（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.5 橢圓（第1課時(shí)）講義（含解析）.docx

9.5橢圓最新考綱考情考向分析1.掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡單幾何性質(zhì).2.會(huì)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的問題.橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)通常以小題形式考查，直線與橢圓的位置關(guān)系主要出現(xiàn)在解答題中.題型主要以選擇、填空題為主，一般為中檔題，橢圓方程的求解經(jīng)常出現(xiàn)在解答題的第一問.1.橢圓的概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：(1)若a>c，則集合P為橢圓；(2)若ac，則集合P為線段；(3)若a<c，則集合P為空集.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍axabybbxbaya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|2c離心率e(0，1)a，b，c的關(guān)系a2b2c2概念方法微思考1.在橢圓的定義中，若2a|F1F2|或2a<|F1F2|，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡如何？提示當(dāng)2a|F1F2|時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2；當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是不存在的.2.橢圓的離心率的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關(guān)系？提示由e知，當(dāng)a不變時(shí)，e越大，b越小，橢圓越扁；e越小，b越大，橢圓越圓.3.點(diǎn)和橢圓的位置關(guān)系有幾種？如何判斷.提示點(diǎn)P(x0，y0)和橢圓的位置關(guān)系有3種(1)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓內(nèi)<1.(2)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上1.(3)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓外>1.4.直線與橢圓的位置關(guān)系有幾種？如何判斷？提示直線與橢圓的位置關(guān)系有三種：相離、相切、相交.判斷方法為聯(lián)立直線與橢圓的方程，求聯(lián)立后所得方程的判別式.(1)直線與橢圓相離<0.(2)直線與橢圓相切0.(3)直線與橢圓相交>0.題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成PF1F2的周長為2a2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距).()(2)方程mx2ny21(m>0，n>0，mn)表示的曲線是橢圓.()(3)1(ab)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.()(4)1(a>b>0)與1(a>b>0)的焦距相等.()題組二教材改編2.P49T4橢圓1的焦距為4，則m等于()A.4B.8C.4或8D.12答案C解析當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，10m>m2>0，10m(m2)4，m4.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，m2>10m>0，m2(10m)4，m8.m4或8.3.P80T3(1)過點(diǎn)A(3，2)且與橢圓1有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程為()A.1B.1C.1D.1答案A解析由題意知c25，可設(shè)橢圓方程為1(>0)，則1，解得10或2(舍去)，所求橢圓的方程為1.4.P49T6已知點(diǎn)P是橢圓1上y軸右側(cè)的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_.答案或解析設(shè)P(x，y)，由題意知c2a2b2541，所以c1，則F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0).由題意可得點(diǎn)P到x軸的距離為1，所以y1，把y1代入1，得x，又x>0，所以x，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為或.題組三易錯(cuò)自糾5.(2018浙江余姚中學(xué)質(zhì)檢)已知方程1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則m的取值范圍是()A.m>2或m<1B.m>2C.1<m<2D.m>2或2<m<1答案D解析橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，m2>2m>0，解得m>2或2<m<1.6.橢圓1的離心率為，則k的值為()A.21B.21C.或21D.或21答案C解析若a29，b24k，則c，由，即，得k；若a24k，b29，則c，由，即，解得k21.7.已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若AF1B的周長為4，則C的方程為()A.1B.y21C.1D.1答案A解析AF1B的周長為4，4a4，a，離心率為，c1，b，橢圓C的方程為1.故選A.第1課時(shí)橢圓及其性質(zhì)題型一橢圓的定義及應(yīng)用1.如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是()A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓答案A解析由條件知|PM|PF|，|PO|PF|PO|PM|OM|R>|OF|.P點(diǎn)的軌跡是以O(shè)，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓.2.已知ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓y21上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則ABC的周長是()A.2B.6C.4D.12答案C解析由橢圓的方程得a.設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F，則由橢圓的定義得|BA|BF|CA|CF|2a，所以ABC的周長為|BA|BC|CA|BA|BF|CF|CA|(|BA|BF|)(|CF|CA|)2a2a4a4.3.橢圓y21的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為P，則|PF2|等于()A.B.C.D.4答案A解析F1(，0)，PF1x軸，P，|PF1|，|PF2|4.4.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6，4)，則|PM|PF1|的最小值為_.答案5解析由橢圓的方程可知F2(3，0)，由橢圓的定義可得|PF1|2a|PF2|.|PM|PF1|PM|(2a|PF2|)|PM|PF2|2a|MF2|2a，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)取得等號(hào)，又|MF2|5，2a10，|PM|PF1|5105，即|PM|PF1|的最小值為5.思維升華橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求焦點(diǎn)三角形的周長、面積及弦長、最值和離心率等.(2)通常定義和余弦定理結(jié)合使用，求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長和面積問題.題型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程命題點(diǎn)1定義法例1(1)(2019麗水調(diào)研)已知兩圓C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，動(dòng)圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1內(nèi)切，和圓C2外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()A.1B.1C.1D.1答案D解析設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|MC2|(13r)(3r)16>8|C1C2|，所以M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a16，2c8，即a8，c4，b4，故所求的軌跡方程為1.(2)在ABC中，A(4，0)，B(4，0)，ABC的周長是18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是()A.1(y0) B.1(y0)C.1(y0) D.1(y0)答案A解析由|AC|BC|18810>8知，頂點(diǎn)C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓(A，B，C不共線).設(shè)其方程為1(a>b>0)，則a5，c4，從而b3.由A，B，C不共線知y0.故頂點(diǎn)C的軌跡方程是1(y0).命題點(diǎn)2待定系數(shù)法例2(1)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)，(，)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.答案1解析設(shè)橢圓的方程為mx2ny21(m，n>0，mn).由解得m，n.橢圓方程為1.(2)一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.答案1解析橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，可設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)，P(2，)是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，又a2b2c2，a2，b，c，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.思維升華 (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程多采用定義法和待定系數(shù)法.(2)利用定義法求橢圓方程，要注意條件2a>|F1F2|；利用待定系數(shù)法要先定形(焦點(diǎn)位置)，再定量，也可把橢圓方程設(shè)為mx2ny21(m>0，n>0，mn)的形式.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為，且橢圓G上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓G的方程為()A.1B.1C.1D.1答案A解析依題意設(shè)橢圓G的方程為1(a>b>0)，橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為12，2a12，a6，橢圓的離心率為，e，即，解得b29，橢圓G的方程為1，故選A.(2)過點(diǎn)(，)，且與橢圓1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.答案1解析所求橢圓與橢圓1的焦點(diǎn)相同，其焦點(diǎn)在y軸上，且c225916.設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0).c216，且c2a2b2，故a2b216.又點(diǎn)(，)在所求橢圓上，1，即1.由得b24，a220，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.題型三橢圓的幾何性質(zhì)命題點(diǎn)1求離心率的值(或范圍)例3(1)設(shè)橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2F1F2，PF1F230，則C的離心率為()A.B.C.D.答案D解析方法一如圖，在RtPF2F1中，PF1F230，|F1F2|2c，|PF1|，|PF2|2ctan30.|PF1|PF2|2a，即2a，可得ca.e.方法二(特殊值法)：在RtPF2F1中，令|PF2|1，PF1F230，|PF1|2，|F1F2|.e.(2)橢圓1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，|OP|a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為()A.B.C.D.答案D解析設(shè)P(x，y)，則|OP|2x2y2，由橢圓定義得|PF1|PF2|2a，|PF1|22|PF1|PF2|PF2|24a2，又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數(shù)列，|PF1|PF2|F1F2|24c2，則|PF1|2|PF2|28c24a2，(xc)2y2(xc)2y28c24a2，整理得x2y25c22a2，即5c22a2，整理得，橢圓的離心率e.(3)(2018杭州調(diào)研)已知橢圓1(a>b>c>0，a2b2c2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若以F2為圓心，bc為半徑作圓F2，過橢圓上一點(diǎn)P作此圓的切線，切點(diǎn)為T，且|PT|的最小值不小于(ac)，則橢圓的離心率e的取值范圍是_.答案解析因?yàn)閨PT|(b>c)，而|PF2|的最小值為ac，所以|PT|的最小值為.依題意，有(ac)，所以(ac)24(bc)2，所以ac2(bc)，所以ac2b，所以(ac)24(a2c2)，所以5c22ac3a20，所以5e22e30.又b>c，所以b2>c2，所以a2c2>c2，所以2e2<1.聯(lián)立，得e<.命題點(diǎn)2求參數(shù)的值(或范圍)例4(2017全國)設(shè)A，B是橢圓C：1長軸的兩個(gè)端點(diǎn).若C上存在點(diǎn)M滿足AMB120，則m的取值范圍是()A.(0，19，) B.(0，9，)C.(0，14，) D.(0，4，)答案A解析方法一設(shè)橢圓焦點(diǎn)在x軸上，則0<m<3，點(diǎn)M(x，y).過點(diǎn)M作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)N，則N(x，0).故tanAMBtan(AMNBMN).又tanAMBtan120，且由1，可得x23，則.解得|y|.又0<|y|，即0<，結(jié)合0<m<3解得0<m1.對(duì)于焦點(diǎn)在y軸上的情況，同理亦可得m9.則m的取值范圍是(0，19，).故選A.方法二當(dāng)0<m<3時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，要使C上存在點(diǎn)M滿足AMB120，則tan60，即，解得0<m1.當(dāng)m>3時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上，要使C上存在點(diǎn)M滿足AMB120，則tan60，即，解得m9.故m的取值范圍為(0，19，).故選A.思維升華 (1)求橢圓離心率或其范圍的方法解題的關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為e的關(guān)系式，常用方法如下：直接求出a，c，利用離心率公式e求解.由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式e求解.由橢圓的定義求離心率，e，而2a是橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和，2c是焦距，從而與焦點(diǎn)三角形聯(lián)系起來.構(gòu)造a，c的齊次式.離心率e的求解中可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e，一般步驟如下：()建立方程：根據(jù)已知條件得到齊次方程Aa2BacCc20；()化簡：兩邊同時(shí)除以a2，化簡齊次方程，得到關(guān)于e的一元二次方程ABeCe20；()求解：解一元二次方程，得e的值；()驗(yàn)算取舍：根據(jù)橢圓離心率的取值范圍e(0，1)確定離心率e的值.若得到齊次不等式，可以類似求出離心率e的取值范圍.(2)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用技巧與橢圓的幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，即使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形.橢圓相關(guān)量的范圍或最值問題常常涉及一些不等式.例如，axa，byb，0<e<1，三角形兩邊之和大于第三邊，在求橢圓相關(guān)量的范圍或最值時(shí)，要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知橢圓1(0<b<2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|BF2|AF2|的最大值為5，則b的值是_.答案解析由橢圓的方程可知a2，由橢圓的定義可知，|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3，由橢圓的性質(zhì)可知3.所以b23，即b.(2)(2018溫州高考適應(yīng)性測(cè)試)橢圓1(a>b>0)中，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線yx交橢圓于第一象限內(nèi)的點(diǎn)C，若SBFOSBFC，則橢圓的離心率等于()A.B.C.D.1答案A解析聯(lián)立直線yx與橢圓1，得在第一象限的交點(diǎn)為C，又因?yàn)镾BFOSBFC，所以直線BF與直線yx的交點(diǎn)為線段OC的中點(diǎn)，即線段OC的中點(diǎn)在直線BF：1上，則1，化簡得橢圓的離心率e，故選A.(3)(2018溫州高考適應(yīng)性測(cè)試)正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓1上，若橢圓的焦點(diǎn)在正方形的內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是()A.B.C.D.答案B解析由橢圓的對(duì)稱性可知，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為直線yx與橢圓的交點(diǎn)，即，因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在正方形的內(nèi)部，所以c<，化簡得a43a2c2c4>0，所以e43e21>0，又0<e<1，解得e2<，即0<e<.1.(2018浙江省金華東陽中學(xué)期中)如果方程1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a>3B.a<2C.a>3或a<2D.a>3或6<a<2答案D解析橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，a2>a6>0，解得a>3或6<a<2.2.(2018紹興質(zhì)檢)已知橢圓：1(m>2)上的動(dòng)弦EF過的一個(gè)焦點(diǎn)(動(dòng)弦不在x軸上)，若的另一個(gè)焦點(diǎn)與動(dòng)弦EF所構(gòu)成的三角形的周長為20，則橢圓的離心率為()A.B.C.D.答案C解析由橢圓的定義，得4a20，解得a5.又c2a2b2m6(m2)4，所以c2，所以橢圓的離心率e，故選C.3.(2018浙江省高考模擬試卷)已知橢圓的方程為1，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，若橢圓的焦點(diǎn)在矩形的內(nèi)部，則矩形的長與寬的比值的取值范圍為()A.(1，2) B.(1，3)C.(，) D.(1，)答案C解析根據(jù)橢圓與矩形的對(duì)稱性知，矩形的相鄰兩邊分別平行于x軸，y軸，且橢圓與矩形都以原點(diǎn)O為對(duì)稱中心，如圖是矩形的邊過焦點(diǎn)時(shí)的情形，由橢圓方程1，知當(dāng)x2時(shí)，y，故A，此時(shí)，矩形的長與寬的比值為，由于焦點(diǎn)在矩形的內(nèi)部，所以矩形的長與寬的比值大于，故選C.4.設(shè)橢圓1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，且滿足9，則|PF1|PF2|的值為()A.8B.10C.12D.15答案D解析由橢圓方程1，可得c24，所以|F1F2|2c4，而，所以|，兩邊同時(shí)平方，得|2|22|2，所以|2|2|22161834，根據(jù)橢圓定義，得|PF1|PF2|2a8，(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|64，所以342|PF1|PF2|64，所以|PF1|PF2|15.故選D.5.2016年1月14日，國防科工局宣布，嫦娥四號(hào)任務(wù)已經(jīng)通過了探月工程重大專項(xiàng)領(lǐng)導(dǎo)小組審議通過，正式開始實(shí)施.如圖所示，假設(shè)“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行.若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道和的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道和的長軸長，給出下列式子：a1c1a2c2；a1c1a2c2；<；c1a2>a1c2.其中正確式子的序號(hào)是()A.B.C.D.答案D解析觀察圖形可知a1c1>a2c2，即式不正確；a1c1a2c2|PF|，即式正確；由a1c1a2c2>0，c1>c2>0知，<，即<，從而c1a2>a1c2，>，即式正確，式不正確.故選D.6.(2018浙江省金華十校期末)橢圓M：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓M上任一點(diǎn)，且|PF1|PF2|的最大值的取值范圍是2b2，3b2，橢圓M的離心率為e，e的最小值是()A.B.C.D.答案A解析由橢圓的定義可知|PF1|PF2|2a，|PF1|PF2|2a2，2b2a23b2，即2a22c2a23a23c2，即e.令f(e)e，則f(e)在上是增函數(shù)，當(dāng)e時(shí)，e取得最小值.7.(2018浙江七彩陽光聯(lián)盟聯(lián)考)已知橢圓的方程為1，過橢圓中心的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)2是橢圓的右焦點(diǎn)，則ABF2的周長的最小值為_，ABF2的面積的最大值為_.答案102解析設(shè)F1是橢圓的左焦點(diǎn).如圖，連接AF1.由橢圓的對(duì)稱性，結(jié)合橢圓的定義知|AF2|BF2|2a6，所以要使ABF2的周長最小，必有|AB|2b4，所以ABF2的周長的最小值為10.2c|yA|yA|2，所以ABF2面積的最大值為2.8.設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過F1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若F2AB是面積為4的等邊三角形，則橢圓C的方程為_.答案1解析F2AB是面積為4的等邊三角形，ABx軸，A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c，代入橢圓方程，可求得|F1A|F1B|.又|F1F2|2c，F(xiàn)1F2A30，2c.又2c4，a2b2c2，由解得a29，b26，c23，橢圓C的方程為1.9.已知橢圓C1：1(a>b>0)與橢圓C2：1(a>b>0)相交于A，B，C，D四點(diǎn)，若橢圓C1的一個(gè)焦點(diǎn)為F(，0)，且四邊形ABCD的面積為，則橢圓C1的離心率e為_.答案解析聯(lián)立兩式相減得，又ab，所以x2y2，故四邊形ABCD為正方形，(*)又由題意知a2b22，將其代入(*)式整理得3b42b280，所以b22，則a24，所以橢圓C的離心率e.10.已知A，B，F(xiàn)分別是橢圓x21(0<b<1)的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)，設(shè)ABF的外接圓的圓心坐標(biāo)為(p，q).若pq>0，則橢圓的離心率的取值范圍為_.答案解析如圖所示，線段FA的垂直平分線為x，線段AB的中點(diǎn)為.因?yàn)閗ABb，所以線段AB的垂直平分線的斜率k，所以線段AB的垂直平分線方程為y.把xp代入上述方程可得yq.因?yàn)閜q>0，所以>0，化為b>.又0<b<1，解得<b2<1，即1<b2<，所以0<1b2<，所以ec.11.已知點(diǎn)P是圓F1：(x1)2y216上任意一點(diǎn)(F1是圓心)，點(diǎn)F2與點(diǎn)F1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.線段PF2的垂直平分線m分別與PF1，PF2交于M，N兩點(diǎn).求點(diǎn)M的軌跡C的方程.解由題意得F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，圓F1的半徑為4，且|MF2|MP|，從而|MF1|MF2|MF1|MP|PF1|4>|F1F2|，所以點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，其中長軸長為4，焦距為2，則短半軸長為，所以點(diǎn)M的軌跡方程為1.12.已知橢圓x2(m3)y2m(m>0)的離心率e，求m的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo).解橢圓方程可化為1，m>0.m>0，m>，a2m，b2，c.由e，得，m1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21，a1，b，c.橢圓的長軸長和短軸長分別為2a2和2b1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1，F(xiàn)2，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A1(1，0)，A2(1，0)，B1，B2.13.(2018浙江省臺(tái)州適應(yīng)性考試)已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，F(xiàn)(5，0)為橢圓C的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且滿足|OP|OF|，|PF|6，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1B.1C.1D.1答案A解析如圖，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)，橢圓C的右焦點(diǎn)為M，連接PM，則|FM|2|OF|10，由|OP|OF|OM|知，F(xiàn)PPM，又|PF|6，所以|PM|8，所以2a|PF|PM|14，所以a7，又c5，所以b2a2c2492524，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.14.(2018浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)設(shè)橢圓C：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，橢圓C上的兩點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足0，|FB|FA|2|FB|，則橢圓C的離心率的取值范圍是()A.B.C.D.1，1)答案A解析如圖，作出橢圓的左焦點(diǎn)F，分別連接AB，AF，BF，由橢圓的對(duì)稱性可知，四邊形AFBF為平行四邊形.由0，知FAFB，所以四邊形AFBF為矩形，所以|AB|FF|2c.設(shè)|AF|m，|AF|n，則由橢圓的定義知mn2a，在RtAFF中，m2n24c2.由，得mn2(a2c2)，則.令t，得t.由|FB|FA|2|FB|，得t1，2，所以t，即2，解得e，故選A.15.(2018嘉興測(cè)試)橢圓1(a>b>0)，直線l1：yx，直線l2：yx，P為橢圓上任意一點(diǎn)，過P作PMl1且與l2交于點(diǎn)M，作PNl2且與l1交于點(diǎn)N，若|PM|2|PN|2為定值，則橢圓的離心率為_.答案解析設(shè)P(x0，y0)，則直線PM的方程為yxy0，直線PN的方程為yxy0，分別與直線l2，l1的方程聯(lián)立可得M，N，從而|PM|2|PN|2xy.又點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上，所以b2xa2ya2b2.又|PM|2|PN|2為定值，所以，從而e2，從而e.16.已知橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，若橢圓上存在點(diǎn)P使，求該橢圓的離心率的取值范圍.解由，得.又由正弦定理得，所以，即|PF1|PF2|.又由橢圓定義得|PF1|PF2|2a，所以|PF2|，|PF1|，因?yàn)镻F2是PF1F2的一邊，所以有2c<<2c，即c22aca2>0，所以e22e1>0(0<e<1)，解得橢圓離心率的取值范圍為(1，1).