3、1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
則E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，
V(X)＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn.
2．當(dāng)X～H(n，M，N)時，
E(X)＝，V(X)＝.
3．當(dāng)X～B(n，p)時，E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)．
(時間120分鐘，滿分160分)
一、填空題(本大題共14個小題，每小題5分，共70分，把正確答案填在題中橫線上)
1．已知離散型隨機變量X的概率分布如下：
X
1
2
3
P
k
2k
3k
則E(X)＝________.
解析：∵k
4、＋2k＋3k＝1，∴k＝，
∴E(X)＝1＋2＋3＝＝.
答案：
2．已知P(B|A)＝，P(A)＝，則P(AB)＝________.
解析：P(AB)＝P(B|A)P(A)＝＝.
答案：
3．某同學(xué)通過計算機測試的概率為，則他連續(xù)測試3次，其中恰有1次通過的概率為________．
解析：連續(xù)測試3次，其中恰有1次通過的概率為
P＝C12＝3＝.
答案：
4．已知隨機變量X分布列為P(X＝k)＝ak(k＝1,2,3)，則a＝________.
解析：依題意得a＝1，解得a＝.
答案：
5．已知甲投球命中的概率是，乙投球命中的概率是.假設(shè)他們投球命中與否相互之間沒有影
5、響．如果甲、乙各投球1次，則恰有1人投球命中的概率為________．
解析：記“甲投球1次命中”為事件A，“乙投球1次命中”為事件B.根據(jù)互斥事件的概率公式和相互獨立事件的概率公式，所求的概率為
P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)
＝＋＝.
答案：
6．在某項測量中，測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(1，σ2)，若X在區(qū)間(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，則X在區(qū)間(0,2)內(nèi)取值的概率是________．
解析：∵X～N(1，σ2)，∴P(0＜X＜1)＝P(1＜X＜2)，
∴P(0＜X＜2)＝2P(0＜X＜1)＝20.4＝0.8.
答案：0.8
7．將兩枚質(zhì)地均勻
6、的骰子各擲一次，設(shè)事件A＝{兩個點數(shù)都不相同}，B＝{出現(xiàn)一個3點}，則P(B|A)＝________.
解析：若兩個點都不相同，則有(1,2)，(1,3)，…(1,6)，(2,1)，(2,3)，…(2,6)，…(6,1)，…(6,5)．共計65＝30種結(jié)果．
“出現(xiàn)一個3點”含有10種．∴P(B|A)＝＝.
答案：
8．袋中有3個黑球，1個紅球．從中任取2個，取到一個黑球得0分，取到一個紅球得2分，則所得分?jǐn)?shù)X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________.
解析：由題得X所取得的值為0或2，其中X＝0表示取得的球為兩個黑球，X＝2表示取得的球為一黑一紅，
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝2
7、)＝＝，
故E(X)＝0＋2＝1.
答案：1
9．某人參加駕照考試，共考6個科目，假設(shè)他通過各科考試的事件是相互獨立的，并且概率都是p，若此人未能通過的科目數(shù)X的均值是2，則p＝________.
解析：因為通過各科考試的概率為p，所以不能通過考試的概率為1－p，易知X～B(6,1－p)，
所以E(X)＝6(1－p)＝2.解得p＝.
答案：
10．若X～B(n，p)，且E(X)＝2.4，V(X)＝1.44，則n＝________，p＝________.
解析：∵E(X)＝2.4，V(X)＝1.44，
∴∴
答案：6 0.4
11．甲、乙兩人投籃，投中的概率各為0.6,0.
8、7，兩人各投2次，兩人投中次數(shù)相等的概率為________．
解析：所求概率為40.60.40.70.3＋0.620.72＋0.420.32＝0.392 4.
答案：0.392 4
12．甲從學(xué)校乘車回家，途中有3個交通崗，假設(shè)在各交通崗遇紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是，則甲回家途中遇紅燈次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為________．
解析：設(shè)甲在回家途中遇紅燈次數(shù)為X，則X～B(3，)，所以E(X)＝3＝.
答案：
13.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳躍時，均從一葉跳到另一葉)，而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍，如圖所示，假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A葉上
9、，則跳三次之后停在A葉上的概率是________．
解析：青蛙跳三次要回到A只有兩條途徑：
第一條：按A→B→C→A，P1＝＝；
第二條，按A→C→B→A，P2＝＝.
所以跳三次之后停在A葉上的概率為
P＝P1＋P2＝＋＝.
答案：
14．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸在y軸左側(cè)，其中a，b，c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在拋物線中，記隨機變量X＝“|a－b|的取值”，則X的均值E(X)＝________.
解析：對稱軸在y軸左側(cè)(ab＞0)的拋物線有
2CCC＝126條，X可能取值為0,1,2，
P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝，
P(X
10、＝2)＝＝，
E(X)＝0＋1＋2＝.
答案：
二、解答題(本大題共6小題，共90分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟)
15．(本小題滿分14分)在5道題中有3道理科題和2道文科題，如果不放回地依次抽取2道題，求：
(1)第1次抽到理科題的概率；
(2)第1次和第2次都抽到理科題的概率；
(3)第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率．
解：設(shè)第1次抽到理科題為事件A，第2次抽到理科題為事件B，則第1次和第2次都抽到理科題為事件A∩B.
(1)P(A)＝＝＝.
(2)P(A∩B)＝＝＝.
(3)P(B|A)＝＝＝.
16．(本小題滿分14分)袋中裝
11、有5個乒乓球，其中2個舊球，現(xiàn)在無放回地每次取一球檢驗．
(1)若直到取到新球為止，求抽取次數(shù)X的概率分布列及其均值；
(2)若將題設(shè)中的“無放回”改為“有放回”，求檢驗5次取到新球個數(shù)X的均值．
解：(1)X的可能取值為1,2,3，
P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
故抽取次數(shù)X的分布列為
X
1
2
3
P
E(X)＝1＋2＋3＝.
(2)每次檢驗取到新球的概率均為，故X～B(5，)，
所以E(X)＝5＝3.
17．(本小題滿分14分)甲、乙、丙三人商量周末去玩，甲提議去市中心逛街，乙提議去城郊覓秋，丙表示隨意．最終，商定以拋
12、硬幣的方式?jīng)Q定結(jié)果．規(guī)則是：由丙拋擲硬幣若干次，若正面朝上則甲得一分，乙得零分，反面朝上則乙得一分甲得零分，先得4分者獲勝，三人均執(zhí)行勝者的提議．記所需拋幣次數(shù)為X.
(1)求X＝6的概率；
(2)求X的分布列和期望．
解：(1)P(X＝6)＝2C32＝.
(2)由題意知，X可能取值為4,5,6,7，
P(X＝4)＝2C4＝，
P(X＝5)＝2C3＝，
P(X＝6)＝，
P(X＝7)＝2C33＝，
故X的分布列為
X
4
5
6
7
P
所以E(X)＝4＋5＋6＋7＝.
18．(本小題滿分16分)袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有1
13、0個，記上n號的有n個(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號．求X的概率分布、數(shù)學(xué)期望和方差．
解：由題意，得X的所有可能取值為0,1,2,3,4，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝，P(X＝4)＝＝.
故X的概率分布為：
X
0
1
2
3
4
P
所以E(X)＝0＋1＋2＋3＋4＝1.5.
V(X)＝(0－1.5)2＋(1－1.5)2＋(2－1.5)2＋(3－1.5)2＋(4－1.5)2＝2.75.
19．(本小題滿分16分)(天津高考)某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)
14、．在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院．現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同)．
(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；
(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
解：(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A，則P(A)＝＝.
所以選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為.
(2)隨機變量X的所有可能值為0,1,2,3.
P(X＝r)＝(r＝0,1,2,3)．
所以，隨機變量X的分布列是
X
0
1
2
3
15、P
隨機變量X的數(shù)學(xué)期望
E(X)＝0＋1＋2＋3＝.
20．(本小題滿分16分)(北京高考)李明在10場籃球比賽中的投籃情況統(tǒng)計如下(假設(shè)各場比賽相互獨立)：
場次
投籃次數(shù)
命中次數(shù)
場次
投籃次數(shù)
命中次數(shù)
主場1
22
12
客場1
18
8
主場2
15
12
客場2
13
12
主場3
12
8
客場3
21
7
主場4
23
8
客場4
18
15
主場5
24
20
客場5
25
12
(1)從上述比賽中隨機選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過0.6的概率；
(2)從上述比賽
16、中隨機選擇一個主場和一個客場，求李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6的概率；
(3)記為表中10個命中次數(shù)的平均數(shù)．從上述比賽中隨機選擇一場，記X為李明在這場比賽中的命中次數(shù)．比較E(X)與的大?。?只需寫出結(jié)論)
解：(1)根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，李明投籃命中率超過0.6的場次有5場，分別是主場2，主場3，主場5，客場2，客場4.
所以在隨機選擇的一場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6的概率是0.5.
(2)設(shè)事件A為“在隨機選擇的一場主場比賽中李明的投籃命中率超過0.6”，
事件B為“在隨機選擇的一場客觀比賽中李明的投籃命中率超過0.6”，
事件C為“在隨機選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6”．
則C＝A∪B，A，B獨立．
根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，P(A)＝，P(B)＝.
P(C)＝(A)＋P(B)＝＋＝.
所以在隨機選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6的概率為.
(3)E(X)＝.
高中數(shù)學(xué)蘇教版選修23教學(xué)案：第2章 章末小結(jié) 知識整合與階段檢測 Word版缺答案
