新編高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第一章 167;9 三角函數(shù)的簡單應(yīng)用 Word版含答案

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1、新編數(shù)學(xué)北師大版精品資料講一講1某海濱浴場的海浪高度y(單位：m)是時間t(0t24，單位：h)的函數(shù)，下表是測得的某日各時的浪高數(shù)據(jù)：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5經(jīng)長期觀測，函數(shù)yf(t)的圖像可以近似地看成函數(shù)yAcos(t)b(A0，0)的圖像(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求yAcos(t)b的解析式；(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于 1 m 時才對沖浪者開放，請依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)從上午到晚上(8：0020：00)，開放沖浪場所的具體時間段，有多長時間可供沖浪者進行活動？嘗試解答(1)由表中的數(shù)據(jù)，知最小正周期T12 小時，2T6

2、，0，故函數(shù)解析式為yAcos6tb.由t0 時，y1.5 得Ab1.5，由t3 時，y1.0 得b1，A0.5，故函數(shù)解析式為y0.5cos6t1.(2)由題意可知，當(dāng)y1 時才對沖浪者開放，即 0.5cos6t11，cos6t0，則 2k26t2k2，kZ Z，即 12k3t12k3(kZ Z)，又8t20，k1，9t0，0)(1)若從 10 月 10 日 0：00 開始計算時間，選用一個三角函數(shù)來近似描述該港口的水深d(m)和時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系；(2)10 月 10 日 17：00 該港口水深約為多少？(保留一位小數(shù))(3)10 月 10 日這一天該港口共有多少時間水深低于 10

3、.3 m?解：(1)依題意知T212，故6，h8.416212.2，A1612.23.8，所以d3.8sin(6t)12.2；又因為t4 時，d16，所以 sin(46)1，所以6，所以d3.8sin(6t6)12.2.(2)t17 時，d3.8sin(1766)12.23.8sin2312.215.5(m)(3)令 3.8sin(6t6)12.210.3，有 sin(6t6)12，因此 2k766t62k116(kZ Z)，所以 2k436t2k2，kZ Z，所以 12k8t12k12.令k0，得t(8，12)；令k1，得t(20，24)故這一天共有 8 小時水深低于 10.3 m.講一講2

4、如圖所示的為一個觀覽車示意圖，該觀覽車的半徑為 4.8 m，圓上最低點與地面的距離為0.8 m，60 s 轉(zhuǎn)動一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時針轉(zhuǎn)動角到OB，設(shè)B點與地面的距離為h.(1)求h與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動，經(jīng)過t秒到達(dá)OB，求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)求纜車首次到達(dá)最高點所用的時間嘗試解答(1)以圓心O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則以O(shè)x為始邊，OB為終邊的角為2，故點B的坐標(biāo)為(4.8cos(2)，4.8sin(2)，h5.64.8sin(2)5.64.8cos(0)(2)點A在圓上轉(zhuǎn)動的角速度是30rad/s，故t秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為30

5、t，h5.64.8cost30，t0，)(3)到達(dá)最高點時，h10.4 m.由 cos30t1，得30t，t30.纜車首次到達(dá)最高點所用的時間為 30 s.解答三角函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟：練一練2如圖，一只螞蟻繞一個豎直放置的圓環(huán)逆時針勻速爬行，已知圓環(huán)的半徑為23m，圓環(huán)的圓心距離地面的高度為 1 m，螞蟻每分鐘爬行一圈，若螞蟻的起始位置在最低點P0處(1)試確定在時刻t(單位：s)時螞蟻距離地面的高度h(單位：m)；(2)在螞蟻繞圓環(huán)爬行的一圈內(nèi)，有多長時間螞蟻距離地面超過23m?解：(1)以圓心O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)ts 時螞蟻到達(dá)點P，則螞蟻轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)為260t

6、30t，于是點P的縱坐標(biāo)y23sin(30t2)23cos30t.h1y123cos30t(t0)(2)由 123cos30t23得 cos30t12，又由 0t60，得 030t2，330t53，解得 10t15.9，得 sin2365x32373012，62365x32373056，365123234x0)，則A4，T0.8，2T20.852，將(0，4)代入函數(shù)解析式中，有 sin1，得到2，故函數(shù)解析式為y4sin52t2 4cos52t.答案：y4cos52t6. 如果某地夏天從814時用電量變化曲線近似滿足函數(shù)yAsin(x)b.如圖所示(1)求這一天的最大用電量及最小用電量；(2

7、)寫出這段曲線的函數(shù)解析式解：(1)最大用電量為 50 萬度，最小用電量為 30 萬度(2)觀察題圖可知，從 814 時的圖像是yAsin(x)b的半個周期的圖像，A12(5030)10，b12(5030)40.122148，6.y10sin6x40.將x8，y30 代入上式，解得6，所求解析式為y10sin6x6 40，x8，14一、選擇題1為了使函數(shù)ysinx(0)在區(qū)間0，1上至少出現(xiàn) 50 次最大值，則的最小值是()A98B.1972C.1992D100解析：選 B由 4914T1，得T4197，即24197，1972.2. 如圖為一半徑為 3 m 的水輪，水輪圓心O距離水面 2 m，

8、已知水輪每分鐘旋轉(zhuǎn) 4 圈，水輪上的點P到水面的距離y(m)與時間x(s)滿足函數(shù)關(guān)系yAsin(x)2，則有()A215，A3B152，A3C215，A5D152，A5解析：選 A依題意A3，且水輪每 15 s 轉(zhuǎn)一圈，故周期T15，2T215.3一簡諧運動的圖像如圖，則下列判斷正確的是()A該質(zhì)點的振動周期為 0.7 sB該質(zhì)點的振幅為 5 cmC該質(zhì)點在 0.1 s 和 0.5 s 時速度最大D該質(zhì)點在 0.3 s 和 0.7 s 時加速度最大解析：選 B周期為 2(0.70.3)0.8 s，故 A 錯；由題中圖像可知，振幅為 5 cm，故 B 正確；在最高點時，速度為零，加速度最大，故

9、 C，D 錯4下表是某城市 2011 年月平均氣溫(單位：F).月份123456平均氣溫21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均氣溫73.171.964.753.539.827.7若用x表示月份，y表示平均氣溫，則下面四個函數(shù)模型中最合適的是()Ay26cos6xBy26cos（x1）646Cy26cos（x1）646Dy26cos6x46解析：選 C由數(shù)據(jù)得到，從 1 月到 7 月是上升的趨勢，只有 C 滿足要求二、填空題5 一根長lcm 的線， 一端固定， 另一端懸掛一個小球， 小球擺動時離開平衡位置的位移s(cm)與時間t(s)的函數(shù)關(guān)系式是s3cos(

10、glt3)，其中g(shù)是重力加速度， 當(dāng)小球擺動的周期是 1s 時，線長l等于_解析：因為周期T2gl，所以gl2T2，則lg42.答案：g426. 如圖是一彈簧振子做簡諧運動的圖像，橫軸表示振動的時間，縱軸表示振子的位移，則這個振子的振動函數(shù)的一個解析式為_解析：設(shè)函數(shù)的解析式為yAsin(t)(t0)由圖像知A2，T2(0.50.1)0.8(s)，所以20.852，y2sin(52x)又520.12，所以4.所以函數(shù)解析式為y2sin(52t4)(t0)答案：y2sin(52t4)(t0)7 在兩個彈簧上各掛一個質(zhì)量分別為M1和M2的小球， 做上下自由振動 已知它們在時間t(s)離開平衡位置的

11、位移s1cm 和s2cm 分別由下列兩式確定：s15sin(2t6)；s210cos2t.則在時間t23時，s1與s2的大小關(guān)系是_解析：當(dāng)t23時，s15，s25，s1s2.答案：s1s28(江蘇高考)函數(shù)f(x)Asin(x)(A，為常數(shù)，A0，0)的部分圖像如圖所示，則f(0)的值是_解析： 由圖可知：A 2，T471234， 所以T，2T2， 又函數(shù)圖像經(jīng)過點(3，0)，所以 23，則3，故函數(shù)的解析式為(x) 2sin(2x3)，所以(0)2sin362.答案：62三、解答題9. 如圖，表示電流與時間t的關(guān)系式Asin(t)(A0，0)在一個周期內(nèi)的圖像(1)試根據(jù)圖像寫出Asin(

12、t)的解析式：(2)若函數(shù)Asin(t)在任意一段1100秒的時間內(nèi)能同時取最大值A(chǔ)和最小值A(chǔ)，那么正整數(shù)的最小值為多少？解：(1)由題圖可知A300，T160(1300)150，所以2T100.又因為(1150，0)在函數(shù)圖像上，所以11501002k，kZ Z，所以132k，kZ Z，所以300sin(100 x13)；(2)依題意有T1100，即21100.所以200，又因為N N，所以的最小正整數(shù)為 629.10海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋，下面是在某港口某季節(jié)每天的時間與水深關(guān)系表：時刻水深/米時

13、刻水深/米時刻水深/米0：005.09：002.518：005.03：007.512：005.021：002.56：005.015：007.524：005.0(1)選用一個函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)的解析式；(2)一條貨船的吃水深(船底與水面的距離)為 5 米，安全條例規(guī)定至少要有 1.25 米的安全間隙(船底與洋底的距離)，該船何時能進入港口？在港口能呆多久？解： (1)以時間為橫坐標(biāo)， 水深為縱坐標(biāo)， 通過畫草圖可知用函數(shù)yAsin(x)h(A0，0)來刻畫水深與時間之間的對應(yīng)關(guān)系由題意得Ah7.5，Ah2.5，T12，解得A2.5，h5，6.這個港口的水深與時間的關(guān)系可用y52sin6x5 近似描述(2)貨船需要的安全水深為 51.256.25 米，所以y6.25 時就可以進港，令52sin6x5254sin6x12.在區(qū)間0，12內(nèi)，6x6或者6x6，解得x1 或x5.由周期性可得在12，24內(nèi)x13 或x17，貨船可以在 1 時進港，早晨 5 時出港；或在中午 13 時進港，下午 17 時出港，每次在港口停留 4 小時.