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1、
專題三十六 基本不等式
【高頻考點解讀】
1.了解基本不等式的證明過程．
2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題．
【熱點題型】
題型一 基本不等式
例1、函數(shù)f(x)＝x＋(x>1)的最小值為( )
A．11 B．5
C．6 D．7
【提分秘籍】
1．基本不等式成立的條件是a，b都是正數(shù)．在解題時，如果a，b為負數(shù)，可提取負號，創(chuàng)造變量為正數(shù)的條件，再利用基本不等式解題．
2．在運用基本不等式的變形時，注意一定要驗證它們成立的條件是否滿足．
【舉一反三】
已知正數(shù)x，y滿足＋＝
2、1，則x＋2y的最小值為________．
【熱點題型】
題型二 利用基本不等式求最值
例2、若不等式m≤＋在x∈(0,1)時恒成立，則實數(shù)m的最大值為( )
A．9 B. C．5 D.
【提分秘籍】
1.利用基本不等式求最值時要注意：
(1)基本不等式中涉及的各數(shù)(或式)均為正；
(2)和或積為定值；
(3)等號能否成立．
即要滿足“一正、二定、三相等”的條件．另外需注意變形公式的靈活運用及通過對原代數(shù)式或解析式的拆分來創(chuàng)造利用公式的條件．
2. 不等式求最值常用的變形方法
(1)變符號；(2)拆項；(3)添項；(4)湊系數(shù)；(5)同除
3、構(gòu)造ax＋型．
【舉一反三】
若點A(1,1)在直線mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，則＋的最小值為________．
【熱點題型】
題型三 條件最值問題
例3、(高考天津卷)設(shè)a＋b＝2，b>0，則當a＝________時，＋取得最小值．
【提分秘籍】
利用基本不等式解決條件最值的關(guān)鍵是分析條件如何用，主要有兩種思路
(1)對條件使用基本不等式建立所求目標函數(shù)的不等式求解；
(2)條件變形進行“1”的代換求目標函數(shù)最值．
【舉一反三】
已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，則9x＋3y的最小值為( )
A．2 B．
4、12
C．6 D．3
【熱點題型】
題型四 基本不等式的實際應(yīng)用
例4、為響應(yīng)國家擴大內(nèi)需的政策，某廠家擬在舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用t(t≥0)萬元滿足x＝4－(k為常數(shù))．如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分)．
(1)將該廠家該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數(shù)；
(2)該廠家的年促銷費用投入多少萬元時，廠家利
5、潤最大？
【提分秘籍】
在應(yīng)用基本不等式解決實際問題時，要注意以下四點
(1)設(shè)變量時一般把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；
(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，確定函數(shù)的定義域；
(3)在定義域內(nèi)只需再利用基本不等式，求出函數(shù)的最值；
(4)回到實際問題中去，寫出實際問題的答案．
【舉一反三】
某企業(yè)投入100萬元購入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運轉(zhuǎn)費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元．為使該設(shè)備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為( )
A．10 B．11
C．13 D．21
6、
【熱點題型】
題型五 利用基本不等式求解三元函數(shù)的最值策略
例5、 (高考山東卷)設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當取得最大值時，＋－的最大值為( )
A．0 B．1
C. D．3
【提分秘籍】利用基本不等式求解三元函數(shù)的最值策略
近幾年三元函數(shù)的最值逐漸成為高考的熱點，主要考查考生的變形推理能力、構(gòu)造能力、化歸能力．求解時要注意以下二種策略的應(yīng)用：
1. 消元化三元為二元后使用基本不等式：由條件，分離一元后代入所求函數(shù)式中，化三元為二元，再分解變形構(gòu)造基本不等式的條件求解，注意等號成立的條件．
7、
2. 變形條件構(gòu)造定值、直接使用基本不等式求最值：觀察分解條件與所求函數(shù)式的結(jié)構(gòu)，變形分解構(gòu)造出積式和為定值后，直接使用基本不等式求最值，注意等號成立的條件．
【舉一反三】
若a，b，c>0，且a2＋ab＋ac＋bc＝4，則2a＋b＋c的最小值為________．
【高考風向標】
1．（20xx重慶卷） 若log4(3a＋4b)＝log2，則a＋b的最小值是( )
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
2．（20xx湖北卷） 某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)與車流速度v(假設(shè)車
8、輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)、平均車長l(單位：米)的值有關(guān)，其公式為F＝.
(1)如果不限定車型，l＝6.05，則最大車流量為________輛/小時；
(2)如果限定車型，l＝5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加________輛/小時．
3．（20xx江蘇卷） 若△ABC的內(nèi)角滿足sin A＋sin B＝2sin C，則cos C的最小值是______．
4．（20xx遼寧卷） 對于c＞0，當非零實數(shù)a，b滿足4a2－2ab＋b2－c＝0且使|2a＋b|最大時，＋＋的最小值為________．
5．（20xx山東卷） 在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＋
9、＝1(a>b>0)的離心率為，直線y＝x被橢圓C截得的線段長為.
(1)求橢圓C的方程．
(2)過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點(A，B不是橢圓C的頂點)．點D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸、y軸分別交于M，N兩點．
(i)設(shè)直線BD，AM的斜率分別為k1，k2，證明存在常數(shù)λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；
(ii)求△OMN面積的最大值．
6．（20xx福建卷） 若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是( )
A．[0，2] B．[－2，0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
7．（20xx陜西卷） 在如圖1－3所示的銳角三角形空地
10、中，欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為______(m)．
圖1－3
8．（20xx四川卷） 已知函數(shù)f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3時取得最小值，則a＝________.
【隨堂鞏固】
1．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，則的最小值為( )
A. B．4 C. D．2
2．設(shè)a>0，b>0，若是3a與3b的等比中項，則＋的最小值為( )
A．2 B.
C．4 D．8
3．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，則n的最大值為( )
A．10 B．9
C．8 D．7
11、
答案：B
4．若直線ax＋by－1＝0(a，b∈(0，＋∞))平分圓x2＋y2－2x－2y－2＝0，則＋的最小值為( )
A．4 B．3＋2
C．2 D．5
5．若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值為( )
A. B.
C．5 D．6
6．若兩個正實數(shù)x，y滿足＋＝1，并且x＋2y>m2＋2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是( )
A．(－∞，－2)∪(4，＋∞) B．(－∞，－4)∪[2，＋∞)
C．(－2,4) D．(－4,2)
7．已知向量a＝(m,1)，b＝(1－n, 1)，m>0，n>0，若a∥b，則＋
12、的最小值是________．
8．已知log2a＋log2b≥1，則3a＋9b的最小值為________．
9．某種飲料分兩次提價，提價方案有兩種，方案甲：第一次提價p%，第二次提價q%；方案乙：每次都提價%，若p>q>0，則提價多的方案是________．
10．已知a>0，b>0，c>0，d>0.求證：＋≥4.
11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，
求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．
12．某種商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件．
(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2 000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？
(2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量，公司決定明年對該商品進行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到x元．公司擬投入(x2－600)萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入x萬元作為浮動宣傳費用．試問：當該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總收入之和？并求出此時商品的每件定價．
高考文科數(shù)學 題型秘籍【36】基本不等式解析版
