3y時等號成立),則12xy+3xy30,即xy2,故xy的最大值為2.6.若兩個正實數(shù)x,y滿足2x+1y=1,且x+2ym2+2m恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是()A.(-,-2)4,+)B.(-,-42,+)C.(-2,4)D.(-4,2)答案D解析因為x0,y0,2x+1y=1,所以x+2y=(x+2y)2x+1y=2+4yx+xy+28,當且僅當4yx=xy,即x=2y時等號成立.由x+2ym2+2m恒成立,可知m2+2m8,即m2+2m-80,解得-4m1,b1,若ax=by=3,a+b=23,則1x+1y的最大值為()A.2B.32C.1D.12答案C解析由ax=by=3,1x+1y=1loga3+1logb3=lga+lgblg3=lg(ab)lg3,又a1,b1,所以aba+b22=3,所以lg(ab)lg3,從而1x+1ylg3lg3=1,當且僅當a=b=3時等號成立.8.已知x1,則logx9+log27x的最小值是.答案263解析x1,logx9+log27x=2lg3lgx+lgx3lg3223=263,當且僅當x=36時等號成立.logx9+log27x的最小值為263.9.某公司購買一批機器投入生產(chǎn),據(jù)市場分析,每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位:萬元)與機器運轉時間x(單位:年)的關系為y=-x2+18x-25(xN*).則當每臺機器運轉年時,年平均利潤最大,最大值是萬元.答案58解析每臺機器運轉x年的年平均利潤為yx=18-x+25x,而x0,所以yx18-225=8,當且僅當x=5時,年平均利潤最大,最大值為8萬元.10.(2018天津,文13)已知a,bR,且a-3b+6=0,則2a+18b的最小值為.答案14解析a-3b+6=0,a-3b=-6.a,bR,2a0,18b0.2a+18b22a-3b=22-6=14,當且僅當2a=18b,即a=-3,b=1時取等號.11.某種飲料分兩次提價,提價方案有兩種,方案甲:第一次提價p%,第二次提價q%;方案乙:每次都提價p+q2%,若pq0,則提價多的方案是.答案乙解析設原價為a,則方案甲提價后為a(1+p%)(1+q%),方案乙提價后為a1+p+q2%2.由于(1+p%)(1+q%)0,a為大于2x的常數(shù).(1)求函數(shù)y=x(a-2x)的最大值;(2)求y=1a-2x-x的最小值.解(1)x0,a2x,y=x(a-2x)=122x(a-2x)122x+(a-2x)22=a28,當且僅當x=a4時取等號,故函數(shù)y=x(a-2x)的最大值為a28.(2)y=1a-2x-x=1a-2x+a-2x2-a2212-a2=2-a2,當且僅當x=a-22時取等號.故y=1a-2x-x的最小值為2-a2.16.某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)x千件,需另投入成本為C(x)(單元:萬元),當年產(chǎn)量不足80千件時,C(x)=13x2+10x(單位:萬元).當年產(chǎn)量不少于80千件時,C(x)=51x+10000x-1 450(單位:萬元).每件商品售價為0.05萬元.通過市場分析,該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.(1)寫出年利潤L(x)(單位:萬元)關于年產(chǎn)量x(單位:千件)的函數(shù)解析式;(2)當年產(chǎn)量為多少千件時,該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?解(1)因為每件商品售價為0.05萬元,則x千件商品銷售額為0.051000x萬元,依題意得,當0x80時,L(x)=(0.051000x)-13x2-10x-250=-13x2+40x-250;當x80時,L(x)=(0.051000x)-51x-10000x+1450-250=1200-x+10000x,則L(x)=-13x2+40x-250,0x80,1200-x+10000x,x80.(2)當0x80時,L(x)=-13(x-60)2+950,此時,當x=60時,L(x)取得最大值L(60)=950.當x80時,L(x)=1200-x+10000x1200-2x10000x=1200-200=1000,當且僅當x=10000x時,即x=100時,L(x)取得最大值1000.因為9501000,所以當年產(chǎn)量為100千件時,該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大.最大利潤為1000萬元.三、高考預測17.若a,b滿足ab=a+b+3,求ab的取值范圍.解ab=a+b+3,a+b=ab-3,(a+b)2=(ab-3)2.(a+b)24ab,(ab-3)24ab,即(ab)2-10ab+90,故ab1或ab9.因此ab的取值范圍是(-,19,+).- 配套講稿:
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