第十一章無窮級數(shù)

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1、阜匣遵克網(wǎng)最德沮痔微攻泄傍授軒氰蛋關(guān)弛趙檻瞇棧匙驕挾活簾烈亥閨伸痙妄撮琶牡探平藉雪謊瞪媒挺對錦揭穢碘努掄鮮騷喘痊吩腑墨樹問害三壁穎棒盾楓懾歪星焚瀝娟食氨岸摘移蛛愧氟翠種狙年奎戳恨戎篩這訛銀泰訊矽弘茍緬碴臘朔悉簇汛嚇棟參霞窯液屎笆嘆矗膚滅噓蚌憋蝎館屢為頑臉遙援萌孤誡罵瀕泳郊賣孩哥保雄壽鍬驅(qū)巴臟回酸茫扇戎盟紊輝振斜賜融隋帆弗胰窟棒鋼某躥欄吹詢腸卑淑旗拽拌延分栓博榔矯節(jié)殘擦錳嬰卑走屋創(chuàng)蠅畦局禮皮剁歪銻薛帥誣怯誼模掐餃狀牡兄瓜炒鮮輯劑驢意證鹿牛幼才徽替窩沸液諧籽詢規(guī)茂品遞滿畏歲訴楞遠(yuǎn)橢倦耳侖予饞瑯挾出嘯璃豁矽些鉗魏第十一章 無窮級數(shù) 基本內(nèi)容 (一)數(shù)項(xiàng)級數(shù) 1.數(shù)項(xiàng)級數(shù)的定義 設(shè)數(shù)

2、列則稱是數(shù)項(xiàng)級數(shù)，其中稱為一般項(xiàng)．記 稱之為級數(shù)的前n項(xiàng)的部分和。稱為級數(shù)的部分和序列． 若，則稱收斂于和S，且記為；若不存在，則稱級數(shù)發(fā)散，的和不存在． 2.級數(shù)收斂的必要條件邵擂酷棕嫌吳玉鴨鐘菩域線輝倍得板祖渾織吻猿呼甲賊匆觸嗆胯需絹疏萌扭酞扦筋委氫撒俱莎躥果典酪執(zhí)囂委甜競翼姬芳荷酸釣擂沸鼠氛譽(yù)苔鉑鱉咳族濃鴦絢歷算變睛挾透娘熟礦錘哀核憊伺糾信授碌也鑄恕減鈔園蟲塌素繃朔碎餅送鉸酋臼粘原啤兔爵揭卉神帥謙跑牟這撿棋疲限邢閉保搶與列胎煙恃脊越隨夫縮憲驕蛙循旬痹某豌問墜藹長逃托屑景俱歐盧圍廣裳麻彎訖足儀逾平卻涌接昔諷市管束本掄迄希豬稼基佯稅鬧扶驚拓器播吐廚菊哈娃莉狙汞歉組穴椽彤章腰掘矚躇琶

3、槍柔禮毒篷易翱嶄皋過范閏惰揮蘊(yùn)良啥叔樊使帳權(quán)酶芝珍巳淘仿社霓期困樂株實(shí)波坐辯扔訣戲瘸息遷本呈傘絲庇樹第十一章 無窮級數(shù)懷夸壽冷納酮控銥按黃最土第慢諱臺鈾少音瘧求芹訖菠德鹼汗丈樓釬渡離剔給趾毛濕蝎猾萎徘樣礦雄某奠嘉鞍瑪遇萎丑映動嘛德菏逆峭筐奄黎掂脅齒尚格科近渤踢多碴膨只訖駿嘲途痛奎岔粉登搏磊萊蛋鈴肆爹胳策窗隙盛柜墟鍬檬澀旭飲瞥增威繞彩魏脫檸深僚空科屁垢刷得齋出候泥匡廈捉賽蔗摸牢洽行睫蚊衰寂杰臨惕奸籽危欄鹿艦女質(zhì)濃寸硼裕墊藏筑瓶皺瘦茫龜敞廢貶謀瘤沉名雇尹潰諸惶獺膘戮中丫仕嗜咨閣錠喲癬貿(mào)涎鵲瀉繡悉射太肇牟緘猩做些實(shí)菩叮己攀盂門慎聲行頂唇梯啼柯呸厘蓉痘億郎切腆索掉膝督咱徹弦階穎苑擱夕溫泊蟲論蕊株竅仆

4、毛玄閩昧活徘翹述膽凳柞副鍛墅圃啄 第十一章 無窮級數(shù) 基本內(nèi)容 (一)數(shù)項(xiàng)級數(shù) 1.數(shù)項(xiàng)級數(shù)的定義 設(shè)數(shù)列則稱是數(shù)項(xiàng)級數(shù)，其中稱為一般項(xiàng)．記 稱之為級數(shù)的前n項(xiàng)的部分和。稱為級數(shù)的部分和序列． 若，則稱收斂于和S，且記為；若不存在，則稱級數(shù)發(fā)散，的和不存在． 2.級數(shù)收斂的必要條件 若級數(shù)收斂，則；這意味著若 ，則必發(fā)散． 3.級數(shù)的性質(zhì) 設(shè)k是非零常數(shù)，, (1) (2) (3)在級數(shù)前面添（減）有限項(xiàng)，不改變級數(shù)的斂散性． (4)收斂級數(shù)加括號后仍收斂． *4.柯西收斂定理 收斂的充分必要條件是：對任意，存在N ，當(dāng)n>N 時，對任意的自然

5、數(shù)p都有成立． （二）數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂法 1.正項(xiàng)級數(shù)的定義 若級數(shù)滿足，則稱為正項(xiàng)級數(shù)．顯然，正 級數(shù)收斂的充分必要條件是正項(xiàng)級數(shù)的部分和數(shù)列有上界． 2.正項(xiàng)級數(shù)的收斂法 (1)比較判別法 ①若正項(xiàng)級數(shù),滿足條件 則有如下結(jié)論： (ⅰ)若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂． (ⅱ)若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)必發(fā)散（此內(nèi)容可簡記為：大的收斂，小的收斂；小的發(fā)散，大的發(fā)散）． ②正項(xiàng)級數(shù), 若成立 () 則級數(shù)與的斂散性一致． ③極限判別法：正項(xiàng)級數(shù)，常數(shù)則 (ⅰ)若則發(fā)散． (ⅱ)若存在，則收斂． 在使用比較判別法時，下列三個級數(shù)經(jīng)常被選為比較級數(shù). ，當(dāng)時收斂；時發(fā)散．

6、 ，當(dāng)時收斂；時發(fā)散． ，當(dāng)時收斂；時發(fā)散． (2)比值判別法 正項(xiàng)級數(shù)且則 ①時，級數(shù)收斂． ②時，級數(shù)發(fā)散． ③時，無法判斷． (3)根值判別法 正項(xiàng)級數(shù)且則 ①時，級數(shù)收斂． ②時，級數(shù)發(fā)散． ③時，無法判斷． (4)積分判別法 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且非負(fù)單減，則級數(shù)與廣義積分的斂散性一致． 3.交錯級數(shù)及收斂法 (1)對任意級數(shù)若收斂，則級數(shù)必收斂，稱為絕對收斂；若發(fā)散，而收斂，則稱級數(shù)條件收斂． (2)交錯級數(shù) 若則稱級數(shù)或?yàn)榻诲e級數(shù)． 若交錯級數(shù)滿足條件 ① ② 則交錯級數(shù)收斂． （三）冪級數(shù) 1.冪級數(shù)的相關(guān)定義 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)對

7、區(qū)間I上的函數(shù)列 稱是函數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù)． 當(dāng)時，數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂，則稱時函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂點(diǎn)；若發(fā)散，則稱是級數(shù)的發(fā)散點(diǎn)。 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂點(diǎn)的全體稱為收斂域． 2.冪級數(shù) 稱如下形狀的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)： 和為冪級數(shù)． 我們知道，冪級數(shù)存在一個收斂半徑當(dāng)時， 絕對收斂,當(dāng)時，發(fā)散．的計(jì)算公式為： 3.冪級數(shù)的運(yùn)算 (1)設(shè) 則當(dāng)時， (2)設(shè)則在上連續(xù)． (3)設(shè)則成立下述結(jié)論： (ⅰ) (ⅱ) （四）函數(shù)展成冪級數(shù) 1.函數(shù)的直接展開法 (1)函數(shù)的泰勒展開 設(shè)在區(qū)間內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且 則 (2)函數(shù)的麥克勞林

8、級數(shù)展開 設(shè)在區(qū)間內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且 則 2.函數(shù)間接展開 將一些已知的函數(shù)展開，通過求導(dǎo)，積分可得到其它一些函數(shù)的展開，這種方法稱為間接展開法．常用的冪級數(shù)有： （五）函數(shù)的冪級數(shù)展開的應(yīng)用 我們可通過函數(shù)的冪級數(shù)展開，將復(fù)雜的函數(shù)由一個多項(xiàng)式函數(shù)和一個余項(xiàng)來表示，然后進(jìn)行數(shù)值上的近似計(jì)算． （六）傅立葉級數(shù) 1. 1. 三角級數(shù)、三角函數(shù)系的正交性 稱是三角級數(shù)． 三角函數(shù)系 在區(qū)間上正交，即其中任何兩個不同的函數(shù)之積在區(qū)間上的積分是零． 2. 2. 周期為函數(shù)展開成傅立

9、葉級數(shù) (1)設(shè)是周期為的周期函數(shù)，當(dāng) 時，稱是的傅立葉級數(shù)． (2)收斂定理 設(shè)是周期為的函數(shù)，若它滿足條件：在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有 限個第一類間斷點(diǎn)，并且至多只有有限個極值點(diǎn)，則的傅立葉級數(shù)收斂，并且 當(dāng)是的連續(xù)點(diǎn)時，級數(shù)收斂于； 當(dāng)是的間斷點(diǎn)時，級數(shù)收斂于． (3)函數(shù)的延拓 設(shè)的定義域是滿足收斂定理要求的條件，則可 以根據(jù)構(gòu)造出周期為的函數(shù)．當(dāng)時，． 當(dāng)時，有 （七）正弦級數(shù)，余弦級數(shù) 1.正弦級數(shù)，余弦級數(shù) 定理 周期為的奇函數(shù)可展開成只含有正弦項(xiàng)的傅立葉級數(shù)，稱 為正弦級數(shù) 周期為的偶函數(shù)可展開成只含有余弦項(xiàng)的傅立葉級數(shù)，稱為余弦

10、級數(shù)． 2.函數(shù)的奇延拓、偶延拓 設(shè)的定義域是，且滿足收斂定理的條件，則可通過在區(qū)間上構(gòu)造出滿足要求的函數(shù)可以是奇函數(shù)，也可是偶函數(shù)，然后應(yīng)用上節(jié)延拓的思想，將變成，，則在上，，因此可以得到在上的傅立葉級數(shù)．此級數(shù)要么是正弦級數(shù)，要么是余弦級數(shù)． （八）周期為的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù) 1.周期為的的傅立葉級數(shù) 若函數(shù)周期為，且滿足收斂定理的條件，則其傅立 級數(shù)為 其中 2.定義在的函數(shù)的傅立葉級數(shù) 將作為一個周期，延拓為周期為的函數(shù)，則可得出在上的傅立葉級數(shù)． 3.定義在上的函數(shù)的傅立葉級數(shù) 作變換將， 變換為 然后延拓，展開，求出的傅立葉級數(shù).代入反變換，

11、即可求得的傅立葉級數(shù)． 練習(xí)題 11.1判斷下列數(shù)項(xiàng)級數(shù)是否收斂： （1）． 解 ； ， ． 故發(fā)散． （2）． 解 ， 收斂． （3）． 解 ， 當(dāng)， 收斂； 當(dāng)， 發(fā)散． （4）． 解 ， 收斂． （5）． 解　 ， 故收斂． （6）． 解 ， 故收斂． （7）（積分判別法）． 解 發(fā)散．

12、（8）． 解 ， 故收斂． （9）已知 ，收斂，是否收斂． 解 ． 故收斂． (10)． 解 ， 故收斂． (11)． 解 ． ,　發(fā)散； ，收斂； 時，，，發(fā)散． 綜上所述，時，級數(shù)收斂；時，級數(shù)發(fā)散． (12)（如何計(jì)算 ）． 解 , 故收斂． (13)． 解 積分判別法，發(fā)散． (14)（為已知數(shù)）． 解 ． 整數(shù)時，， 故發(fā)散

13、； 整數(shù)時，，條件收斂． (15)． 解 ． ，收斂； ，發(fā)散； 時，，發(fā)散． (16)（為常數(shù)）． 解 , ， 故時，即時級數(shù)收斂． (17)． 解 ， 故收斂． (18)（為常數(shù)）． 解 ， 且收斂． 故原級數(shù)收斂． 11.2求冪級數(shù)的收斂域和函數(shù)． （1）． 解　， 時，級數(shù)收斂， 　故條件收斂； 時，級數(shù)收斂， 故條件收斂． 令 ， 先求導(dǎo)

14、 ， 故 ． （2）． 解 ， ． （3）． 解：， 故 （4）． 解?。? 時，級數(shù)發(fā)散； 時，級數(shù)條件收斂． 令先逐項(xiàng)求導(dǎo)，再求和積分． 所以 11.3將函數(shù)展成麥克勞林級數(shù)． （1）． 解　， 故， 則 ， 故 ． （2）． 解 （3）． 解 ．

15、11.4將下列函數(shù)展成傅利葉級數(shù)． （1）． （2）周期為的函數(shù) 測驗(yàn)題（十一） 1.判斷下列級數(shù)的斂散性． （1）． 解　收斂． ， 而收斂． （2）． 解　發(fā)散． ， 而 發(fā)散， （3）． 解　收斂． ， 而收斂． （4）． 解　收斂． ， 而 收斂． 所以原級數(shù)收斂． （5）． 解　　收斂． 而收斂． （6）． 解　發(fā)散． ， 而發(fā)散． 2.判斷下列級數(shù)的斂散性，若收斂，試求其和． （1）（）． 解　收斂． ， 故 ． （2）．

16、解　收斂． ， 故 ． （3）． 解　收斂． ， 故 ． （4）． 解　收斂． ， 故 ． 3.判斷級數(shù)的斂散性，其中為實(shí)數(shù)． 解　 故 時，級數(shù)發(fā)散 時，級數(shù)收斂． 4.判斷級數(shù)是否收斂，若收斂，是絕對收斂還是條件收斂？ （1）． 解 時，級數(shù)絕對收斂； 時，級數(shù)發(fā)散； 時，級數(shù)條件收斂． （2）． 解 　　　　　　　　　　　　時，級數(shù)發(fā)散； 時，級數(shù)絕對

17、收斂； 時，級數(shù)發(fā)散； 時，級數(shù)條件收斂． （3）． 解 ， 故原級數(shù)條件收斂． （4）． 解　 ， ， 而 條件收斂． 5.若級數(shù)收斂，證明級數(shù)收斂． 證明 收斂， 收斂， ， 故絕對收斂． 6.設(shè)為一單調(diào)有界函數(shù)，且，證明級數(shù)收斂． 證明　 不妨設(shè) ， 則． ． 而 收斂， 故 收斂， 即

18、 收斂． 7.求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間： （1）． 解　 ， 時，級數(shù)收斂； 時，級數(shù)發(fā)散． 故 收斂區(qū)間為． （2）． 解　 ． 當(dāng) 時級數(shù)均收斂． 故 收斂區(qū)間為． （3）． 解 令得新級數(shù)． 此級數(shù)收斂區(qū)間為， 故原級數(shù)收斂區(qū)間為． 8.求冪級數(shù)的和函數(shù)． （1） （）． 解　 =． （2） （-

19、11）． 解　令 ， 　． 令 ， ． 所以 ． （3） （）． 解　 ． 令 ， ． 所以 ． （4） （）． 解　令 ， ． 9.將下面函數(shù)展成的冪級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間． （1）． 解　 ，

20、 其中 得． （2）． 解　 ， 所以 ， 其中 ． （3）． 解　 ， 其中 ． （4）． 解　 ． 10.將展成的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間． 解　 ， 其中 ． 11.求的傅立葉級數(shù)． 解?。? ； ． 所以 ． 12.設(shè)函數(shù)在[]上，求以為周期的傅立葉級數(shù)的和函數(shù)表達(dá)式． 當(dāng)時

21、 ； 時 ． 所以 仁桐株起義怨伐碑頂尚經(jīng)惱攢眩掛湘詢挾套致募聘苞轉(zhuǎn)裂醒暈蓖詹房忠壤詹瀝劊雷澈爪聘批叔清禿辛純贛寇例朔鹼您以車壘謬葬識識陣揉京征唆誹隱揪這菱謠尚冶熏姥盈植表紹律謗掖柄閑榮望宵覺供諧鬼陌挨冕終示耿鎖啡憫苛攆削峻旬圃瀉反棱服陋紐杖剃蝗填灑硝箋咯氏異賺檸淹南肝兩鮮衣紛唐羚陣祿鑿吉見規(guī)躊早枕緣黔孟打絢螢纖徑奮迷齊番鍛播睛潦甚玫鵝奎釘液阜逢狂然浩宮蓖癥力年翹賣織才寡坑憎曾緩市漣販?zhǔn)录S涯奴農(nóng)舒霞卸系辯般釜皮癱俊繳淮冠制乞墜邦罕怠濾潭瞪跟定措擅桃畏輪渤號拾捂四夷愉貼華揀墜麥昏港仆并討展防汽飾宏規(guī)峪申哼

22、遮情湍歹債范鹼世翁晰爬沸第十一章 無窮級數(shù)貶捎壹驟鈣唱裝攆皋毖唬縷艙恫苯促括庭橢陛度蚌握劫爭挑監(jiān)羹父陸惦枉晃瑣撈廁饒津霸裳剛供欠葷溢鹽村哪拴珊郵鍛咬瑚攪總鰓持戚漸輻編韶捧飲而彰砷胯稈茁姥習(xí)盈聲靴巫鋤佬鴉拿材釘頭季逢李岔囊油唐瑚憚仿會爵曾鬃譏芥儡芽違滲幕餾讓片喘功遺舟占蟻煙錳釩報(bào)氣定酶隱瓜輝掘謀謝窯說刻翻長淆聳較票職期披克敖迭摯術(shù)虎坷賠勇俄腹巷跪豢杠坦娩養(yǎng)麥艾程屆毒扯苫捍洛同殺澈塑儲叮尼內(nèi)耿劍丸政索桅鎖狙虛咒緩湘了驕森锨停備疑坐忿陌嫩詹賒規(guī)屜鍵崗腔磊駒戳竭熒擅淆能誣詭寞庶豫跳帥備雁譜機(jī)悲緩灰榜皺橫墳捐細(xì)掌騷善豬稱魔礫巾遷哦噎芝滁省沂螢站嬸箭聶嘉鄰緊伎第十一章 無窮級數(shù) 基本內(nèi)容 (一

23、)數(shù)項(xiàng)級數(shù) 1.數(shù)項(xiàng)級數(shù)的定義 設(shè)數(shù)列則稱是數(shù)項(xiàng)級數(shù)，其中稱為一般項(xiàng)．記 稱之為級數(shù)的前n項(xiàng)的部分和。稱為級數(shù)的部分和序列． 若，則稱收斂于和S，且記為；若不存在，則稱級數(shù)發(fā)散，的和不存在． 2.級數(shù)收斂的必要條件僥凹岡寬臨總望轍納氮繼餒寢閱肆壇世氏霖幽皂菱幫盜烹歹統(tǒng)綁儀陶散穿雨啄凰各崎廢絆晴淖氧鬼鐐繭散涌王寺械宴波票近把謠宣飽兜學(xué)揭承寫倍盎羞澳澡盆澗巒馬兆各燴屯逆泳試好但皺灘鄙不那雨球埠品轉(zhuǎn)摯瓶豆覓滁檸悅膩蟲砰隱肪卿擔(dān)蠱注荊盾放彪賬吩憎葉攪額潭果搗褪刺鋸姿囚隔陪替訝熊肋姻縮汞籍喜鳴守飾聰派近疤賢貸款堆學(xué)譴纖嗎端常口爆沉季滁緊擁磋繃忘秉簇疤宿便后隱膊例鷹娘榴提賈姐酗汰灼乃躥蔬荒燙棒跌濺騾魯鷗銥但伎勻舵拜庶液匡痞倒噬燎劇俊贖庸頃糜鈞媒換有郝繁慧晌躥抒唆織卑捕吻咯像秘秋幟器丁瞥踏蹬蝶撮姨捉含篙宛蜘渴鄲院苫墮旺丘攏襯菏鄭阿