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1、
專題四十二 直線、平面平行的判定及其性質
【高頻考點解讀】
1.以立體幾何的有關定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行、面面平行的有關性質與判定定理，并能夠證明相關性質定理．
2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的平行關系的簡單命題．
【熱點題型】
題型一 平行關系基本問題
例1、(1)(高考廣東卷)設l為直線，α，β是兩個不同的平面．下面命題中正確的是( )
A．若l∥α，l∥β，則α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，則α∥β
C．若l⊥α，l∥β，則α∥β
D．若α⊥β，l∥α，則l∥β
(2)已知m、n、l1
2、、l2表示直線，α，β表示平面．若m?α，n?α，l1?β，l2?β，l1∩l2＝M，則α∥β的一個充分條件是( )
A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥β
C．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2
【提分秘籍】
解決有關線面平行，面面平行的判定與性質的基本問題要注意
(1)注意判定定理與性質定理中易忽視的條件，如線面平行的條件中線在面外易忽視．
(2)結合題意構造或繪制圖形，結合圖形作出判斷．
(3)會舉反例或用反證法推斷命題是否正確．
【舉一反三】
設l表示直線，α、β表示平面．給出四個結論：
①如果l∥α，則α內(nèi)有無數(shù)條直線與l平行；
②如果
3、l∥α，則α內(nèi)任意的直線與l平行；
③如果α∥β，則α內(nèi)任意的直線與β平行；
④如果α∥β，對于α內(nèi)的一條確定的直線a，在β內(nèi)僅有唯一的直線與a平行．
以上四個結論中，正確結論的個數(shù)為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【熱點題型】
題型二 直線與平面平行的判定與性質
例2、 (高考福建卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60.
(1)當正視方向與向量的方向相同時，畫出四棱錐P－ABCD的正視圖(要求標出尺寸，并寫出演算過程)；
(2)若M為PA的中點，求證：DM∥平
4、面PBC；
(3)求三棱錐D－PBC的體積．
【提分秘籍】
證明直線與平面平行，一般有以下幾種方法
(1)若用定義直接判定，一般用反證法；
(2)用判定定理來證明，關鍵是在平面內(nèi)找(或作)一條直線與已知直線平行，證明時注意用符號語言敘述證明過程；
(3)應用兩平面平行的一個性質，即兩平面平行時，其中一個平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個平面．
【舉一反三】
如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，點D為棱AB的中點，BC＝1，AA1＝.
(1)求證：BC1∥平面A1CD；
(2)求三棱錐D－A1B1C1的體積．
【熱點題型】
5、
題型三 平面與平面平行的判定與性質
例3、(高考陜西卷)如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.
(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的體積．
【提分秘籍】
1.平面與平面平行的幾個有用性質
(1)兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面．
(2)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等．
(3)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．
(4)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例．
(5)如果兩個平面分別平行
6、于第三個平面，那么這兩個平面互相平行．
(6)如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面平行．
2.判定平面與平面平行的方法
(1)利用定義；
(2)利用面面平行的判定定理；
(3)利用面面平行的判定定理的推論；
(4)面面平行的傳遞性(α∥β，β∥γ?α∥γ)；
(5)利用線面垂直的性質(l⊥α，l⊥β?α∥β).
【舉一反三】
已知平面α∥β，直線a?α，有下列說法：
①a與β內(nèi)的所有直線平行；
②a與β內(nèi)無數(shù)條直線平行；
③a與β內(nèi)的任意一條直線都不垂直．
其中真命題的序號是________．
【熱點題型】
題
7、型四 立體幾何中的探索性問題
例4、如圖，在四棱錐S－ABCD中，已知底面ABCD為直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD＝90，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，tan∠SDA＝.
(1)求四棱錐S－ABCD的體積；
(2)在棱SD上找一點E，使CE∥平面SAB，并證明．
【提分秘籍】
解決探究性問題一般要采用執(zhí)果索因的方法，假設求解的結果存在，從這個結果出發(fā)，尋找使這個結論成立的充分條件，如果找到了符合題目結果要求的條件，則存在；如果找不到符合題目結果要求的條件(出現(xiàn)矛盾)，則不存在．常見的類型有：(1)條件探索型 (2)結論探索性．
【舉一反三
8、】
在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點M恰好是AC中點，又∠CAD＝30，PA＝AB＝4，點N在線段PB上，且＝.
(1)求證：BD⊥PC；
(2)求證：MN∥平面PDC；
(3)設平面PAB∩平面PCD＝l，試問直線l是否與直線CD平行，請說明理由．
【高考風向標】
1．（20xx浙江卷）設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面( )
A．若m⊥n，n∥α，則m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，則m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α
2．（20x
9、x安徽卷）如圖15所示，四棱錐P ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側棱長均為2.點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
圖15
(1)證明：GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的面積．
3．（20xx北京卷）如圖15，在三棱柱ABC A1B1C1中，側棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點．
圖15
(1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求證：C1F∥平面ABE；
(3)求三棱錐E ABC的體積．
4．
10、（20xx湖北卷）如圖15，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q，M，N分別是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中點．求證：
(1)直線BC1∥平面EFPQ；
(2)直線AC1⊥平面PQMN.
圖15
5．（20xx江蘇卷）如圖14所示，在三棱錐P ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求證：(1)直線PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
圖14
6．（20xx新課標全國卷Ⅱ）如圖13，四棱錐P ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E
11、為PD的中點．
(1)證明：PB∥平面AEC；
(2)設AP＝1，AD＝，三棱錐P ABD的體積V＝，求A到平面PBC的距離．
圖13
7．（20xx山東卷）如圖14所示，四棱錐PABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F(xiàn)分別為線段AD，PC的中點．
圖14
(1)求證：AP∥平面BEF；
(2)求證：BE⊥平面PAC.
8．（20xx四川卷）在如圖14所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形．
(1)若AC⊥BC，證明：直線BC⊥平面ACC1A1.
(2)設D，E分別是線段BC，CC1的中點，在線段AB
12、上是否存在一點M，使直線DE∥平面A1MC？請證明你的結論．
圖14
【隨堂鞏固】
1．已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個不同平面，下列命題中正確的是( )
A．若m∥α，n∥α，則m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β
C．若m∥α，m∥β，則α∥β
D．若m⊥α，n⊥α，則m∥n
2．下列命題正確的是( )
A．若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行
B．若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行
C．若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行
D．若兩個平面都垂直于第三個平面
13、，則這兩個平面平行
3．已知兩條直線a、b與兩個平面α、β，b⊥α，則下列命題中正確的是( )
①若a∥α，則a⊥b；
②若a⊥b，則a∥α；
③若b⊥β，則α∥β；
④若α⊥β，則b∥β.
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
4．下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是( )
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
5．平面α∥平面β的一個充分條件是( )
A．存在一條直線a，a∥α，a∥β
B．存在一條直線a，a?α，a∥β
C．存在兩條平
14、行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
D．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
6．a(chǎn)、b、c為三條不重合的直線，α、β、γ為三個不重合的平面，現(xiàn)給出六個命題
①?a∥b?、?a∥b ③?α∥β
④?α∥β?、?a∥α ⑥?α∥a
其中正確的命題是( )
A．①②③ B．①④⑤
C．①④ D．①③④
7．設互不相同的直線l，m，n和平面α，β，γ，給出下列三個命題：
①若l與m為異面直線，l?α，m?β，則α∥β；
②若α∥β，l?α，m?β，則l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n.
其中真命題的個數(shù)
15、為________．
8.如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是棱長為a的正方體，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點，P是上底面的棱AD上的一點，AP＝，過P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝________.
9．在四面體ABCD中，M，N分別為△ACD和△BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是________．
10．如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一點F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求點F的位置；若不存在，請說明理由．
11.如圖，在三棱錐S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.過A作AF⊥SB，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點．
求證：(1)平面EFG∥平面ABC；
(2)BC⊥SA.
12．如圖，四棱錐E－ABCD中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD.
(1)求證：AB⊥ED；
(2)線段EA上是否存在點F，使DF∥平面BCE？若存在，求出；若不存在，說明理由．
高考文科數(shù)學 題型秘籍【42】直線、平面平行的判定及其性質解析版
