高考文科數(shù)學(xué) 題型秘籍【37】合情推理與演繹推理解析版

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1、 專題三十七 合情推理與演繹推理 【高頻考點(diǎn)解讀】 1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用．　 2.了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理．　 3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異． 【熱點(diǎn)題型】 題型一 合情推理 例1、平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1；外接圓面積為S2，則＝，推廣到空間可以得到類似結(jié)論；已知正四面體P－ABC的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則＝(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【提分秘籍】 1．合

2、情推理是合乎情理的推理，它包括歸納推理和類比推理，它們都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理． 2．在進(jìn)行類比推理時，要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象所迷惑，否則只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象甚至假象就去類比，就會犯機(jī)械類比的錯誤． 3. 常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類 (1)數(shù)的歸納包括數(shù)學(xué)歸納和式子歸納，解決此類問題時，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系，同時還要聯(lián)系相關(guān)的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等． (2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目歸納和圖形變化規(guī)律歸納． 【舉一反三】 用火柴棒擺“金魚”，如圖所示： 按照上面的

3、規(guī)律，第n條“金魚”需要火柴棒的根數(shù)為________． 答案：6n＋2 【熱點(diǎn)題型】 題型二 演繹推理 例2、已知函數(shù)f(x)＝－(a>0且a≠1)． (1)證明：函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱； (2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值． 【提分秘籍】 1.在數(shù)學(xué)中，通常由已知條件歸納出一個結(jié)論，或運(yùn)用類比推理給出某個結(jié)論，再運(yùn)用演繹推理進(jìn)行嚴(yán)格證明．也就是說，合情推理的結(jié)論需要演繹推理的驗證，而演繹推理的內(nèi)容一般是通過合情推理獲得的．在前提和推理形式都正確的情況下，通過演繹推理所推出的結(jié)論一定是正確的． 2. 演繹推理是

4、由一般到特殊的推理，常用的一般模式為三段論，演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊(yùn)含關(guān)系，解題時要找準(zhǔn)正確的大前提，一般地，若大前提不明確時，可找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提． 【舉一反三】 “因為指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)(大前提)，而y＝x是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以y＝x是增函數(shù)(結(jié)論)”，上面推理的錯誤是(　　) A．大前提錯導(dǎo)致結(jié)論錯 B．小前提錯導(dǎo)致結(jié)論錯 C．推理形式錯導(dǎo)致結(jié)論錯 D．大前提和小前提錯都導(dǎo)致結(jié)論錯 【熱點(diǎn)題型】 題型三 類比推理 例3、　已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，則am＋n＝.類比等差數(shù)列

5、{an}的上述結(jié)論，對于等比數(shù)列{bn}(bn>0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，則可以得到bm＋n＝________. 【提分秘籍】 類比推理的應(yīng)用一般為類比定義、類比性質(zhì)和類比方法 (1)類比定義：在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時，可以借助原定義來求解． (2)類比性質(zhì)：從一個特殊式子的性質(zhì)、一個特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問題，求解時要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵； (3)類比方法：有一些處理問題的方法具有類比性，我們可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中，注意知識的遷移． 【舉一反

6、三】 在等比數(shù)列{an}中，若r， s，t是互不相等的正整數(shù)，則有等式aaa＝1成立．類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，在等差數(shù)列{bn}中，若r，s，t是互不相等的正整數(shù)，則有等式________成立． 【熱點(diǎn)題型】 題型四 情推理與證明的交匯創(chuàng)新問題 例4、某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)： ①sin213＋cos217－sin 13cos 17； ②sin215＋cos215－sin 15cos 15； ③sin218＋cos212－sin 18cos 12； ④sin2(－18)＋cos248－sin(－18)cos 48； ⑤s

7、in2(－25)＋cos255－sin(－25)cos 55. (1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)； (2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論． 【提分秘籍】 1.解決本題的關(guān)鍵 (1)正確應(yīng)用三角恒等變換，用一個式子把常數(shù)求出來． (2)通過觀察各個等式的特點(diǎn)，找出共性，利用歸納推理正確得出一個三角恒等式，并給出正確的證明． 2. 合情推理與證明的交匯問題是近年來高考命題的又一創(chuàng)新點(diǎn)，三角恒等式的推理與證明相結(jié)合出現(xiàn)在解答題中，解決此類問題首先要通過觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性，然后把這種相似性推廣到一個明確表達(dá)的一般命題，最后進(jìn)行證

8、明檢驗． 【舉一反三】 已知橢圓具有性質(zhì)：若M，N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值．試對雙曲線－＝1寫出具有類似特征的性質(zhì)，并加以證明． 【高考風(fēng)向標(biāo)】 1．（20xx福建卷） 已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三個關(guān)系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一個正確，則100a＋10b＋c等于________． 2．（20xx全國新課標(biāo)卷Ⅰ） 甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A，B，C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市．乙說：我

9、沒去過C城市．丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市． 由此可判斷乙去過的城市為________． 3．（20xx陜西卷） 已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，則f20xx(x)的表達(dá)式為________． 　　　　　　　　　　　　　 4．（20xx湖北卷）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)x，y均為整數(shù)，則稱點(diǎn)P為格點(diǎn)．若一個多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn)，則稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形．格點(diǎn)多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N，邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L.例如圖1－3中△ABC是格點(diǎn)三角形，對應(yīng)的S＝1，N＝0，L＝4. 圖1－3 (1

10、)圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對應(yīng)的S，N，L分別是________； (2)已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c為常數(shù)，若某格點(diǎn)多邊形對應(yīng)的N＝71，L＝18，則S＝________(用數(shù)值作答)． 5．（20xx山東卷）定義“正對數(shù)”：ln＋x＝現(xiàn)有四個命題： ①若a>0，b>0，則ln＋(ab)＝bln＋a； ②若a>0，b>0，則ln＋(ab)＝ln a＋ln＋b； ③若a>0，b>0，則ln＋≥ln＋a－ln＋b； ④若a>0，b>0，則ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2. 其中的真命題有________．(寫出所有真命題的編號)

11、 6．（20xx陜西卷）觀察下列等式 (1＋1)＝21 (2＋1)(2＋2)＝2213 (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23135 …… 照此規(guī)律，第n個等式可為______________． 【隨堂鞏固】 1．通過圓與球的類比，由“半徑為R的圓的內(nèi)接矩形中，以正方形的面積為最大，最大值為2R2”猜想關(guān)于球的相應(yīng)命題為(　　) A．半徑為R的球的內(nèi)接六面體中，以正方體的體積為最大，最大值為2R2 B．半徑為R的球的內(nèi)接六面體中，以正方體的體積為最大，最大值為3R3 C．半徑為R的球的內(nèi)接六面體中，以正方體的體積為最大，最大值為 D．半徑為R的球的內(nèi)接六面

12、體中，以正方體的體積為最大，最大值為 2．如果正整數(shù)a的各位數(shù)字之和等于6，那么稱a為“好數(shù)”(如：6,24,2 013等均為“好數(shù)”)，將所有“好數(shù)”從小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2 013，則n＝(　　) A．50　　　　　　　　　　 B．51 C．52 D．53 3．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin (x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理(　　) A．結(jié)論正確 B．大前提不正確 C．小前提不正確 D．全不正確 4．當(dāng)x∈(0，＋∞)時可得到不等式x＋≥2，x＋＝＋＋2≥3，由此可以推廣為x＋≥n＋1，取

13、值p等于(　　) A．nn B．n2 C．n D．n＋1 5．設(shè)△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝；類比這個結(jié)論可知：四面體S－ABC的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為R，四面體S－ABC的體積為V，則R＝(　　) A. B. C. D. 6．給出下列三個類比結(jié)論： ①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn； ②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋

14、b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. 其中結(jié)論正確的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 7．如圖是網(wǎng)絡(luò)工作者經(jīng)常用來解釋網(wǎng)絡(luò)運(yùn)作的蛇形模型：數(shù)字1出現(xiàn)在第1行；數(shù)學(xué)2,3出現(xiàn)在第2行；數(shù)字6,5,4(從左至右)出現(xiàn)在第3行；數(shù)字7,8,9,10出現(xiàn)在第4行，依次類推，則(1)按網(wǎng)絡(luò)運(yùn)作順序第n行第1個數(shù)字(如第2行第1個數(shù)字為2，第3行第1個數(shù)字為4，…)是________；(2)第63行從左至右的第3個數(shù)字應(yīng)是________． 8．定義映射f：A→B，其中A＝{(m，n)}|m，n∈R}，B＝R，已知對所有的有序正整數(shù)對(m，n)滿足下述

15、條件： ①f(m,1)＝1；②若n>m，f(m，n)＝0；③f(m＋1，n)＝n[f(m，n)＋f(m，n－1)]，則f(2,2)＝________，f(n,2)＝________. 9．平面中的三角形和空間中的四面體有很多相類似的性質(zhì)，例如在三角形中：(1)三角形兩邊之和大于第三邊；(2)三角形的面積S＝底高；(3)三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的；…… 請類比上述性質(zhì)，寫出空間中四面體的相關(guān)結(jié)論． 10．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝，n∈N*，猜想這個數(shù)列的通項公式，這個猜想正確嗎？請說明理由． 11．集合A是由具備下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)組成的： ①函數(shù)f(x)的定義域是[0，＋∞)； ②函數(shù)f(x)的值域是[－2,4)； ③函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)． 試分別探究下列問題： (1)判斷函數(shù)f1(x)＝－2(x≥0)及f2(x)＝4－6x(x≥0)是否屬于集合A，并簡要說明理由； (2)對于(1)中你認(rèn)為屬于集合A的函數(shù)f(x)，不等式f(x)＋f(x＋2)<2f(x＋1)是否對于任意的x≥0恒成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．