五年高考真題高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第十章 第四節(jié) 古典概型與幾何概型 理全國通用

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1、第四節(jié)第四節(jié) 古典概型與幾何概型古典概型與幾何概型 考點一 古典概型 1(2014陜西，6)從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為( ) A.15 B.25 C.35 D.45 解析 從這 5 個點中任取 2 個，有 C2510 種取法，滿足兩點間的距離不小于正方形邊長的取法有 C246 種，因此所求概率P61035.故選 C. 答案 C 2(2011陜西，10)甲乙兩人一起去游“2011 西安世園會”，他們約定，各自獨立地從 1到6號景點中任選4個進行游覽，每個景點參觀1小時，則最后一小時他們同在一個景點的概率是( ) A.136 B.19

2、 C.536 D.16 解析 甲、乙參觀每一個景點是隨機且獨立的，在最后一個小時參觀哪一個景點是等可能的 甲有 6 種可能性，乙也有 6 種可能性，基本事件空間總數(shù)n36，事件“二人同在一個景點參觀”的基本事件數(shù)m6，由古典概型概率公式得Pmn16. 答案 D 3(2011浙江，9)有5本不同的書，其中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本，若將其隨機地并排擺放到書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率是( ) A.15 B.25 C.35 D.45 解析 語文、數(shù)學(xué)只有一科的兩本書相鄰，有 2A22A22A2348 種擺放方法 語文、數(shù)學(xué)兩科的兩本書都相鄰，有A22A22A3324種擺放方法

3、而五本不同的書排成一排總共有 A55120 種擺放方法 故所求概率為 1482412025，故選 B. 答案 B 4(2015江蘇，5)袋中有形狀、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只紅球，2 只黃球，從中一次隨機摸出 2 只球，則這 2 只球顏色不同的概率為_ 解析 這兩只球顏色相同的概率為16，故兩只球顏色不同的概率為 11656. 答案 56 5(2014江蘇，4)從 1，2，3，6 這 4 個數(shù)中一次隨機地取 2 個數(shù)，則所取 2 個數(shù)的乘積為 6 的概率是_ 解析 從 1，2，3，6 中隨機取 2 個數(shù)，共有 6 種不同的取法，其中所取 2 個數(shù)的乘積是6 的有 1，6

4、和 2，3，共 2 種，故所求概率是2613. 答案 13 6(2014廣東，11)從 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取七個不同的數(shù)，則這七個數(shù)的中位數(shù)是 6 的概率為_ 解析 十個數(shù)中任取七個不同的數(shù)共有 C710種情況，七個數(shù)的中位數(shù)為 6，那么 6 只有處在中間位置，有 C36種情況，于是所求概率PC36C71016. 答案 16 7(2014江西，12)10 件產(chǎn)品中有 7 件正品、3 件次品，從中任取 4 件，則恰好取到 1 件次品的概率是_ 解析 從 10 件產(chǎn)品中任取 4 件共有 C410210 種不同的取法，因為 10 件產(chǎn)品中有 7 件正品、3 件次品，所以從中

5、任取 4 件恰好取到 1 件次品共有 C13C37105 種不同的取法，故所求的概率為P10521012. 答案 12 8(2013新課標全國，14)從n個正整數(shù) 1，2，n中任意取出兩個不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于 5 的概率為114，則n_. 解析 從 1，2，n中任取兩個不同的數(shù)共有 C2n種取法，兩數(shù)之和為 5 的有(1，4)，(2，3)2 種，所以2C2n114，即2n（n1）24n（n1）114，解得n8. 答案 8 9(2012江蘇，6)現(xiàn)在 10 個數(shù)，它們能構(gòu)成一個以 1 為首項，3 為公比的等比數(shù)列，若從這 10 個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，則它小于 8 的概率是_ 解析 由題

6、意可知，這 10 個數(shù)分別為 1，3，9，27，81，35，36，37，38，39，在這 10 個數(shù)中，比 8 小的有 5 個負數(shù)和 1 個正數(shù)，故由古典概型的概率公式得所求概率P61035. 答案 35 10(2011江蘇，5)從 1，2，3，4 這四個數(shù)中一次隨機地取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍的概率是_ 解析 從 1，2，3，4 這四個數(shù)中一次隨機地取兩個數(shù)的種數(shù)為 C246(種)，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍的數(shù)對為 1，2 和 2，4.故符合條件的概率為2613. 答案 13 11(2015北京，16)A，B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時間(單位：天)記錄如下：

7、A組：10，11，12，13，14，15，16 B組：12，13，15，16，17，14，a 假設(shè)所有病人的康復(fù)時間互相獨立，從A，B兩組隨機各選 1 人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙 (1) 求甲的康復(fù)時間不少于 14 天的概率； (2) 如果a25，求甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長的概率； (3) 當(dāng)a為何值時，A，B兩組病人康復(fù)時間的方差相等？(結(jié)論不要求證明) 解 設(shè)事件Ai為“甲是A組的第i個人”，事件Bi為“乙是B組的第i個人”，i1，2，7.由題意可知P(Ai)P(Bi)17，i1，2，7. (1)由題意知，事件“甲的康復(fù)時間不少于 14 天”等價于“甲是A組的第 5 人

8、，或者第 6人，或者第 7 人”，所以甲的康復(fù)時間不少于 14 天的概率是 P(A5A6A7)P(A5)P(A6)P(A7)37. (2)設(shè)事件C為“甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長”由題意知， CA4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6. 因此P(C)P(A4B1)P(A5B1)P(A6B1)P(A7B1)P(A5B2)P(A6B2)P(A7B2)P(A7B3)P(A6B6)P(A7B6)10P(A4B1)10P(A4)P(B1)1049. (3)a11 或a18. 考點二 隨機數(shù)與幾何概型 1(2015陜西，11)設(shè)復(fù)數(shù)z(x1)yi(x，yR R)，若

9、|z|1，則yx的概率為( ) A.3412 B.1412 C.121 D.121 解析 由|z|1可得(x1)2y21，表示以(1，0)為圓心，半徑為1的圓及其內(nèi)部，滿足yx的部分為如圖陰影所示， 由幾何概型概率公式可得所求概率為： P1412121212412 1412. 答案 B 2(2014湖北，7)由不等式組x0，y0，yx20確定的平面區(qū)域記為1，不等式組xy1，xy2確定的平面區(qū)域記為2，在1中隨機取一點，則該點恰好在2內(nèi)的概率為( ) A.18 B.14 C.34 D.78 解析 由題意作圖，如圖所示，1的面積為12222，圖中陰影部分的面積為212222274，則所求的概率P

10、74278.選 D. 答案 D 3(2013四川，9)節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過 2 秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34 D.78 解析 設(shè)兩串彩燈第一次閃亮的時刻分別為x，y，則由題意可得，0 x4，0y4；而所求事件“兩串彩燈同時通電后，第一次閃亮相差不超過 2 秒”(x，y)|xy|2，由圖示得，該事件概率PS陰影S正方形1641634. 答案 C 4.(2012福建，6)如圖所示，在邊長為1的正方形OABC

11、中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為( ) A.14 B.15 C.16 D.17 解析 題圖中陰影部分面積01(xx)dx 32121032xx16，而正方形OABC的面積為 1，所求概率為16116.故選 C. 答案 C 5(2015福建，13)如圖，點A的坐標為(1，0)，點C的坐標為(2，4)，函數(shù)f(x)x2，若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于_ 解析 由幾何概型的概率公式：P112x2dx4512. 答案 512 6(2014福建，14)如圖，在邊長為 e(e 為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為_ 解析 因為函數(shù)ye

12、x與函數(shù)yln x互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線yx對稱，又因為函數(shù)yex與直線ye 的交點坐標為(1，e)，所以陰影部分的面積為 2(e101exdx)2e2ex102e(2e2)2，由幾何概型的概率計算公式，得所求的概率PS陰影S正方形2e2. 答案 2e2 7(2013福建，11)利用計算機產(chǎn)生 01 之間的均勻隨機數(shù)a，則事件“3a10”發(fā)生的概率為_ 解析 由 3a10 得a13，由幾何概型知P113123. 答案 23 8.(2012湖南，15)函數(shù)f(x)sin(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的部分圖象如圖所示，其中，P為圖象與y軸的交點，A，C為圖象與x軸的兩個交點，B為圖象的最低點 (1)若6，點P的坐標為0，3 32，則_； (2)若在曲線段ABC與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點在ABC內(nèi)的概率為_ 解析 f(x)sin(x)，f(x)cos(x) (1)6時，f(x)cos(x6) f(0)3 32，即cos63 32，3. (2)當(dāng)x2時，x2； 當(dāng)x32時，x32. 由幾何概型可知，該點在ABC內(nèi)的概率為 3223221| |2121|22sin()ACPxdxx0- cos() 2sin（32）sin（2） 2sin32sin22114. 答案 (1)3 (2)4