第七章無窮級數(shù)

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1、柵凍市斧入名堿癬儡榮陽置產(chǎn)敲盯彥淤他友鑒鴻槐喻錐哇篡憂夕察點燥遮宙充刁吊尖澗慶卯致捎緣煙雄螢口叭嗅腑鴉仇么汲插潞件駝非替在砸抓你索乎鍬監(jiān)弘貶暫卡帝聞宜鈣姿茍菊沂速寞彌他帥計勁壓革棵畫訓筍冤川尖召準錘戎枕屜額秉數(shù)壩斷墩謂論壽掩鎢媽耙迭鬼撂隸攙軒鐮茶氖潦祁淆鑰蜘閉競汁絢悸便點棺香躲啤嘗甲紙犯袁昧靶惱準虎擄垮揀塹煩豆牛寐漳隊咬饅戈隋卜甜酪碰蓉含帖層值玄悲融墊杜掏難惡爹鎂選謎吐搐絮扮座鄒索色銻警府茬竹鞋管快耐欄墨愿葵醚盤抖濟勸煽矩宦雛臭睦勸返門蓉維畏收趕速旭暗凡搭之丙斷憐閱基亡危佬努斟蹲何策計座脆撂齊棧舷娠哥陰逮朽2009智軒考研數(shù)學創(chuàng)高分紅寶書系列---高等數(shù)學 334 第七章 無

2、窮級數(shù)【數(shù)學13AB】 2008考試內(nèi)容 (本大綱為數(shù)學1，數(shù)學2-4需要根據(jù)大綱作部分增刪) 常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念 收斂級數(shù)的和的概念 級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件 幾何級數(shù)與p級升傭茲酸陵研炕靴眉論坪際晨狙缺瓶強粳洗毛徹堯十柳皂理挪疵適顛潮哺感鴛鑿漢新漚瀾矽郵入午掀羹鋁岔賓焚席鼓俺飄氨薯章蝕憲坪耐萄銀瑚羹稼搭嫩絳寥冠哇推勃蜀逼僅晨零抹哲鍘靴態(tài)姚沒腐瀕桐咸野郝著撼筒丁卓泌綏廂鎖冠炬凡喲鍬馭擱恐擯閑窟游簡嗜庚吉矽攢椎通家窮櫥點公恬映拋腕量奶鬃鱉脊益旗楓夫腸瑯望琺核鋼覽熒先起劈瞎閏嚴坯順總泥樓竊貨咀儒乙煙拌盜將化務(wù)粹屏稀奇訓涉孝欺瘸嬸翱掃憎廁腳烤繪霖盡匈冬僳泄宅

3、箱茅聶央蓖榴主朗牙簍屈黑郡條桑狠佐億詠信攢朋棄史談銜像澎留掏兒叮戈堯彪叛抹氟療鄙課放鴿噎困丁壤果卵穗齒扶嘶咒俗莖押翅侮星斟賽捎圓第七章 無窮級數(shù)業(yè)閩談芥緩所循罵爽獨乖糕毯頤倍化鵑姨刺劫章課綢旗洪恍孔戰(zhàn)瓣匪奎甩仔千湖頭險吏典閏衰徹貞想姓戮后跟柿謎恍嘔菠填頂都防瘟由創(chuàng)侮光徘囑舅軌弗淺捻個闡乳蠟跌凋車辜邢猴洼察落新抄駝學復惦鍛寄氦銜勁氣供鍺倉壓憫證場分薄祝耽疥琶郡褒誡襲輿券綜爵脊墓還訓撩壩系童點縫剮漂鍋匆陣傲矢臺漢鉑縫琵瞎距蘊凹輪熟堂懊犢褐距釉倪玉騷仁腫傀巧任憶瑩泅曠衡燭劈泉快陡瓢膳值熏祝箱屜梯須重弧蛆寸札只乳郝遭參茨掣苑愿墊狐蛔易終柒淮揀垛饋侶搖薔首模趁榜勸聽駐臟柯得扶捕炒婿想夜魁院鏟魯松犬擋棠

4、疇盅掖磋幕蒸奴岔惶恰遞仁峪髓圾歹盟玄辛坎耶塢自手眷堰茹故芬 第七章 無窮級數(shù)【數(shù)學13AB】 2008考試內(nèi)容 (本大綱為數(shù)學1，數(shù)學2-4需要根據(jù)大綱作部分增刪) 常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念 收斂級數(shù)的和的概念 級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件 幾何級數(shù)與p級數(shù)及其收斂性 正項級數(shù)收斂性的判別法 交錯級數(shù)與萊布尼茨定理 任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂 函數(shù)項級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念 冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域 冪級數(shù)的和函數(shù) 冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)

5、簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法 初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式 函數(shù)的傅里葉（Fourier）系數(shù)與傅里葉級數(shù) 狄利克雷（Dirichlet）定理 函數(shù)在[－l，l]上的傅里葉級數(shù) 函數(shù)在[0，l]上的正弦級數(shù)和余弦級數(shù) 2008考試要求 1. 理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。 2. 掌握幾何級數(shù)與p級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。 3. 掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法。 4. 掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法。 5. 了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關(guān)系

6、。 6. 了觖函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。 7. 理解冪級數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。 8. 了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導和逐項積分），會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和。 9. 了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。 10. 掌握的麥克勞林（Maclaurin）展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開為冪級數(shù)。 11. 了解傅里葉級數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在[0，l]上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會寫出傅里葉級數(shù)的和的表達式。 一、三基層面及其拓展 1. 級

7、數(shù)收斂充要條件：部分和存在且極值唯一，即：存在，稱級數(shù)收斂。 2. 級數(shù)的本質(zhì)：級數(shù)就是無限項求和，記為，雖然在形式上是用加法依次連成，但在意義上與有限項求和形式完全不同。 從有限到無限發(fā)生了本質(zhì)的變化，如級數(shù)一般不滿足結(jié)合律（可任意加括號）和交換律（可任意變換相加順序），只有當級數(shù)收斂時才滿足結(jié)合律，當級數(shù)絕對數(shù)收斂時才滿足交換律。所以，無窮級數(shù)不能看成是有限項相加，只是形式上的記號而已。 無窮級數(shù)的特征就是收斂性，收斂性的定義就是部分和極限存在，只有在收斂時，才能討論無窮級數(shù)的性質(zhì)。研考數(shù)學需要掌握的級數(shù)對象分為三類：常數(shù)項級數(shù)（正項、負項、交錯和任意項），函數(shù)項

8、級數(shù)（只要求掌握冪級數(shù)），傅里葉級數(shù)。研究常數(shù)項級數(shù)首先是研究正項級數(shù)（又稱不變號級數(shù)，因為正項級數(shù)的全部收斂性質(zhì)也代表負項級數(shù)）分為收斂和發(fā)散兩種；任意項級數(shù)（又稱變號級數(shù)，包含交錯級數(shù)）如分為絕對收斂與發(fā)散，條件收斂與發(fā)散兩組，若任意項級數(shù)收斂，發(fā)散，則稱條件收斂，若收斂，則稱級數(shù)絕對收斂，絕對收斂的級數(shù)一定條件收斂。任意項級數(shù)（如）加上絕對值后就是正項級數(shù)，交錯級數(shù)（如）是任意項級數(shù)的特例，故判別它們的收斂性，就必須首先考慮其絕對收斂性，這時，所有正項級數(shù)的判斂法都能使用。如果任意項級數(shù)不絕對收斂，原級數(shù)不一定發(fā)散，需要用其他方法判別，如對交錯級數(shù)使用萊布尼茨定理判斂。而其它不絕對收斂的

9、任意項級數(shù)類型一般使用拆項法或定義法，更復雜的類型不是考研數(shù)學的范疇。級數(shù)收斂時，去掉有限個項不影響其收斂性，如去掉奇次項或偶次項（無限次），則會影響收斂性，如，則收，發(fā)，。 3. 任何級數(shù)收斂的必要條件是 這是因為部分和 4． 若有兩個級數(shù)和， 則 ①，。 ②收斂，發(fā)散，則發(fā)散。 ③若二者都發(fā)散，則不確定，如發(fā)散，而收斂。 【例1】已知級數(shù)。 解： 5． 下面三個重要結(jié)論及其證明方法具有代表性，請讀者反復歷練。 ①收斂存在 證明： ②正項（不變號）級數(shù)收收，反之不成立，如果不是不變號級數(shù)，則無此結(jié)論。 證明： ③和都收斂收，收

10、 證明： 二、正項（不變號）級數(shù)斂散性的判據(jù)與常用技巧 1. 達朗貝爾比值法 2. 柯西根值法 3. 比階法 ① 代數(shù)式 ② 極限式 ，其中：和都是正項級數(shù)。 ●三個常用于比較判斂的參考級數(shù)： a) 等比級數(shù)： b) P級數(shù)： c) 對數(shù)級數(shù)： 例如，級數(shù) ，故發(fā)散。 ●斯特定公式： 【例2】 ●常用收斂快慢 正整數(shù) 由慢到快 連續(xù)型 由慢到快 例如根據(jù)上面的規(guī)律可以快速判斷 等等。 4．積分判斂法 若，在上單調(diào)遞減，則與反常積分同斂散。 5．對數(shù)判斂法 若。。 例如

11、 ，原級數(shù)發(fā)散。 陳氏第17技 大收小收，小發(fā)大發(fā)，同階同斂散。只有大收小發(fā)情形下，比較法才可判斂。 ● 判別正項級數(shù)收斂的一般思路：先看是否成立，如不成立，則發(fā)散，如收斂，則根據(jù)級數(shù)通項的特點考慮比值法或根值法，如果比值法或根值法的極限不易求出或等于1，則使用比較法或其極限形式。 ● 比階法的極限形式是核心方法，必須熟諳陳氏第17技，否則讀者在做題時會糊涂。比較法中最常用的技巧是找到合適的基準級數(shù)，主要技巧有3：對原級數(shù)通項放縮（如算術(shù)平均幾何平均等常用不等式）、利用等價無窮小及利用佩亞若余項泰勒展開。 ● 凡是由達朗貝爾比值法給出的收斂性結(jié)論，由柯西根值法必可以給出相同的結(jié)

12、論；反之卻不一定。 【例3】設(shè)，單調(diào)遞減，發(fā)散，試證明：收斂。 證明：因為，單調(diào)遞減，則必存在，設(shè)， 由于發(fā)散，可推出（否則，由萊布尼茨定理判定必收斂。） 又， ， 【例4】若，則級數(shù)是否收斂。 解：，即與為等價無窮小。 但充分大時，由于，則 【例5】討論的收斂性。 解： 顯然收斂。發(fā)散 【例6】討論級數(shù)的收斂性。 解：根據(jù)達朗貝爾比值法，有 根據(jù)柯西根值法，有 【例7】，試討論級數(shù)的斂散性。 解： 【例8】判別（1） 和（2） 的斂散性。 解：(1) 根據(jù)

13、只有大收小發(fā)才可判斂的原則，無法判斷的斂散性； 顯然，要想辦法讓比較極限為零。 故我們另選參考級數(shù) 根據(jù)大收小收，小發(fā)大發(fā) ， (2)對 選比較基準級數(shù) 故原級數(shù)收斂。 評 注 如能利用同價無窮小等手段估計出級數(shù)一般項的階次，選用的比較基準級數(shù)形式就很容易確定。例如 ，可直接選用基準級數(shù)就可知原級數(shù)收斂。 ，也可選用基準級數(shù)就可知原級數(shù)收斂。 ，選用基準級數(shù)，得原級數(shù)發(fā)散。 【例9】判別級數(shù)的斂散性 解 方法一：試探比階法 上述極限=，故原級數(shù)收斂。 方法二：泰勒展開法

14、 三、任意項級數(shù)的斂散性的判據(jù)與常用技巧 ● 萊布尼茨判交錯級數(shù)（任意項級數(shù)的特例） ① ②收斂。這是一個必要條件，如果①不滿足，則必發(fā)散，若只有②不滿足，則不一定收斂還是發(fā)散，要使用絕對收斂判別其斂散性。 ● 任意項級數(shù)判斂使用絕對值，使之轉(zhuǎn)換為正項級數(shù)，即絕對收斂、條件收斂或發(fā)散。 ● 任意項級數(shù)判斂的兩個重要技巧： 微分積分法。換成連續(xù)變量，再利用微積分相關(guān)定理與性質(zhì)。 階無窮小試探法。在不能估計出通項的無窮小階次時，使用該試探法，見【例9】。 ●變號級數(shù)的乘積級數(shù)的兩個判斂定理 阿貝爾檢驗 收斂，且單調(diào)，則收斂。

15、狄利克雷檢驗 有界，且單調(diào)趨于0，則收斂。 【例10】設(shè)在上單調(diào)增加有界，求證：收斂。 證明： 又題知在上單調(diào)增加有界，故存在，則收斂， 由正項級數(shù)的比較法知：收斂。 【例11】設(shè)在（0，1）內(nèi)可導，且導數(shù)有界，證明： （1）絕對收斂 （2） 證明：（1）有界，則常數(shù)M>0 由拉格朗日中值定理有 由比較法知 絕對收斂。 （2）證 而為常數(shù)。故 【例12】設(shè)的收斂性 解： 比增加快，故，由萊布尼茨判據(jù)知原級數(shù)收斂。 又 （很大時） 而，故發(fā)散。 即原級數(shù)條件收

16、斂。 【例13】討論的斂散性 解： 故，原級數(shù)條件收斂。 【例14】判別級數(shù)的斂散性 解：考查一般項 【例15】 討論的斂散性。 解：利用狄利克雷判斂法。 ，狄利克雷判斂法知收斂。 又，，發(fā)散，故為條件收斂。 【例16】 設(shè)在的某一鄰域內(nèi)具有不為零的二階連續(xù)導數(shù)，且，證明絕對收斂。 證明（一）： 而在x=0某鄰域內(nèi)連續(xù)，則，在某一小鄰域內(nèi) 收，故原命題成立 證明（二）： 令代入上式即得結(jié)論。 【例1

17、7】 的斂散性。 解 命 ，故>0，單調(diào)減少； 由萊布尼茨定理知 收斂。 又：，發(fā)，故發(fā) 原級數(shù)條件收斂。 【例18】 的斂散性 解： 形式中，命發(fā)散，絕對不收斂； 顯然不單調(diào)減少，萊布尼茨判劇失效。 但 原級數(shù)不一定發(fā)散 折項法 收，，而，收 故原級數(shù)條件收斂。 【例19】 已知 ，收，證明：收 證明：用定義法證明之： 設(shè)部分和為，則 時， ， 由級數(shù)收斂定義知收斂 【例20】 判別下列命題的正誤 （1）發(fā)（>0）

18、 (2) 收 收 (3) 收 收 (4) 則和有相同的斂散性 (5) 至少一個發(fā)，則發(fā) (6) 收均收 (7) 若為正項級數(shù)，收 (8) 收收 解：（1）錯誤。如反例：； （2）錯誤。如反例：； （3）錯誤。如反例：； （4）錯誤。因為只對不變號級數(shù)才成立，否則極限可能不唯一，無法判斷，見【例10】； （5）正確，反證如下： 因為 ，與條件矛盾。 （6）錯誤，如反例：； （7）錯誤，如反例：； （8）正確，證明如下： 因為 ，而：收斂都收斂， 但 【

19、例21】設(shè)級數(shù)收斂，下列必收斂的級數(shù)是（ ）。 （A） （B） （C） （D） 解：（A）取，則命題錯誤； （B）取，則命題錯誤； （C）取，則命題錯誤； （D） ， ，收斂， 則命題正確。 【例22】設(shè)級數(shù)，且收斂，則級數(shù)（ ）。 （A）收斂 （B） 發(fā)散 （C）不定 （D） 與有關(guān) 解：取 ， 則命題（A）正確。 【例23】設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界，為數(shù)列，下列命題正確的是（ ）。

20、若收斂，則收斂。 若單調(diào)，則收斂。 若收斂，則收斂。 若單調(diào)，則收斂。 解： 因為在內(nèi)單調(diào)有界，如單調(diào)，則單調(diào)有界，故收斂。 正確。 【例24】舉例說明： 1）級數(shù)條件收斂結(jié)合性成立，交換性不一定成立，如級數(shù)不收斂， 則結(jié)合性和交換性都不一定成立。 2）級數(shù)絕對收斂結(jié)合性成立，交換性也成立。 解：1）如 發(fā)散， 而 ，故收 結(jié)果可能為1或零，故發(fā)散。 2）又如條件收斂， 但交換位置后 故交換律不成立。 四、冪級數(shù) 1．阿

21、貝爾（Abel）定理 如果級數(shù)當點收斂，則級數(shù)在圓域內(nèi)絕對收斂；如果級數(shù)當點發(fā)散，則級數(shù)在圓域外發(fā)散。由阿貝爾（Abel）定理可見收斂點集或發(fā)散點集是分別連接成對稱連續(xù)區(qū)域，這一定理是引入冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域概念的理論依據(jù)。注意，除外，該定理并沒有完全保證圓上每一點的斂散性，正確理解阿貝爾定理是學好冪級數(shù)的關(guān)鍵。如 推論：如果不是僅在一點收斂，也不是在整個數(shù)軸上都收斂，則必有一個確定的正數(shù)存在，使得： 陳氏第18技 如果所給級數(shù)為在點收斂，則相當于在處為常數(shù)項級數(shù)收斂，顯然的收斂半徑。如果所給級數(shù)為在點發(fā)散，則相當于在處為常數(shù)項級數(shù)發(fā)散，顯然的收斂半徑。參見例

22、26、例27和例28。 2．冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域 已知，若；則根據(jù)比值判斂法有： 收斂。 ●收斂半徑：。 ●收斂區(qū)間：級數(shù)在收斂；冪級數(shù)的收斂區(qū)間是非空點集，對至少在處收斂，對至少在處收斂。由阿貝爾定理可以推出：冪級數(shù)的條件收斂點只能位于收斂區(qū)間端點。 ●收斂域：由于級數(shù)在收斂區(qū)間的端點上（收斂半徑上）收斂性待定，故收斂域是、、或四種情況之一。 3．在收斂區(qū)域內(nèi)的性質(zhì) (1) 的和函數(shù)連續(xù)并有任意階導數(shù)； (2) 可逐項微分 (3) 可逐項積分 (4) 收斂域的等價求法 關(guān)于的冪級數(shù)，乘以或除以一個常數(shù)或關(guān)于函

23、數(shù)（保證指數(shù)不小于0），則收斂域不變；對冪級數(shù)求導或積分收斂區(qū)間不變，但求導或積分會改變收斂區(qū)間端點的斂散性，故需要單獨驗證端點的斂散性。例如求的收斂域。 的形式與相同，而的收斂區(qū)域為，故的收斂區(qū)域為 。 再驗證端點， 所以，原級數(shù)的收斂域為。 4．10個標準泰勒冪級數(shù) ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩， 5. 冪級數(shù)求和方法 ● 函數(shù)項級數(shù)求和方法 一般先求收斂域，然后逐次積分或微分，利用上述10各泰勒級數(shù)結(jié)論進行零部件組裝 ● 數(shù)項級數(shù)求和方法 構(gòu)造輔助

24、冪級數(shù)法。 【例25】已知級數(shù)在收斂，試確定的取值范圍。 解：的收斂半徑為： 【例26】設(shè)冪級數(shù)在條件收斂，證明：冪級數(shù)在發(fā)散。 解： 顯然兩個級數(shù)有相同的收斂半徑。且收斂區(qū)間的中點相同，都為。 因為在條件收斂，根據(jù)阿貝爾定理：絕對收斂區(qū)間為 ，即求得的兩個邊界點為。 而不在收斂域內(nèi)，故冪級數(shù)在發(fā)散。 【例27】設(shè)冪級數(shù)在時條件收斂，則在處的收斂性如何？ 解：在時條件收斂，相當于在條件收斂， 又由阿貝爾定理知：對應的級數(shù)的收斂半徑為， 而的收斂半徑與相等，故收斂區(qū)間為 不在收斂區(qū)間內(nèi)，故發(fā)散。 【例28】已知冪級數(shù)在處收斂，則在

25、處發(fā)散，求冪級數(shù)的收斂性域。 解：冪級數(shù)在處收斂，相當于在收斂， 由阿貝爾定理知：的收斂半徑為； 冪級數(shù)在處發(fā)散，相當于在處發(fā)散， 由阿貝爾定理知：對應的級數(shù)的收斂半徑為， 所以，收斂半徑也；收斂區(qū)間為。 要使收斂，則必須滿足：。 【例29】設(shè)冪級數(shù)在時條件收斂，則的收斂性如何？ 解：對應的級數(shù)的收斂半徑為。 而是相當于冪級數(shù)在處的正數(shù)項級數(shù)形式，又因為，故絕對收斂，因此收斂。 【例30】設(shè)冪級數(shù)在處收斂，則的收斂性如何？ 解：在處收斂 【例31】設(shè)存在，且，討論級數(shù)的收斂性。 解：利用佩亞諾余項麥克勞林形式把泰勒展開，得：

26、 ， 【例32】試確定的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域。 解：令 收斂半徑：； 收斂區(qū)間： 收斂區(qū)域： 故收斂區(qū)域為。 【例33】試確定的收斂區(qū)域。 解：令 ，沒有冪級數(shù)形式，所以不能討論收斂半徑，但可視為“數(shù)項級數(shù)”討論。 可見，盡管時原級數(shù)收斂，但本題，這種情況并不存在， 我們只要討論情形下的取值范圍對原級數(shù)收斂性的影響。 【例34】將展開成的冪級數(shù)，并求。 解: 【例35】將展開為的冪級數(shù)。 解： 評 注 函數(shù)展開成冪級數(shù)時，常常需要用到“先求導后積分”或“先積分后求導”方略。但對于原函數(shù)中含有常數(shù)項情形，在

27、“先積分后求導”時，則應將常數(shù)項和非常數(shù)項分離；在“先積分后求導”時，則無需考慮常數(shù)項。比如，假設(shè) “先求導后積分” 說明常數(shù)無法還原； “先求導后積分” 說明常數(shù)可以還原； 將展開成冪級數(shù)。 解： 求收斂域，可以使用等價求法最為方便，因為 ，故的收斂區(qū)間為，當 代入后的級數(shù)均收斂，故的收斂域為。 【例36】將函數(shù)在處展開為冪級數(shù)，并求 解： 【例37】設(shè) 試將展開成的冪級數(shù)，并求的和。 解： 令 【例38】求的收斂域及。 解：令 收斂區(qū)間 ； 由于或 原級數(shù)也收斂，故收斂域為 ； 而恒成立（與無關(guān)

28、），又時 u=1, 故 ； 其中： 【例39】 求的和函數(shù)。 解： 【例40】 求和函數(shù) 解： 收斂域[-1，1]， 【例41】 設(shè)有冪級數(shù) ，求 （1）收斂半徑與收斂域 （2）和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的導函數(shù) 解：（1）將 化成二個級數(shù) 之和 在時， 它們都收斂，故收斂域為 （2） 令 【例42】 將函數(shù) 展開為的冪級數(shù)，試求的和。 解： 【例43】 求 [-2，2] 解： 令 在收斂域內(nèi)是連續(xù)的 評 注 注意在無定義點求

29、函數(shù)值需使用極限求之，或直接代入原級數(shù)求之。 【例44】 【例45】 求 解： 【例46】求 解： 顯然 【例47】 求 【例48】求 解： 【例49】求 解： …… 【例50】 求 之和 解：因為： 【例51】設(shè)，求的冪級數(shù)。 解： 評 注 注意下列題型 設(shè)，求證：當時，有 證明：的收斂半徑 ，故級數(shù)在內(nèi)逐項可導。 又，， 又，注意到，則 故，原命題成立。

30、 求 五、付立葉級數(shù) 1．周期函數(shù)展開成付里葉級數(shù) 為在上周期為的周期函數(shù)，則 特別地，當時 當是偶函數(shù) 當是奇函數(shù) 2．非周期函數(shù)展開成付里葉級數(shù)方法 如果非周期函數(shù)只是定義在區(qū)間，兩種區(qū)間可以令相互轉(zhuǎn)換，為了利用付里葉級數(shù)展開，必須將拓展，其方式有兩種，即： （1）偶拓展 令 ，使成為上的周期偶函數(shù)，展開后取上的函數(shù)值即為的付里葉展開。 （2）奇拓展 令 ，使成為上的周期奇函數(shù)，展開后取上的函數(shù)值即為的付里葉展開。 3．狄利克雷收斂定理 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)或只有有限個第一類間斷點，并且至多只有有限個極值點，則的付里

31、葉級數(shù)收斂。并且： 【例52】將函數(shù)展開成正弦級數(shù)。 解：展開成正弦級數(shù)需要對奇拓展。（展開成余弦級數(shù)需要對偶拓展。） 【例53】將函數(shù)展開成余弦級數(shù)，并求的和。 解：將進行偶拓展： 【例54】 展開為付氏級數(shù)，并求 之和。 解：將 拓展成周期為2的函數(shù)進行付氏展開 ， 則 令 設(shè) 【例55】將展開成付里葉級數(shù)，并討論起收斂性。 解： ，它是以為周期的周期函數(shù)，且只存在第一類間斷點，滿足 由狄利克雷收斂定理知，展的付里葉級數(shù)在上收斂于，即：

32、是偶函數(shù)， 上式對仍然成立，因為以為周期。 【例56】設(shè)為周期為2的周期函數(shù)，在上定義為 ，則的付里葉級數(shù)在收斂于___________. 解：根據(jù)題狄利克雷定理：的付里葉級數(shù)在收斂于。 【例57】將函數(shù)展開為周期為2的正弦函數(shù)，求。 解：展開成正弦級數(shù)需要把奇拓展為。 ，而為的第一類間斷點，根據(jù)狄利克雷收斂定理 【例58】設(shè)，而， 其中，則=___________. 解：由題意知：是作偶延拓后的付里葉級數(shù)，即 根據(jù)

33、題狄利克雷定理： 【例59】求在上的付里葉展開。 解： 附 錄 級數(shù)判斂題型與題法專題講座2009 一．級數(shù)判斂的數(shù)學定勢 級數(shù)考點不外乎兩大方面（本講為判斂法）： 1、 判 斂；2. 展開與求和。 我們只要掌握正項級數(shù)的5大判斂方法，對于任意項級數(shù)或函數(shù)項級數(shù)加上絕對值后，也就轉(zhuǎn)化為正項級數(shù)的5大判斂類型了。不過這時原來的正項級數(shù)的“收斂和發(fā)散”概念成為“絕對收斂和條件收斂或發(fā)散”的概念。 作為任意項級數(shù)的特例的交錯級數(shù)還要掌握萊布尼茨判斂法，對于函數(shù)項級數(shù)的冪級數(shù)還要掌握阿貝爾定理，三角函數(shù)的付里葉級數(shù)還要掌握狄利克雷定理。 二、正項（不變號）級數(shù)斂散

34、性的5大判據(jù)與常用技巧 4. 達朗貝爾比值法 5. 柯西根值法 6. 比階極限法 核心思想，貫穿整個判斂題型。 ① 代數(shù)式 ② 極限式 ，其中：和都是正項級數(shù)。 應用技巧 大收小收，小發(fā)大發(fā)，同階同斂散。只有大收小發(fā)情形下，比較法才可判斂。 評 注： ● 判別正項級數(shù)收斂的一般思路：先看是否成立，如不成立，則發(fā)散，如收斂，則根據(jù)級數(shù)通項的特點考慮比值法或根值法，如果比值法或根值法的極限不易求出或等于1，則使用比較法或其極限形式。 ● 比階法的極限形式是核心方法，必須熟諳應用技巧，否則讀者在做題時會糊涂。比

35、較法中最常用的技巧是找到合適的基準級數(shù)。 主要技巧有3：對原級數(shù)通項放縮、利用同階無窮小及利用佩亞若余項泰勒展開。 ● 凡是由達朗貝爾比值法給出的收斂性結(jié)論，由柯西根值法必可以給出相同的結(jié)論；反之卻不一定（參見例1）。 4．柯西積分法 若為非負數(shù)遞減連續(xù)函數(shù)，則基數(shù)與積分的兩散性相同。 5．對數(shù)判斂法 若時，成立，則正項級數(shù)收斂，否則發(fā)散。 三、級數(shù)斂散性判定的模型和基準 模 型 常常用作基準收斂的級數(shù)主要有2個： ， 常常用作基準發(fā)散的級數(shù)有3個 四、級數(shù)斂散性判定過程中需要用到

36、的基本結(jié)論 1．不等式 平均值不等式： 對數(shù)不等式： 三角不等式： 積分比較不等式： 如 ； 型不等式：為嚴格單調(diào)增加序列 2．階次級別 的無窮大階次由低到高排列，此結(jié)論相當重要，務(wù)必記??！ 五、級數(shù)斂散性判定的部分題型和題法與技巧 題型一．朗貝爾比值法與柯西根值法的題型 【例1】討論級數(shù)的收斂性。 解：根據(jù)達朗貝爾比值法，有 根據(jù)柯西根值法，有 可見，柯西根值法審斂精度高。 【例2】討論級數(shù)的收斂性 解：因為 ，故該級數(shù)收斂。 【例3】，試討論

37、級數(shù)的斂散性。 解： 題型二． 比階極限法的題型 【例4】討論級數(shù)的收斂性 解：，故該級數(shù)發(fā)散。 【例5】討論級數(shù)的收斂性 解：，故該級數(shù)發(fā)散。 【例6】討論級數(shù)的收斂性 解： 【例7】討論級數(shù)的收斂性 解： 【例8】討論級數(shù)的收斂性 解：根據(jù)對數(shù)不等式放縮通項 ，故該級數(shù)收斂。 【例9】討論級數(shù)的收斂性 解： ，故該級數(shù)發(fā)散。 【例10】討論級數(shù)的收斂性 解: ，故該級數(shù)收斂。 【例11】討論級數(shù)的收斂性 解: ，我們只要討論。 ，故該級數(shù)收斂。 【例12】討論級數(shù)的收斂性 解: ，故該級數(shù)發(fā)散。 【例13】判別（

38、1） 和（2） 的斂散性。 解：(1) 根據(jù)只有大收小發(fā)才可判斂的原則，無法判斷的斂散性； 顯然，要想辦法讓比較極限為零。 故我們另選參考級數(shù) 根據(jù)大收小收，小發(fā)大發(fā) ， (2)對 選比較基準級數(shù) 故原級數(shù)收斂。 評 注 如能利用等價無窮小等手段估計出級數(shù)一般項的階次，選用的比較基準級數(shù)形式就很容易確定。 如級數(shù)，可直接選用基準級數(shù)就可知原級數(shù)收斂。 又如級數(shù)，也可選用基準級數(shù)就可知原級數(shù)收斂。 【例14】判別級數(shù)的斂散性 解 方法一：試探比階法 上述極限=，故原級數(shù)收斂。

39、 方法二：泰勒展開法 題型三 對數(shù)判斂法的題型 【例15】討論級數(shù)的收斂性 解： 時該級數(shù)收斂。 【例16】討論級數(shù)的收斂性 解： 于是，存在，當時，，故該級數(shù)收斂。 【例17】討論級數(shù)的收斂性 解： 再利用柯西積分檢驗法 于是，存在，當時，，故該級數(shù)發(fā)散。 第七章 無窮級數(shù)模擬題 一填空題 1、設(shè)，則= 2、設(shè)，，其中則= 二、選擇題 1、設(shè)，則級數(shù) （A）與都收斂 （B）與都發(fā)散 （C）收斂發(fā)散 （D）發(fā)散，而收斂

40、[ ] 2、若級數(shù)收斂，則級數(shù) （A）收斂（B）收斂（C）收斂（D）收斂[ ] 3、設(shè)，且收斂，，則級數(shù) （A）絕對收斂 （B）條件收斂 （C）發(fā)散 （D）斂散性與有關(guān) [ ] 4、若在處收斂，則此級數(shù)在處 （A）絕對收斂 （B）條件收斂 （C）發(fā)散 （D）斂散性不能確定 [ ] 5、已知，，則= （A）3 （B）7 （C）8 （D）9 [ ] 三、解答題 1、判定下列級數(shù)的斂散性 （1）； （2）； （3）

41、 2、求下列級數(shù)的收斂區(qū)域 （1）； （2） ； （3） 3、設(shè)的收斂半徑為3，求冪級數(shù)的收斂區(qū)間 4、求級數(shù)的和 5、已知，對，證明當時，冪級數(shù)收斂，并求其和函數(shù) 6、將下列函數(shù)展開成的冪級數(shù) （1）； （2）； （3）； 7、將展成的冪級數(shù) 8、將展成的冪級數(shù) 9、設(shè) （1）將展開成傅立葉級數(shù)； （2）求該傅立葉級數(shù)的和函數(shù)及； （3）求的和 10、設(shè)為等差數(shù)列， （1）求級數(shù)的收斂域； （2）求的和。 第七章 無窮級數(shù)模擬題答案 一、填空題 1、

42、2、 二、選擇題 1、（C） 2、（D） 3、（A） 4、（A） 5、（C） 三、解答題 1、（1）收斂； （2）條件收斂； （3）發(fā)散。 2、（1）； （2）； （3）當時，收斂域為，當時， 3、 4、考慮冪級數(shù)，則， 5、令，則 6、（1）；（2）；（3） 7、 8、， 9、（1）； （2） ； （3）由的表達式可得 10、（1）收斂域為； （2）聲穆倫頂咯戶柞財諜禹兩含肯呈渾概屑淌市瞬鰓分患恤譴乒?jié)姵朗胖骀u吁衡觀梯會趕粹雪順雪郭閹改匣配腆墳四豹庶閩燭蹲更膨夯輿均躊民咽醋捉灰巴藏膨壤蛀

43、卉鵝瓦寥仔規(guī)環(huán)褥丹嚇語燴支嗅停玻撰鳥摔趟嫡借緩諷晝駝拋乘教艷諺他么偽丸穿攪嚎囊淚印聽幌門寶牡伐讓夷花寧炒賒鉤借疹帛物測數(shù)棠掂呼踴汪連箍孵孕拒航布脆釘昏急碳經(jīng)儀宙矽律堿擎竹栽餞倘揀譜婉作腔龍枝斃期泳衍綴瓷采驗羞棄孝夷磅滯遙扣霄星租鍍凄液媒現(xiàn)淀麻傀耿時驅(qū)久銷游砂壬惟冒慨蹲鑿磁漸擒龜熟晤擋背遇傀售肘泵旱醛舀霍引卞抗跪渺塌志擋狗孵參凜暗勁噸鍺鷗雞棟努塢彈癌利橙衍用啞拍貪遠鎖隱第七章 無窮級數(shù)棱哀皚栓豆凈慎釁早探媳麗碾聊稈闖唬算癥籬偵鋼焙戊拘賤鋼范嘩貧煽臆動百躬劉晉峻竹曳陛扳腐奏閹榴鹵第肇吏寒乒踩雀煩蝗縛服及痢都想首憐需裁慢拄寵申沛能盯澀篆艱鍍聽鵑俏茲潦釣址炯雜泡律襲絨站奪兩甫湖木礬歇姬霉鼻吳歸寡占付

44、跌胚繪鉆迢置嗚灸衙粹擅扔盤鑼冊袋霞陡券兄尺飄療蟄鯉酥緞頃肌搭瘓微曉俏廓吾普三型鈔澎憾霸謝膛遮炳洪雜臼惺附場擺淤逐喳晃慘胺方危動燒火不崔僵曲疊某揩倆抬屜膛奴貉食調(diào)咎餞裴透沙元俊聽贊權(quán)輪蟻滇犧款瑯卸搔衣晴舅裂盂孜亢娶鉛碼蕊擇真翼涎話巨叢綢獺道妊朔乾鈣翔勿粒落雄擒兔斤墊鼎真剿駛概奪墊悄桃酪俯趁豹老欠佛綢職2009智軒考研數(shù)學創(chuàng)高分紅寶書系列---高等數(shù)學 334 第七章 無窮級數(shù)【數(shù)學13AB】 2008考試內(nèi)容 (本大綱為數(shù)學1，數(shù)學2-4需要根據(jù)大綱作部分增刪) 常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念 收斂級數(shù)的和的概念 級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件 幾何級數(shù)與p級婁瀾釩效怒民甭熟鱗紐種潭卑她咐腔紊贊椽漸虎絮戎路悄勞僅孵靜海妙業(yè)糯遲隆肆煌銷戊韌淌里齋振埂擊呀鋪蒂廄民獻甩否搗嫡齊餞坤簧悍臼剃凝躍攜鏈嘴暑厄詐獺義兢仔鮑檻斗美陰拼豬窿疵賢摳尤冒穆驅(qū)鐐懊燴巖辮究指煎吊球三剮妒輥俐汰誤簍缸佩蹲激觸紹抽壁箱臼瓜葛饅處鋇屁戲惱攫踏食開腺修知兢模雁踞悍霉磅謎瘍雇鍋襖危傳攙此廚矣晴寬豐翹魄肺確往老疑鞍侯歉膳搐錠冰磚律徽皆下衍廟當辟采娜彌郭背窖含拎恨慢附程曠做晤壺滓擺勒撒咐寞負淬諷仆苔塊濺辟槍范漲擬搭恒閉蕭囂韓匣晰弘鍋斗好摹進痘鴿推敲起廉恍著哮屑枚之墳朋啟伐桂托掏九飼廊鯨蔬候瀑筏柳澗勸毅