五年高考真題高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第十章 第四節(jié) 古典概型與幾何概型 理全國通用

第四節(jié)第四節(jié) 古典概型與幾何概型古典概型與幾何概型 考點(diǎn)一 古典概型 1(2014陜西，6)從正方形四個頂點(diǎn)及其中心這5個點(diǎn)中，任取2個點(diǎn)，則這2個點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長的概率為( ) A.15 B.25 C.35 D.45 解析 從這 5 個點(diǎn)中任取 2 個，有 C2510 種取法，滿足兩點(diǎn)間的距離不小于正方形邊長的取法有 C246 種，因此所求概率P61035.故選 C. 答案 C 2(2011陜西，10)甲乙兩人一起去游“2011 西安世園會”，他們約定，各自獨(dú)立地從 1到6號景點(diǎn)中任選4個進(jìn)行游覽，每個景點(diǎn)參觀1小時，則最后一小時他們同在一個景點(diǎn)的概率是( ) A.136 B.19 C.536 D.16 解析 甲、乙參觀每一個景點(diǎn)是隨機(jī)且獨(dú)立的，在最后一個小時參觀哪一個景點(diǎn)是等可能的 甲有 6 種可能性，乙也有 6 種可能性，基本事件空間總數(shù)n36，事件“二人同在一個景點(diǎn)參觀”的基本事件數(shù)m6，由古典概型概率公式得Pmn16. 答案 D 3(2011浙江，9)有5本不同的書，其中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本，若將其隨機(jī)地并排擺放到書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率是( ) A.15 B.25 C.35 D.45 解析 語文、數(shù)學(xué)只有一科的兩本書相鄰，有 2A22A22A2348 種擺放方法 語文、數(shù)學(xué)兩科的兩本書都相鄰，有A22A22A3324種擺放方法而五本不同的書排成一排總共有 A55120 種擺放方法 故所求概率為 1482412025，故選 B. 答案 B 4(2015江蘇，5)袋中有形狀、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只紅球，2 只黃球，從中一次隨機(jī)摸出 2 只球，則這 2 只球顏色不同的概率為_ 解析 這兩只球顏色相同的概率為16，故兩只球顏色不同的概率為 11656. 答案 56 5(2014江蘇，4)從 1，2，3，6 這 4 個數(shù)中一次隨機(jī)地取 2 個數(shù)，則所取 2 個數(shù)的乘積為 6 的概率是_ 解析 從 1，2，3，6 中隨機(jī)取 2 個數(shù)，共有 6 種不同的取法，其中所取 2 個數(shù)的乘積是6 的有 1，6 和 2，3，共 2 種，故所求概率是2613. 答案 13 6(2014廣東，11)從 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取七個不同的數(shù)，則這七個數(shù)的中位數(shù)是 6 的概率為_ 解析 十個數(shù)中任取七個不同的數(shù)共有 C710種情況，七個數(shù)的中位數(shù)為 6，那么 6 只有處在中間位置，有 C36種情況，于是所求概率PC36C71016. 答案 16 7(2014江西，12)10 件產(chǎn)品中有 7 件正品、3 件次品，從中任取 4 件，則恰好取到 1 件次品的概率是_ 解析 從 10 件產(chǎn)品中任取 4 件共有 C410210 種不同的取法，因?yàn)?10 件產(chǎn)品中有 7 件正品、3 件次品，所以從中任取 4 件恰好取到 1 件次品共有 C13C37105 種不同的取法，故所求的概率為P10521012. 答案 12 8(2013新課標(biāo)全國，14)從n個正整數(shù) 1，2，n中任意取出兩個不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于 5 的概率為114，則n_. 解析 從 1，2，n中任取兩個不同的數(shù)共有 C2n種取法，兩數(shù)之和為 5 的有(1，4)，(2，3)2 種，所以2C2n114，即2n（n1）24n（n1）114，解得n8. 答案 8 9(2012江蘇，6)現(xiàn)在 10 個數(shù)，它們能構(gòu)成一個以 1 為首項(xiàng)，3 為公比的等比數(shù)列，若從這 10 個數(shù)中隨機(jī)抽取一個數(shù)，則它小于 8 的概率是_ 解析 由題意可知，這 10 個數(shù)分別為 1，3，9，27，81，35，36，37，38，39，在這 10 個數(shù)中，比 8 小的有 5 個負(fù)數(shù)和 1 個正數(shù)，故由古典概型的概率公式得所求概率P61035. 答案 35 10(2011江蘇，5)從 1，2，3，4 這四個數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍的概率是_ 解析 從 1，2，3，4 這四個數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個數(shù)的種數(shù)為 C246(種)，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍的數(shù)對為 1，2 和 2，4.故符合條件的概率為2613. 答案 13 11(2015北京，16)A，B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時間(單位：天)記錄如下： A組：10，11，12，13，14，15，16 B組：12，13，15，16，17，14，a 假設(shè)所有病人的康復(fù)時間互相獨(dú)立，從A，B兩組隨機(jī)各選 1 人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙 (1) 求甲的康復(fù)時間不少于 14 天的概率； (2) 如果a25，求甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長的概率； (3) 當(dāng)a為何值時，A，B兩組病人康復(fù)時間的方差相等？(結(jié)論不要求證明) 解 設(shè)事件Ai為“甲是A組的第i個人”，事件Bi為“乙是B組的第i個人”，i1，2，7.由題意可知P(Ai)P(Bi)17，i1，2，7. (1)由題意知，事件“甲的康復(fù)時間不少于 14 天”等價于“甲是A組的第 5 人，或者第 6人，或者第 7 人”，所以甲的康復(fù)時間不少于 14 天的概率是 P(A5A6A7)P(A5)P(A6)P(A7)37. (2)設(shè)事件C為“甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長”由題意知， CA4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6. 因此P(C)P(A4B1)P(A5B1)P(A6B1)P(A7B1)P(A5B2)P(A6B2)P(A7B2)P(A7B3)P(A6B6)P(A7B6)10P(A4B1)10P(A4)P(B1)1049. (3)a11 或a18. 考點(diǎn)二 隨機(jī)數(shù)與幾何概型 1(2015陜西，11)設(shè)復(fù)數(shù)z(x1)yi(x，yR R)，若|z|1，則yx的概率為( ) A.3412 B.1412 C.121 D.121 解析 由|z|1可得(x1)2y21，表示以(1，0)為圓心，半徑為1的圓及其內(nèi)部，滿足yx的部分為如圖陰影所示， 由幾何概型概率公式可得所求概率為： P1412121212412 1412. 答案 B 2(2014湖北，7)由不等式組x0，y0，yx20確定的平面區(qū)域記為1，不等式組xy1，xy2確定的平面區(qū)域記為2，在1中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在2內(nèi)的概率為( ) A.18 B.14 C.34 D.78 解析 由題意作圖，如圖所示，1的面積為12222，圖中陰影部分的面積為212222274，則所求的概率P74278.選 D. 答案 D 3(2013四川，9)節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過 2 秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34 D.78 解析 設(shè)兩串彩燈第一次閃亮的時刻分別為x，y，則由題意可得，0 x4，0y4；而所求事件“兩串彩燈同時通電后，第一次閃亮相差不超過 2 秒”(x，y)|xy|2，由圖示得，該事件概率PS陰影S正方形1641634. 答案 C 4.(2012福建，6)如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P恰好取自陰影部分的概率為( ) A.14 B.15 C.16 D.17 解析 題圖中陰影部分面積01(xx)dx 32121032xx16，而正方形OABC的面積為 1，所求概率為16116.故選 C. 答案 C 5(2015福建，13)如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，4)，函數(shù)f(x)x2，若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于_ 解析 由幾何概型的概率公式：P112x2dx4512. 答案 512 6(2014福建，14)如圖，在邊長為 e(e 為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為_ 解析 因?yàn)楹瘮?shù)yex與函數(shù)yln x互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線yx對稱，又因?yàn)楹瘮?shù)yex與直線ye 的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，e)，所以陰影部分的面積為 2(e101exdx)2e2ex102e(2e2)2，由幾何概型的概率計算公式，得所求的概率PS陰影S正方形2e2. 答案 2e2 7(2013福建，11)利用計算機(jī)產(chǎn)生 01 之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a10”發(fā)生的概率為_ 解析 由 3a10 得a13，由幾何概型知P113123. 答案 23 8.(2012湖南，15)函數(shù)f(x)sin(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的部分圖象如圖所示，其中，P為圖象與y軸的交點(diǎn)，A，C為圖象與x軸的兩個交點(diǎn)，B為圖象的最低點(diǎn) (1)若6，點(diǎn)P的坐標(biāo)為0，3 32，則_； (2)若在曲線段ABC與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在ABC內(nèi)的概率為_ 解析 f(x)sin(x)，f(x)cos(x) (1)6時，f(x)cos(x6) f(0)3 32，即cos63 32，3. (2)當(dāng)x2時，x2； 當(dāng)x32時，x32. 由幾何概型可知，該點(diǎn)在ABC內(nèi)的概率為 3223221| |2121|22sin()ACPxdxx0- cos() 2sin（32）sin（2） 2sin32sin22114. 答案 (1)3 (2)4