高考文科數(shù)學(xué) 題型秘籍【24】平面向量的概念及其線性運算原卷版

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1、 【高頻考點解讀】 1.了解向量的實際背景．　 2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義．　 3.理解向量的幾何表示．　 4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義．　 5.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義．　 6.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義． 【熱點題型】 題型一 向量的有關(guān)概念 例1、設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個數(shù)是(　　) A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3

2、 【舉一反三】 下列說法中正確的是(　　) A．只有方向相同或相反的向量是平行向量 B．零向量的長度為零 C．長度相等的兩個向量是相等向量 D．共線向量是在一條直線上的向量 【熱點題型】 題型二 向量的線性運算 例2、D是△ABC的邊BA上的中點，則向量等于(　　) A．－＋ B．－－ C.－ D.＋ 【提分秘籍】 1．兩個向量的和仍是一個向量． 2．利用三角形法則進行加法運算時，兩向量要首尾相連，和向量由第一個向量的起點指向第二個向量的終點(可結(jié)合物理中位移的合成來認識)；利用平行四邊形法則進行加法運算時，兩向量要有相同的起點(可結(jié)合物理中力的合成

3、來認識．) 3．當(dāng)兩個向量共線時，三角形法則仍適用，而平行四邊形法則不適用． 4．利用三角形法則進行減法運算時，兩個向量要有相同的起點，然后連接兩向量的終點，并指向被減向量即為差向量． 5．實數(shù)和向量可以求積，但不能求和或求差． 6．λ＝0或a＝0?λa＝0. 【舉一反三】 在?ABCD中，A＝a，A＝b，A＝3N，M為BC的中點，則M＝________.(用a，b表示) 題型三 共線向量定理 例3、設(shè)兩個非零向量a與b不共線． (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求證：A，B，D三點共線； (2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線． 【提分秘籍】

4、 1．一般地，解決向量a，b共線問題，可用兩個不共線向量(如e1，e2)表示向量a，b，設(shè)b＝λa(a≠0)，化成關(guān)于e1，e2的方程(λ)e1＋φ(λ)e2＝0，由于e1，e2不共線，則，解方程組即可． 2．注意充要條件中a≠0，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個． 3．向量共線的充要條件中要注意當(dāng)兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法和方程思想的運用． 4．證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線． 【舉一反三】 設(shè)a，b是兩個非零向量，則下列選項正確的是(　　)

5、 A．若|a－b|＝|a|－|b|，則a⊥b B．若a⊥b，則|a－b|＝|a|＋|b| C．若|a－b|＝|a|－|b|，則a，b共線 D．若a，b平行，則|a＋b|＝|a|＋|b| 【熱點題型】 【提分秘籍】 向量具有幾何和代數(shù)的雙重特征，因此它具有很強的延伸性，在各種考題中常常會出現(xiàn)以向量為背景的新定義問題．此類問題一般結(jié)合向量知識給出一些新定義、新信息，然后讓考生利用這些新定義、新信息以及所學(xué)的知識來解題． 本題以共線向量為背景，結(jié)合不等式，通過創(chuàng)新情境，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，在整個解題過程中所給的定義是解題的重要依據(jù)和方法． 【舉一反三】 對任意兩個非零的平

6、面向量α和β，定義α°β＝.若兩個非零的平面向量a，b滿足a與b的夾角θ∈，且a°b和b°a都在集合中，則a°b＝(　　) A.　　　　　　 B. C．1 D. 【高考風(fēng)向標】 1．（20xx福建卷）設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則＋＋＋等于(　　) A. B．2 C．3 D．4 2．（20xx江西卷）已知單位向量e1，e2的夾角為α，且cos α＝.若向量a＝3e1－2e2，則|a|＝________． 3．（20xx遼寧卷）設(shè)a，b，c是非零向量，已知命題p：若ab＝0，bc＝0，則＝0；

7、命題q：若a∥b，b∥c，則a∥c.則下列命題中真命題是(　　) A． p∨q B．p∧q C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q) 4．（20xx全國新課標卷Ⅰ] 設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則＋＝(　　) A. B. C. D. 5．（20xx四川卷）平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m＝________． 6．（20xx江蘇卷）設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為______

8、__． 7．（20xx四川卷）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A＋C)＝－. (1)求sin A的值； (2)若a＝4 ，b＝5，求向量在方向上的投影． 8．（20xx四川卷）如圖1－6，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，＋＝λ，則λ＝________. 圖1－6 9．（20xx重慶卷）在OA為邊，OB為對角線的矩形中，＝(－3，1)， ＝(－2，k)，則實數(shù)k＝________． 【隨堂鞏固】 1.如圖所示，已知＝2，＝a，＝b，＝c，則下列等式中成立的是(　　) A．c

9、＝b－a　　　　 B．c＝2b－a C．c＝2a－b D．c＝a－b 2．在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若＝2，＝＋λ，則λ＝(　　) A．－　　　　B．－　　　　C.　　　　D. 3.如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是DC，BC的中點，那么＝(　　) A.＋ B．－－ C．－＋ D.－ 4．已知平面內(nèi)有一點P及一個△ABC，若＋＋＝，則(　　) A．點P在△ABC外部 B．點P在線段AB上 C．點P在線段BC上 D．點P在線段AC上 5．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四邊形ABCD為平行四邊形，則(　　) A．a(chǎn)－b＋c－d＝0

10、 B．a(chǎn)－b＋c＋d＝0 C．a(chǎn)＋b－c－d＝0 D．a(chǎn)＋b＋c＋d＝0 6．在△ABC中，N為邊AC上一點，且＝，P是BN上一點，若＝m＋，則實數(shù)m的值為(　　) A. B. C. D. 7．已知在△ABC中，D是AB邊上的一點，＝λ(＋)，||＝2，||＝1，若＝b，＝a，則用a，b表示為(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 8．O是銳角三角形ABC的外心，由O向邊BC，CA，AB引垂線，垂足分別是D，E，F(xiàn)給出下列命題： ①＋＋＝0； ②＋＋＝0； ③||∶||∶||＝cos A∶cos B∶cos C； ④?λ∈R，使得＝λ.

11、 以上命題正確的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 9．下列四個命題：①若|a|＝0，則a為零向量；②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；③若a∥b，則|a|＝|b|；④若a＝0，則－a＝0.其中正確個數(shù)有________個． 10．設(shè)a，b是兩個不共線的非零向量，若8a＋kb與ka＋2b共線，則實數(shù)k＝________. 11．已知△ABC和點M滿足＋＋＝0.若存在實數(shù)m使得＋＝m成立，則m＝________. 12．已知P為△ABC內(nèi)一點，且3＋4＋5＝0.延長AP交BC于點D，若＝a，＝b，用a，b表示向量、. 13.設(shè)點O在△ABC內(nèi)部，且有4＋＋＝0，求△ABC的面積與△OBC的面積之比． 15.如圖所示，△ABC中，點M是BC的中點，點N在邊AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點P，求AP∶PM的值．