（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列 課時(shí)分層作業(yè) 三十 5.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 文.doc

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課時(shí)分層作業(yè) 三十 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=2(n+1)+3,則此數(shù)列 (　　) A.是公差為2的等差數(shù)列 B.是公差為3的等差數(shù)列 C.是公差為5的等差數(shù)列 D.不是等差數(shù)列 【解析】選A.由題意可得,an=2n+5=7+2(n-1),即此數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列. 2.設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,若a6=2且S5=30,則S8等于(　　) A.31 B.32 C.33 D.34 【解析】選B.由已知可得解得所以S8=8a1+ d=32. 【變式備選】若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且S4=S18,則S22等于 (　　) A.0 B.12 C.-1 D.-12 【解析】選A.設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由S4=S18得 4a1+d=18a1+d,a1=-d, 所以S22=22a1+d=22+22d=0. 3.(2018錦州模擬)已知{an}為等差數(shù)列,若a1+a5+a9=4π,則cos a5的值為 (　　) A.- B.- C. D. 【解析】選A.因?yàn)閧an}為等差數(shù)列,a1+a5+a9=4π,所以3a5=4π,解得a5=.所以cos a5=cos =-. 4.(2018武漢模擬)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的一部數(shù)學(xué)專(zhuān)著,書(shū)中有如下問(wèn)題:今有女子善織,日增等尺,七日織二十八尺,第二日、第五日、第八日所織之和為十五尺,則第九日所織尺數(shù)為 (　　) A.8 B.9 C.10 D.11 【解析】選B.該數(shù)列為等差數(shù)列,且S7=28,a2+a5+a8=15,即7a1+21d=28,3a1+12d=15,解得a1=1,d=1,a9=a1+8d=9. 5.(2016全國(guó)卷Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27,a10=8,則a100=(　　) A.100 B.99 C.98 D.97 【解析】選C.由題意可知, 解得a1=-1,d=1, 所以a100=-1+991=98. 【一題多解】選C.由等差數(shù)列性質(zhì)可知: S9===9a5=27,故a5=3, 而a10=8,因此公差d==1, 所以a100=a10+90d=98. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.設(shè)等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,若對(duì)任意正整數(shù)n都有=,則+的值為_(kāi)_______. 【解析】因?yàn)閧an},{bn}為等差數(shù)列, 所以+=+==, 因?yàn)?===. 所以=. 答案: 7.(2018銀川模擬)在等差數(shù)列{an}中,已知a3=7,a6=16,依次將等差數(shù)列的各項(xiàng)排成如圖所示的三角形數(shù)陣,則此數(shù)陣中,第10行從左到右的第5個(gè)數(shù)是________. 【解析】由題知公差d===3,所以an=7+(n-3)d=3n-2,第10行從左到右的第5個(gè)數(shù)是原等差數(shù)列中第1+2+…+9+5=50項(xiàng),即為a50=350-2=148. 答案:148 8.(2018鄭州模擬)在等差數(shù)列{an}中,a1=-2 018,其前n項(xiàng)的和為Sn,若- =2,則S2 018=________. 【解析】因?yàn)?a1+(n-1)d,所以數(shù)列也成等差數(shù)列,由-=2得公差為1,因此 =+(2 018-1)1=-1, 則S2 018=-2 018. 答案:-2 018 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為a,4,3a,前n項(xiàng)和為Sn,且Sk=110. (1)求a及k的值. (2)已知數(shù)列{bn}滿足bn=,證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求其前n項(xiàng)和Tn. 【解析】(1)設(shè)該等差數(shù)列為{an},則a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,所以Sk=ka1+d=2k+2=k2+k. 由Sk=110,得k2+k-110=0, 解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10. (2)由(1)得Sn==n(n+1), 則bn==n+1, 故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1, 即數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列, 所以Tn==. 10.(2018太原模擬) 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1<0,S2 015=0. (1)求Sn的最小值及此時(shí)n的值. (2)求n的取值集合,使其滿足an≥Sn. 【解析】(1)設(shè)公差為d,則由S2 015=0?2 015a1+d=0?a1+1 007d=0, d=-a1,a1+an=a1, 所以Sn=(a1+an)=a1 =(2 015n-n2). 因?yàn)閍1<0,n∈N*, 所以當(dāng)n=1 007或1 008時(shí),Sn取最小值504a1. (2)an=a1, Sn≤an?(2 015n-n2)≤a1. 因?yàn)閍1<0,所以n2-2 017n+2 016≤0, 即(n-1)(n-2 016)≤0, 解得1≤n≤2 016. 故所求n的取值集合為{n|1≤n≤2 016,n∈N*}. 1.(5分)(2018銀川模擬)已知等差數(shù)列{an}中,a2,a2 016是方程x2-2x-2=0的兩根,則S2 017= (　　) A.-2 017 B.-1 008 C.1 008 D.2 017 【解析】選D.由題意得:a2+a2 016=2,S2 017=== 2 017. 2.(5分)《九章算術(shù)》之后,人們學(xué)會(huì)了用等差數(shù)列知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題,《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為:“今有女善織,日益功疾(注:從第2天開(kāi)始,每天比前一天多織相同量的布),第一天織5尺布,現(xiàn)在一月(按30天計(jì))共織390尺布”,則從第2天起每天比前一天多織______尺布. (　　) A.　　　　　　 B. C.　　　　　　 D. 【解析】選D.設(shè)從第2天起每天比前一天多織d尺布, 則由題意知305+d=390,解得d=. 3.(5分)(2018長(zhǎng)沙模擬)已知函數(shù)f(x)=cos x(x∈(0,2π))有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2(x10和m<0,再利用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解. 【解析】函數(shù)f(x)=cos x(x∈(0,2π))有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2(x10,則由余弦函數(shù)的圖象知x3,,π,x4構(gòu)成等差數(shù)列, 可得公差d=-=π,則x3=-π=-<0,顯然不可能; 若m<0,則由余弦函數(shù)的圖象知,x3,x4,π構(gòu)成等差數(shù)列,可得3d=-,解得d=, 所以x3=+=,m=cos x3=cosπ=-. 答案:- 【變式備選】已知等差數(shù)列{an}中,an≠0,若n≥2且an-1+an+1-=0,S2n-1=38,則n等于________. 【解析】因?yàn)?an=an-1+an+1, 又an-1+an+1-=0, 所以2an-=0,即an(2-an)=0. 因?yàn)閍n≠0,所以an=2. 所以S2n-1=2(2n-1)=38,解得n=10. 答案:10 4.(12分)已知數(shù)列{an}滿足a1=6,an+1=4-(n為正整數(shù)). (1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列. (2)若bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 【解析】(1)因?yàn)?=-=-=-==2, 所以數(shù)列為等差數(shù)列. (2)a1=6,=2,則=2+2(n-1)=2n,則an=, bn== ==-, 則Sn=b1+b2+…+bn=++…+=. 5.(13分)在公差為d的等差數(shù)列{an}中,已知a1=10,且5a3a1=(2a2+2)2. (1)求d,an. (2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|. 【解析】(1)由題意得5a3a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0, 故d=-1或d=4, 所以an=-n+11,n∈N*或an=4n+6,n∈N*. (2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,因?yàn)閐<0, 由(1)得d=-1,an=-n+11, 則當(dāng)n≤11時(shí),|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn =-n2+n, 當(dāng)n≥12時(shí),|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=n2-n+110. 綜上所述, |a1|+|a2|+|a3|+…+|an| =