湘教版高考數學文一輪題庫 第8章第4節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關系

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1、▼▼▼2019屆高考數學復習資料▼▼▼ 高考真題備選題庫 第8章 平面解析幾何 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關系 考點一 直線與圓的位置關系 1．（2013安徽，5分）直線x＋2y－5＋＝0被圓x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長為(　　) A．1　　　　　　 B．2 C．4 D. 4 解析：本題主要考查直線與圓的相交弦長問題，意在考查考生的運算求解能力和數形結合思想． 依題意，圓的圓心為(1,2)，半徑r＝，圓心到直線的距離d＝＝1，所以結合圖形可知弦長的一半為 ＝2，故弦長為4. 答案：C 2．（2013陜西，5分）已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1

2、外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關系是(　　) A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定 解析：本題主要考查直線與圓的位置關系，點與圓的位置關系以及點到直線的距離公式的應用．由點M在圓外，得a2＋b2＞1，∴圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝＜1，則直線與圓O相交． 答案：B　 3．（2013重慶，5分）設P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4，Q是直線x＝－3上的動點，則|PQ|的最小值為(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 解析：本題主要考查直線與圓的相關內容．|PQ|的最小值為圓心到直線的距離減去半徑．因為圓的圓心為(3，－1)，半徑為2，所以|P

3、Q|的最小值d＝3－(－3)－2＝4. 答案：B　 4．（2013山東，4分）過點(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長為________． 解析：本題主要考查直線與圓的位置關系，考查數形結合思想和運算能力．最短弦為過點(3,1)，且垂直于點(3,1)與圓心的連線的弦，易知弦心矩d＝＝，所以最短弦長為2＝2＝2. 答案：2 5．（2013四川，13分）已知圓C的方程為x2＋(y－4)2＝4，點O是坐標原點．直線l：y＝kx與圓C交于M，N兩點． (1)求k的取值范圍； (2)設Q(m，n)是線段MN上的點，且＝＋.請將n表示為m的函數． 解：本題主要考

4、查直線、圓、函數、不等式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程等數學思想，并考查思維的嚴謹性． (1) 將y＝kx代入x2＋(y－4)2＝4中，得 (1＋k2)x2－8kx＋12＝0.(*) 由Δ＝(－8k)2－4(1＋k2)×12＞0，得k2＞3. 所以，k的取值范圍是(－∞，－)∪(，＋∞)． (2)因為M，N在直線l上，可設點M，N的坐標分別為(x1，kx1)，(x2，kx2)，則|OM|2＝(1＋k2)x，|ON|2＝(1＋k2)x. 又|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2. 由＝＋，得 ＝＋， 即＝＋＝. 由(*)式可知，x1＋x

5、2＝，x1x2＝， 所以m2＝. 因為點Q在直線y＝kx上，所以k＝，代入m2＝中并化簡，得5n2－3m2＝36. 由m2＝及k2＞3，可知0＜m2＜3， 即m∈(－，0)∪(0，)． 根據題意，點Q在圓C內，則n＞0， 所以n＝ ＝. 于是，n與m的函數關系為 n＝(m∈(－，0)∪(0，))． 6．（2012廣東，5分）在平面直角坐標系xOy中，直線3x＋4y－5＝0與圓x2＋y2＝4相交于A、B兩點，則弦AB的長等于(　　) A．3 B．2 C. D．1 解析：圓x2＋y2＝4的圓心(0,0)到直線3x＋4y－5＝0的距離d＝1，圓的半徑為2，所以弦長|A

6、B|＝2＝2. 答案：B 7．（2012安徽，5分）若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點，則實數a的取值范圍是(　　) A．[－3，－1] B．[－1,3] C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析：欲使直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點，只需使圓心到直線的距離小于等于圓的半徑即可，即≤，化簡得|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1. 答案：C 8．（2012福建，5分）直線x＋y－2＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點，則弦AB的長度等于(　　) A．2 B．2 C. D．1 解析：圓心(0,0)到直線x＋y

7、－2＝0的距離為1，所以AB＝2＝2. 答案：B 9．（2012陜西，5分）已知圓C：x2＋y2－4x＝0，l是過點P(3,0)的直線，則(　　) A．l與C相交 B．l與C相切 C．l與C相離 D．以上三個選項均有可能 解析：把點(3,0)代入圓的方程的左側得32＋0－4×3＝－3<0，故點(3,0)在圓的內部，所以過點(3,0)的直線l與圓C相交． 答案：A 10．（2011安徽，5分）若直線3x＋y＋a＝0過圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心，則a的值為(　　) A．－1　　 B．1 C．3　　 D．－3 解析：圓的方程可變?yōu)?x＋1)

8、2＋(y－2)2＝5，因為直線經過圓的圓心，所以3×(－1)＋2＋a＝0，即a＝1. 答案：B 11．（2012北京，5分）直線y＝x被圓x2＋(y－2)2＝4截得的弦長為________． 解析：圓心(0,2)到直線y＝x的距離為d＝＝，圓的半徑為2，所以所求弦長為2＝2. 答案：2 12．（2012江西，5分）過直線x＋y－2＝0上點P作圓x2＋y2＝1的兩條切線，若兩條切線的夾角是60°，則點P的坐標是________． 解析：∵點P在直線x＋y－2＝0上，∴可設點P(x0，－x0＋2)，且其中一個切點為M.∵兩條切線的夾角為60°，∴∠OPM＝

9、30°.故在Rt△OPM中，有OP＝2OM＝2.由兩點間的距離公式得OP＝ ＝2，解得x0＝.故點P的坐標是(，)． 答案：(，) 13．(2011新課標全國，12分)在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的交點都在圓C上． (1)求圓C的方程； (2)若圓C與直線x－y＋a＝0交于A，B兩點，且OA⊥OB，求a的值． 解：(1)曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點為(0,1)，與x軸的交點為(3＋2，0)，(3－2，0)． 故可設圓C的圓心為(3，t)， 則有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1. 則圓C的半徑為＝3. 則以圓C的方程為(

10、x－3)2＋(y－1)2＝9. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐標滿足方程組： . 消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0. 由已知可得，判別式Δ＝56－16a－4a2>0. 從而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.① 由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.② 由①，②得a＝－1，滿足Δ>0，故a＝－1. 考點二 圓與圓的位置關系 1．（2013新課標全國Ⅰ，12分）已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動圓P與圓M外切并

11、且與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C. (1)求C的方程； (2)l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當圓P的半徑最長時，求|AB|. 解：本題是一道解析幾何綜合問題，涉及直線、圓、橢圓等，覆蓋面廣，需要學生基礎扎實、全面，有較強的分析能力和計算能力． 由已知得圓M的圓心為M(－1,0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r2＝3. 設圓P的圓心為P(x，y)半徑為R. (1)因為圓P與圓M外切并且與圓N內切，所以 |PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4. 由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點，長半軸長為2，短半

12、軸長為的橢圓(左頂點除外)，其方程為＋＝1(x≠－2)． (2)對于曲線C上任意一點P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，當且僅當圓P的圓心為(2,0)時，R＝2. 所以當圓P的半徑最長時，其方程為(x－2)2＋y2＝4. 若l的傾斜角為90°，則l與y軸重合，可得|AB|＝2. 若l的傾斜角不為90°，由r1≠R知l不平行于x軸，設l與x軸的交點為Q，則＝，可求得Q(－4,0)，所以可設l：y＝k(x＋4)．由l與圓M相切得＝1，解得k＝±. 當k＝時，將y＝x＋代入＋＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0， 解得x1,2＝.所

13、以|AB|＝ |x2－x1|＝. 當k＝－時，由圖形的對稱性可知|AB|＝. 綜上，|AB|＝2或|AB|＝. 2．（2012山東，5分）圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關系為(　　) A．內切　　　　　　　　　　　 B．相交 C．外切 D．相離 解析：兩圓的圓心距離為，兩圓的半徑之差為1、之和為5，而1<<5，所以兩圓相交． 答案：B 3．（2011廣東，5分）設圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝0相切，則C的圓心軌跡為(　　) A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓 解析：設圓心C(x，y)，由題意得＝y(tǒng)＋1(y＞0)，化簡得x2＝8y－8. 答案：A 4．(2009·天津，4分)若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦長為2，則a＝________. 解析：兩圓方程作差易知弦所在直線方程為：y＝， 如圖，由已知|AC|＝， |OA|＝2. 有|OC|＝＝1，∴a＝1. 答案：1 高考數學復習精品 高考數學復習精品