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1、
專(zhuān)題四十 空間幾何體的表面積和體積
【高頻考點(diǎn)解讀】
了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式．
【熱點(diǎn)題型】
題型一 幾何體的表面積
例1、(高考重慶卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為( )
A．180 B．200 C．220 D．240
【提分秘籍】
求幾何體的表面積的方法
(1)求表面積問(wèn)題的思路是將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點(diǎn)．
(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺(tái)體，先求這些柱、錐、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和
2、或作差求得幾何體的表面積．
【舉一反三】
四棱錐P－ABCD的頂點(diǎn)P在底面ABCD中的投影恰好是點(diǎn)A，其三視圖如圖所示，則四棱錐P－ABCD的表面積為_(kāi)_______．
【熱點(diǎn)題型】
題型二 幾何體的體積
例2、(1)(高考江蘇卷)如圖，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點(diǎn)．設(shè)三棱錐F－ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，則V1∶V2＝________.
(2)(高考遼寧卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是________．
【提分秘籍】
求幾何體體積的方法
(1)若所給定的
3、幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解．
(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．
(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解．
【舉一反三】
如圖是一個(gè)幾何體的三視圖．若它的體積是3，則a＝________.
【熱點(diǎn)題型】
題型三 球的表面積與體積
例3、 (高考全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅰ)已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為_(kāi)_______．
【提分秘籍】
4、 利用球半徑，截面圓半徑，球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的主要途徑．
【舉一反三】
平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為( )
A.π B．4π
C．4π D．6π
【熱點(diǎn)題型】
題型四 多面體與球有關(guān)的切、接問(wèn)題
例4、如圖所示，平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，將其沿對(duì)角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面體ABCD的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積為( )
A.π B．3π C.π D．2π
【提分
5、秘籍】
球與多面體的切接問(wèn)題，要弄清位置關(guān)系，選擇最佳角度作出截面，以使空間問(wèn)題能順利在平面內(nèi)解決．截面一定要經(jīng)過(guò)球心，所以球心位置的確定會(huì)成為解題的突破點(diǎn)．特別是幾何體的外接球球心，它到幾何體各頂點(diǎn)的距離相等．
【舉一反三】
(高考天津卷)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上．若球的體積為，則正方體的棱長(zhǎng)為_(kāi)_______．
【高考風(fēng)向標(biāo)】
1．（20xx湖南卷）一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖12所示，將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于( )
圖12
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（20xx陜西卷）將邊長(zhǎng)為1的正方形以其一邊
6、所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積是( )
A．4π B．3π C．2π D．π
3．（20xx全國(guó)卷）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上．若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為( )
A. B．16π
C．9π D.
4．（20xx陜西卷）四面體ABCD及其三視圖如圖14所示，平行于棱AD，BC的平面分別交四面體的棱AB，BD，DC，CA于點(diǎn)E，F(xiàn)， G，H.
圖14
(1)求四面體ABCD的體積；
(2)證明：四邊形EFGH是矩形．
5．（20xx天津卷） 已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若球的體積為，則正方體的棱長(zhǎng)
7、為_(kāi)_______．
6．（20xx新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ）已知正四棱錐O－ABCD的體積為，底面邊長(zhǎng)為，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為_(kāi)_______．
7．（20xx湖北卷）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是________寸．
(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸)
8．（20xx新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ）已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則
8、球O的表面積為_(kāi)_______．
【隨堂鞏固】
1.一個(gè)空間幾何體的三視圖及其相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則這個(gè)空間幾何體的表面積是( )
A. B.＋6
C．11π D.＋3
2.已知正三棱錐P－ABC的主視圖和俯視圖如圖所示，則此三棱錐的外接球的表面積為( )
A．4π B．12π
C. D.
3．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )
A．32 B．18
C．16 D．10
4. SC為球O的直徑，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝，若棱錐A－SBC的體積為，則球O的體積
9、為( )
A. B. C．27π D．4π
5．已知正三棱柱內(nèi)接于一個(gè)半徑為2的球，則正三棱柱的側(cè)面積取得最大值時(shí)，其底面邊長(zhǎng)為( )
A. B. C. D.
6.一個(gè)幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的表面積為_(kāi)_______m2.
7．將邊長(zhǎng)為a的正方體(如圖1所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則該幾何體的體積為_(kāi)_______．
8．已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，該三棱錐的外接球的半徑為2，則該三棱錐的體積為_(kāi)_______．
9.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示．已知正視圖是底邊長(zhǎng)為1的平行四邊形，側(cè)視圖是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為1的矩形，俯視圖為兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼成的矩形．
(1)求該幾何體的體積V；
(2)求該幾何體的表面積S.
S＝2(11＋1＋12)＝6＋2.
10.正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為2，內(nèi)有一個(gè)球與四個(gè)面都相切，求棱錐的表面積和球的半徑．
11．如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC，如圖2所示．
(1)求證：BC⊥平面ACD；
(2)求幾何體D－ABC的體積．
高考文科數(shù)學(xué) 題型秘籍【40】空間幾何體的表面積和體積解析版
