《2020版高考理科數(shù)學人教版一輪復習講義：第九章 第四節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考理科數(shù)學人教版一輪復習講義：第九章 第四節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 Word版含答案（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第四節(jié)第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系(半徑為半徑為 r，圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為 d)相離相離相切相切相交相交圖形圖形量量化化方程觀點方程觀點000幾何觀點幾何觀點drdrdr2圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的圓心距為設(shè)兩圓的圓心距為 d，兩圓的半徑分別為，兩圓的半徑分別為 R，r(Rr)，則，則位置關(guān)系位置關(guān)系外離外離外切外切相交相交內(nèi)切內(nèi)切內(nèi)含內(nèi)含公共點個數(shù)公共點個數(shù)01210d，R，r 的關(guān)系的關(guān)系dRrdRrRrdRrdRrdRr公切線條數(shù)公切線條數(shù)43210判斷圓與圓位置關(guān)系的注意點判斷圓與圓位置
2、關(guān)系的注意點對于圓與圓的位置關(guān)系，從交點的個數(shù)，也就是方程組的解的個數(shù)來判斷，有時得不到對于圓與圓的位置關(guān)系，從交點的個數(shù)，也就是方程組的解的個數(shù)來判斷，有時得不到確切的結(jié)論確切的結(jié)論如當如當0 時時，需要再根據(jù)圖形判斷兩圓是外離需要再根據(jù)圖形判斷兩圓是外離，還是內(nèi)含還是內(nèi)含；當當0 時時，還需要還需要判斷兩圓是外切，還是內(nèi)切判斷兩圓是外切，還是內(nèi)切熟記常用結(jié)論熟記常用結(jié)論1圓的切線方程常用結(jié)論圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓過圓 x2y2r2上一點上一點 P(x0，y0)的圓的切線方程為的圓的切線方程為 x0 xy0yr2.(2)過圓過圓(xa)2(yb)2r2上一點上一點 P(x0，y0)的
3、圓的切線方程為的圓的切線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)過圓過圓 x2y2r2外一點外一點 M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為 x0 xy0yr2.2圓系方程圓系方程(1)同心圓系方程：同心圓系方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，其中，其中 a，b 是定值，是定值，r 是參數(shù)；是參數(shù)；(2)過直線過直線 AxByC0 與圓與圓 x2y2DxEyF0 交點的圓系方程交點的圓系方程： x2y2DxEyF(AxByC)0(R)；(3)過圓過圓 C1：x2y2D1xE1yF10 和圓和圓 C2：x2y2D2xE2yF2
4、0 交點的圓系方交點的圓系方程程：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)(該圓系不含圓該圓系不含圓 C2，解題時解題時，注意檢驗圓注意檢驗圓 C2是否滿足題意，以防漏解是否滿足題意，以防漏解)小題查驗基礎(chǔ)小題查驗基礎(chǔ)一、判斷題一、判斷題(對的打?qū)Φ拇颉啊保e的打，錯的打“”“”)(1)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切()(2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交()(3)從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方從
5、兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程程()(4)如果直線與圓組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切如果直線與圓組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切()答案：答案：(1)(2)(3)(4)二、選填題二、選填題1直線直線 l：x 3y40 與圓與圓 C：x2y24 的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是()A相交過圓心相交過圓心B相交不過圓心相交不過圓心C相切相切D相離相離解析：解析：選選 C圓心坐標為圓心坐標為(0,0)，圓心到直線，圓心到直線 l 的距離的距離 d|4|22r，所以直線，所以直線 l 與圓與圓 C相切故選相切故選 C.2圓圓 O1：x2y22x0 和圓和圓
6、 O2：x2y24y0 的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是()A外離外離B.相交相交C外切外切D內(nèi)切內(nèi)切解析：解析：選選 B圓圓 O1：(x1)2y21，圓圓 O2：x2(y2)24，|O1O2| 10 2 02 2 5，|21|O1O2|21，兩圓相交故選兩圓相交故選 B.3若直線若直線 xy10 與圓與圓(xa)2y22 有公共點，則實數(shù)有公共點，則實數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是()A3，1B.1,3C3,1D(，31，)解析：解析：選選 C由題意可得，圓的圓心為由題意可得，圓的圓心為(a,0)，半徑為，半徑為 2，所以所以|a01|12 1 2 2，即即|a1|2，解得，解得3a1，故選，故選
7、 C.4 已知直線已知直線 l： yk(x 3)和圓和圓 C： x2(y1)21， 若直線若直線 l 與圓與圓 C 相切相切， 則則 k_.解析解析：因為直線因為直線 l 與圓與圓 C 相切相切，所以圓心所以圓心 C 到直線到直線 l 的距離的距離 d|1 3k|1k21，解得解得 k0 或或 k 3.答案：答案：0 或或 35直線直線 l：3xy60 與圓與圓 x2y22x4y0 相交于相交于 A，B 兩點，則兩點，則|AB|_.解析：解析：由由 x2y22x4y0，得，得(x1)2(y2)25，所以該圓的圓心坐標為所以該圓的圓心坐標為(1,2)，半徑，半徑 r 5，又圓心又圓心(1,2)到
8、直線到直線 3xy60 的距離為的距離為 d|326|32 1 2102，由，由|AB|22r2d2，得，得|AB|24552 10，即，即|AB| 10.答案：答案： 10考點一考點一直線與圓的位置關(guān)系的判斷直線與圓的位置關(guān)系的判斷師生共研過關(guān)師生共研過關(guān)典例精析典例精析(1)直線直線 l：mxy1m0 與圓與圓 C：x2(y1)25 的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是()A相交相交B相切相切C相離相離D不確定不確定(2)直線直線 y33xm 與圓與圓 x2y21 在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點，則則 m 的取值范圍的取值范圍是是()A( 3，2)B.( 3，3)C.33，2
9、 33D.1，2 33(3)若圓若圓 x2y2r2(r0)上恒有上恒有 4 個點到直線個點到直線 xy20 的距離為的距離為 1，則實數(shù)，則實數(shù) r 的取值范的取值范圍是圍是()A( 21，)B.( 21， 21)C(0， 21)D(0， 21)解析解析(1)法一：法一：(代數(shù)法代數(shù)法)由由mxy1m0，x2 y1 25，消去消去 y，整理得，整理得(1m2)x22m2xm250，因為因為16m2200，所以直線，所以直線 l 與圓相交與圓相交法二：法二：(幾何法幾何法)由題意知，圓心由題意知，圓心(0,1)到直線到直線 l 的距離的距離d|m|m211 5，故直線，故直線 l 與圓相交與圓相
10、交法三：法三：易得直線易得直線 l 過定點過定點(1,1)把點把點(1,1)代入圓的方程有代入圓的方程有 10 5，點點(1,1)在圓的內(nèi)在圓的內(nèi)部，故直線部，故直線 l 與圓與圓 C 相交相交(2)當直線經(jīng)過點當直線經(jīng)過點(0,1)時，直線與圓有兩個不同的交點，此時時，直線與圓有兩個不同的交點，此時 m1；當直線與圓相切時；當直線與圓相切時，圓心到直線的距離圓心到直線的距離 d|m|33211，解得，解得 m2 33(切點在第一象限切點在第一象限)，所以要使直線與圓在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點，所以要使直線與圓在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點，則則 1m2 33.(3)計算得圓心到直線計算得圓心
11、到直線 l 的距離為的距離為22 21，如圖如圖，直線直線 l：xy20 與圓相交，與圓相交，l1，l2與與 l 平行，且與直線平行，且與直線 l 的距離為的距離為 1，故可以看出，圓的半，故可以看出，圓的半徑應(yīng)該大于圓心到直線徑應(yīng)該大于圓心到直線 l2的距離的距離 21.答案答案(1)A(2)D(3)A解題技法解題技法判斷直線與圓的位置關(guān)系的一般方法判斷直線與圓的位置關(guān)系的一般方法幾何法幾何法圓心到直線的距離與圓半徑比較大小圓心到直線的距離與圓半徑比較大小，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系即可判斷直線與圓的位置關(guān)系這種方法這種方法的特點是計算量較小的特點是計算量較小代數(shù)法代數(shù)法將直線方程與圓方程聯(lián)
12、立方程組將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組，再將二次方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程再將二次方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，該方程該方程解的情況即對應(yīng)直線與圓的位置關(guān)系解的情況即對應(yīng)直線與圓的位置關(guān)系這種方法具有一般性這種方法具有一般性，適合于判斷直線與適合于判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系圓錐曲線的位置關(guān)系過關(guān)訓練過關(guān)訓練1已知點已知點 M(a，b)在圓在圓 O：x2y21 外外，則直線則直線 axby1 與圓與圓 O 的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是()A相切相切B.相交相交C相離相離D不確定不確定解析：解析：選選 B因為因為 M(a，b)在圓在圓 O：x2y21 外，所以外，所以 a2b21，而圓心，而圓心 O 到直線
13、到直線 axby1 的距離的距離 d1a2b21.所以直線與圓相交所以直線與圓相交2(2019杭州模擬杭州模擬)若無論實數(shù)若無論實數(shù) a 取何值時，直線取何值時，直線 axya10 與圓與圓 x2y22x2yb0 都相交，則實數(shù)都相交，則實數(shù) b 的取值范圍為的取值范圍為()A(，2)B.(2，)C(，6)D(6，)解析解析：選選 Cx2y22x2yb0 表示圓表示圓，84b0，即即 b2.直線直線 axya10 過定點過定點(1，1)，點點(1，1)在圓在圓 x2y22x2yb0 的內(nèi)部，的內(nèi)部，6b0，解，解得得 b6，b 的取值范圍是的取值范圍是(，6)故選故選 C.3圓圓(x3)2(y
14、3)29 上到直線上到直線 3x4y110 的距離等于的距離等于 1 的點的個數(shù)為的點的個數(shù)為()A1B.2C3D4解析解析：選選 C由圓的方程知圓心坐標為由圓的方程知圓心坐標為(3,3)，半徑為半徑為 3，如圖所示如圖所示，因因為圓心到直線的距離為為圓心到直線的距離為|91211|52，又因為圓的半徑為，又因為圓的半徑為 3，所以直線與，所以直線與圓相交，故圓上到直線的距離為圓相交，故圓上到直線的距離為 1 的點有的點有 3 個個考點二考點二圓與圓的位置關(guān)系及應(yīng)用圓與圓的位置關(guān)系及應(yīng)用 師生共研過關(guān)師生共研過關(guān)典例精析典例精析已知圓已知圓 C1：(xa)2(y2)24 與圓與圓 C2：(xb
15、)2(y2)21 外切，則外切，則 ab 的最大值為的最大值為()A.62B.32C.94D2 3解析解析由圓由圓 C1與圓與圓 C2外切外切，可得可得 ab 2 22 2213，即即(ab)29.根據(jù)基根據(jù)基本不等式可知本不等式可知 abab2294，當且僅當，當且僅當 ab 時等號成立，時等號成立，ab 的最大值為的最大值為94.答案答案C解題技法解題技法圓與圓位置關(guān)系問題的解題策略圓與圓位置關(guān)系問題的解題策略(1)判斷兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)判斷兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法系，一般
16、不采用代數(shù)法(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去 x2，y2項得到項得到過關(guān)訓練過關(guān)訓練1如果圓如果圓 C：x2y22ax2ay2a240 與圓與圓 O：x2y24 總相交總相交，那么實數(shù)那么實數(shù) a 的取的取值范圍是值范圍是_解析：解析：圓圓 C 的標準方程為的標準方程為(xa)2(ya)24，圓心坐標為圓心坐標為(a，a)，半徑為，半徑為 2.依題意得依題意得 0 a2a24，0|a|2 2.a(2 2，0)(0,2 2)答案：答案：(2 2，0)(0,2 2)2已知兩圓已知兩圓 x2y22x6y10
17、，x2y210 x12ym0.(1)m 取何值時兩圓外切？取何值時兩圓外切？(2)m 取何值時兩圓內(nèi)切？取何值時兩圓內(nèi)切？(3)當當 m45 時，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長時，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長解：解：因為兩圓的標準方程分別為因為兩圓的標準方程分別為(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，所以兩圓的圓心分別為所以兩圓的圓心分別為(1,3)，(5,6)，半徑分別為，半徑分別為 11， 61m，(1)當兩圓外切時，由當兩圓外切時，由 51 2 63 2 11 61m，得，得 m2510 11.(2)當兩圓內(nèi)切時當兩圓內(nèi)切時，因為定圓半徑因為定圓半徑
18、 11小于兩圓圓心之間的距離小于兩圓圓心之間的距離 5，所以所以 61m 115，解得解得 m2510 11.(3)由由(x2y22x6y1)(x2y210 x12y45)0，得兩圓的公共弦所在直線的方程得兩圓的公共弦所在直線的方程為為 4x3y230.故兩圓的公共弦的長為故兩圓的公共弦的長為2 11 2|43323|423222 7.考點三考點三圓的弦長問題圓的弦長問題 師生共研過關(guān)師生共研過關(guān)典例精析典例精析(1)(2019太原模擬太原模擬)若若 3a23b24c20，則直線則直線 axbyc0 被圓被圓 O：x2y21 所截得所截得的弦長為的弦長為()A.23B1C.12D.34(2)(
19、2019成都模擬成都模擬)已知直線已知直線 axbyc0 與圓與圓 O：x2y21 相交于相交于 A，B 兩點兩點，且且|AB| 3，則，則 OA OB的值是的值是()A12B.12C43D0解析解析(1)因為因為 a2b243c2，所以圓心，所以圓心 O(0,0)到直線到直線 axbyc0 的距離的距離 d|c|a2b232，所以直線，所以直線 axbyc0 被圓被圓 x2y21 所截得的弦長為所截得的弦長為 2123222121，選，選 B.(2)在在OAB 中中， |OA|OB|1， |AB| 3， 可得可得AOB120， 所以所以 OA OB11cos12012.答案答案(1)B(2)
20、A解題技法解題技法有關(guān)弦長問題的有關(guān)弦長問題的 2 種求法種求法幾幾何何法法直線被圓截得的半弦長直線被圓截得的半弦長l2，弦心距，弦心距 d 和圓的半徑和圓的半徑 r 構(gòu)成直角三角形，即構(gòu)成直角三角形，即 r2l22d2代代數(shù)數(shù)法法聯(lián)立直線方程和圓的方程聯(lián)立直線方程和圓的方程，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 的一元二次方程的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得弦長可求得弦長|AB| 1k2|x1x2| 1k2 x1x2 24x1x2或或|AB|11k2|y1y2|11k2 y1y2 24y1y2過關(guān)訓練過關(guān)訓練1已知圓已知圓 C：(x1)2(y2)22 截截 y 軸所得線
21、段與截直線軸所得線段與截直線 y2xb 所得線段的長度相所得線段的長度相等，則等，則 b()A 6B. 6C 5D 5解析解析：選：選 D記圓記圓 C 與與 y 軸的兩個交點分別是軸的兩個交點分別是 A，B，由圓心，由圓心 C 到到 y 軸的距離為軸的距離為 1，|CA|CB| 2可知，圓心可知，圓心 C(1,2)到直線到直線 2xyb0 的距離也等于的距離也等于 1 才符合題意，于是才符合題意，于是|212b|51，解得，解得 b 5.2 在直角坐標在直角坐標系系 xOy 中中， 曲曲線線 yx2mx2 與與 x 軸交軸交于于 A， B 兩點兩點， 點點 C 的坐標為的坐標為(0,1) 當當
22、m 變化時，解答下列問題：變化時，解答下列問題：(1)能否出現(xiàn)能否出現(xiàn) ACBC 的情況？說明理由；的情況？說明理由；(2)證明過證明過 A，B，C 三點的圓在三點的圓在 y 軸上截得的弦長為定值軸上截得的弦長為定值解：解：(1)不能出現(xiàn)不能出現(xiàn) ACBC 的情況，理由如下：的情況，理由如下：設(shè)設(shè) A(x1,0)，B(x2,0)，則，則 x1，x2是方程是方程 x2mx20 的兩根，所以的兩根，所以 x1x22，又點，又點 C 的的坐標為坐標為(0,1)，則，則 AC BC(x1,1)(x2,1)x1x212110，所以不能出現(xiàn)，所以不能出現(xiàn) ACBC 的情況的情況(2)證明證明：設(shè)過設(shè)過 A
23、，B，C 三點的圓與三點的圓與 y 軸的另一個交點為軸的另一個交點為 D，由由 x1x22 可知原點可知原點 O 在在圓內(nèi)，則由相交弦定理可得圓內(nèi)，則由相交弦定理可得|OC|OD|OA|OB|x1|x2|2.又又|OC|1，所以，所以|OD|2，所以過，所以過 A，B，C 三點的圓在三點的圓在 y 軸上截得的弦長為軸上截得的弦長為|OC|OD|3，為定值，為定值考點四考點四圓的切線問題圓的切線問題 師生共研過關(guān)師生共研過關(guān)典例精析典例精析已知點已知點 P( 21,2 2)，點，點 M(3,1)，圓，圓 C：(x1)2(y2)24.(1)求過點求過點 P 的圓的圓 C 的切線方程；的切線方程；(
24、2)求過點求過點 M 的圓的圓 C 的切線方程，并求出切線長的切線方程，并求出切線長解解由題意得圓心由題意得圓心 C(1,2)，半徑，半徑 r2.(1)( 211)2(2 22)24，點點 P 在圓在圓 C 上上又又 kPC2 222111，切線的斜率切線的斜率 k1kPC1.過點過點 P 的圓的圓 C 的切線方程是的切線方程是y(2 2)x( 21)，即，即 xy12 20.(2)(31)2(12)254，點點 M 在圓在圓 C 外部外部當過點當過點 M 的直線斜率不存在時，直線方程為的直線斜率不存在時，直線方程為 x3，即即 x30.又點又點 C(1,2)到直線到直線 x30 的距離的距離
25、 d312r，即此時滿足題意，所以直線即此時滿足題意，所以直線 x3 是圓的切線是圓的切線當切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為當切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為 y1k(x3)，即即 kxy13k0，則圓心則圓心 C 到切線的距離到切線的距離 d|k213k|k21r2，解得解得 k34.切線方程為切線方程為 y134(x3)，即，即 3x4y50.綜上可得，過點綜上可得，過點 M 的圓的圓 C 的切線方程為的切線方程為 x30 或或 3x4y50.|MC| 31 2 12 25，過點過點 M 的圓的圓 C 的切線長為的切線長為 |MC|2r2 541.解題技法解題技法1求過圓上的一點求過圓上的一點
26、(x0，y0)的切線方程的方法的切線方程的方法先求切點與圓心連線的斜率先求切點與圓心連線的斜率 k，若，若 k 不存在，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為不存在，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為 yy0；若若 k0，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為 xx0；若；若 k 存在且存在且 k0，則由垂直關(guān)系知切線，則由垂直關(guān)系知切線的斜率為的斜率為1k，由點斜式可寫出切線方程，由點斜式可寫出切線方程2求過圓外一點求過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程的的圓的切線方程的 2 種方法種方法幾何法幾何法當斜率存在時，設(shè)為當斜率存在時，設(shè)為 k，則切線方程為，則切線方程為 yy0k
27、(xx0)，即，即 kxyy0kx00.由圓心到直線的距離等于半徑由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出即可求出 k 的值的值，進而寫出切進而寫出切線方程線方程代數(shù)法代數(shù)法當斜率存在時，設(shè)為當斜率存在時，設(shè)為 k，則切線方程為，則切線方程為 yy0k(xx0)，即，即 ykxkx0y0，代入圓的方程代入圓的方程，得到一個關(guān)于得到一個關(guān)于 x 的一元二次方程的一元二次方程，由由0，求求得得k，切線方程即可求出，切線方程即可求出提醒提醒當點當點(x0，y0)在圓外時，一定要注意斜率不存在的情況在圓外時，一定要注意斜率不存在的情況過關(guān)訓練過關(guān)訓練1(2019杭州模擬杭州模擬)由直線由直線 yx1 上的
28、一點向圓上的一點向圓(x3)2y21 引切線，則切線長的最引切線，則切線長的最小值為小值為()A1B2C. 7D3解析解析： 選選 C切線長的最小值是當直線切線長的最小值是當直線 yx1 上的點與圓心距離最小時取得上的點與圓心距離最小時取得， 圓心圓心(3,0)到直線的距離為到直線的距離為 d|301|22 2，故切線長的最小值為，故切線長的最小值為 d2r2 7.2(2018湖北四地七校聯(lián)考湖北四地七校聯(lián)考)若圓若圓 O1：x2y25 與圓與圓 O2：(xm)2y220 相交于相交于 A，B兩點，且兩圓在點兩點，且兩圓在點 A 處的切線互相垂直，則線段處的切線互相垂直，則線段 AB 的長度是
29、的長度是()A3B.4C2 3D8解析解析：選選 B連接連接 O1A，O2A，由于由于O1與與O2在點在點 A 處的切線互處的切線互相垂直，因此相垂直，因此 O1AO2A，所以，所以|O1O2|2|O1A|2|O2A|2，即，即 m252025，設(shè)，設(shè) AB 交交 x 軸于點軸于點 C.在在 RtO1AO2中，中，sinAO2O155，在在 RtACO2中，中，|AC|AO2|sinAO2O12 5552，|AB|2|AC|4.故選故選 B.考點五考點五直線與圓的綜合問題直線與圓的綜合問題師生共研過關(guān)師生共研過關(guān)典例精析典例精析已知過原點的動直線已知過原點的動直線 l 與圓與圓 C1：x2y2
30、6x50 相交于不同的兩點相交于不同的兩點 A，B.(1)求圓求圓 C1的圓心坐標；的圓心坐標；(2)求線段求線段 AB 的中點的中點 M 的軌跡的軌跡 C 的方程；的方程；(3)是否存在實數(shù)是否存在實數(shù) k，使得直線使得直線 L：yk(x4)與曲線與曲線 C 只有一個交點？若存在只有一個交點？若存在，求出求出 k 的的取值范圍；若不存在，說明理由取值范圍；若不存在，說明理由解：解：(1)因為圓因為圓 C1的方程的方程 x2y26x50 可化為可化為(x3)2y24，所以圓心坐標為，所以圓心坐標為(3,0)(2)設(shè)設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)，M(x0，y0)，則則 x0
31、 x1x22，y0y1y22.由題意可知直線由題意可知直線 l 的斜率必存在，的斜率必存在，設(shè)直線設(shè)直線 l 的方程為的方程為 ytx.將上述方程代入圓將上述方程代入圓 C1的方程，的方程，化簡得化簡得(1t2)x26x50.由題意，可得由題意，可得 x1x261t2，3620(1t2)0，(*)所以所以 x031t2，代入直線，代入直線 l 的方程，得的方程，得 y03t1t2.因為因為 x20y209 1t2 29t2 1t2 29 1t2 1t2 291t23x0，所以所以x0322y2094.由由(*)解得解得 t245.又又 t20，所以，所以53x03.所以線段所以線段 AB 的中
32、點的中點 M 的軌跡的軌跡 C 的方程為的方程為x322y29453x3.(3)存在實數(shù)存在實數(shù) k 滿足條件由滿足條件由(2)知，曲線知，曲線 C 是在區(qū)間是在區(qū)間53，3上的一段圓弧上的一段圓弧如圖，如圖，D53，2 53，E53，2 53，F(xiàn)(3,0)，直線直線 L 過定點過定點 G(4,0)聯(lián)立直線聯(lián)立直線 L 的方程與曲線的方程與曲線 C 的方程，消去的方程，消去 y 整理得整理得(1k2)x2(38k2)x16k20.由由0，解得，解得 k34，由求根公式解得交點的橫坐標為由求根公式解得交點的橫坐標為 x12553，3，由圖可知要使直線由圖可知要使直線 L 與曲線與曲線 C 只有一
33、個交點，只有一個交點，則則 k2 57，2 5734，34 .故所求故所求 k 的取值范圍為的取值范圍為2 57，2 5734，34 .解題技法解題技法直線與圓的綜合問題的求解策略直線與圓的綜合問題的求解策略(1)利用解析幾何的基本思想方法利用解析幾何的基本思想方法(即幾何問題代數(shù)化即幾何問題代數(shù)化)， 把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題， 通過代數(shù)的通過代數(shù)的計算，使問題得到解決計算，使問題得到解決(2)直線與圓和平面幾何聯(lián)系十分緊密，可充分考慮平面幾何知識的運用，如在直線與圓直線與圓和平面幾何聯(lián)系十分緊密，可充分考慮平面幾何知識的運用，如在直線與圓相交的有關(guān)線段長度計算中，要把圓的半徑、
34、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長度相交的有關(guān)線段長度計算中，要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長度放到一起綜合考慮放到一起綜合考慮過關(guān)訓練過關(guān)訓練已知已知 A(2,0)，直線，直線 4x3y10 被圓被圓 C：(x3)2(ym)213(m3)所截得的弦長所截得的弦長為為4 3，且，且 P 為圓為圓 C 上任意一點上任意一點(1)求求|PA|的最大值與最小值；的最大值與最小值；(2)圓圓 C 與坐標軸相交于三點，求以這三個點為頂點的三角形的內(nèi)切圓的半徑與坐標軸相交于三點，求以這三個點為頂點的三角形的內(nèi)切圓的半徑解：解：(1)直線直線 4x3y10 被圓被圓 C：(x3)2(
35、ym)213(m3)所截得的弦長為所截得的弦長為 4 3，圓心到直線的距離圓心到直線的距離d|123m1|5 13 2 2 3 21.m3，m2，|AC| 32 2 20 2 29，|PA|的最大值與最小值分別為的最大值與最小值分別為 29 13， 29 13.(2)由由(1)可得圓可得圓 C 的方程為的方程為(x3)2(y2)213，令令 x0，得，得 y0 或或 4；令；令 y0，得，得 x0 或或6，圓圓 C 與坐標軸相交于三點與坐標軸相交于三點 M(0,4)，O(0,0)，N(6,0)，MON 為直角三角形，斜邊為直角三角形，斜邊|MN|2 13，MON 內(nèi)切圓的半徑為內(nèi)切圓的半徑為462 1325 13.
2020版高考理科數(shù)學人教版一輪復習講義：第九章 第四節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 Word版含答案
