2020版高考理科數(shù)學人教版一輪復習講義：第十章 第五節(jié) 古典概型與幾何概型 Word版含答案

第五節(jié)第五節(jié)古典概型與幾何概型古典概型與幾何概型 1.古典概型古典概型 (1)古典概型的特征：古典概型的特征： 有限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的，即只有有限個不同的基本事件；有限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的，即只有有限個不同的基本事件；,等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的. 一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征有限性和等有限性和等可能性可能性. (2)古典概型的概率計算的基本步驟：古典概型的概率計算的基本步驟： 判斷本次試驗的結(jié)果是否是等可能的，設出所求的事件為判斷本次試驗的結(jié)果是否是等可能的，設出所求的事件為 A； 分別計算基本事件的總數(shù)分別計算基本事件的總數(shù) n 和所求的事件和所求的事件 A 所包含的基本事件個數(shù)所包含的基本事件個數(shù) m； 利用古典概型的概率公式利用古典概型的概率公式 P(A)mn，求出事件，求出事件 A 的概率的概率. (3)頻率的計算頻率的計算公式與古典概型的概率計算公式的異同公式與古典概型的概率計算公式的異同 名稱名稱 不同點不同點 相同點相同點 頻率計頻率計 算公式算公式 頻率計算中的頻率計算中的 m，n 均隨隨機試驗的變化而變化，但隨均隨隨機試驗的變化而變化，但隨著試驗次數(shù)的增多，它們的比值逐漸趨近于概率值著試驗次數(shù)的增多，它們的比值逐漸趨近于概率值 都計算了一個比值都計算了一個比值mn 古典概型的古典概型的 概率計算公式概率計算公式 mn是一個定值，對同一個隨機事件而言，是一個定值，對同一個隨機事件而言，m，n 都不都不會變化會變化 2.幾何概型幾何概型 (1)概念： 如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度概念： 如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度(面積或體積面積或體積)成比例， 則稱成比例， 則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型. (2)幾何概型的基本特點：幾何概型的基本特點： 試驗中所有可試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件基本事件)有無限多個；有無限多個； 每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等. (3)計算公式：計算公式： P(A)構成事件構成事件A的區(qū)域長度的區(qū)域長度 面積或體積面積或體積 試驗的全部結(jié)果所構成的區(qū)域長度試驗的全部結(jié)果所構成的區(qū)域長度 面積或體積面積或體積 . 幾何概型應用中的關注點幾何概型應用中的關注點 1 關鍵是要構造出隨機事件對應的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來求隨機事件的概率關鍵是要構造出隨機事件對應的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來求隨機事件的概率. 2 確定基本事件時一定要選準度量，注意基本事件的等可能性確定基本事件時一定要選準度量，注意基本事件的等可能性. 小題查驗基礎小題查驗基礎 一、判斷題一、判斷題(對的打?qū)Φ拇颉啊?，錯的打，錯的打“”“”) (1)與面積有關的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關與面積有關的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關.( ) (2)幾何概幾何概型與古典概型中的基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，其基本事件個數(shù)都有型與古典概型中的基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，其基本事件個數(shù)都有限限.( ) (3)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面兩個正面”“”“一正一反一正一反”“”“兩個反面兩個反面”，這三個事件是等可，這三個事件是等可能事件能事件.( ) (4)在古典概型中，如果事件在古典概型中，如果事件 A 中基本事件構成集合中基本事件構成集合 A，所有的基本事件構成集合，所有的基本事件構成集合 I，則，則事件事件 A 的概率為的概率為card A card I .( ) 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 二、選填題二、選填題 1.一枚硬幣連擲一枚硬幣連擲 2 次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為( ) A.23 B.14 C.13 D.12 解析：解析：選選 D 一枚硬幣連擲一枚硬幣連擲 2 次可能出現(xiàn)次可能出現(xiàn)(正，正正，正)、(反，反反，反)、(正，反正，反)、(反，正反，正)四種情四種情況，只有一次出現(xiàn)正面的情況有兩種，故況，只有一次出現(xiàn)正面的情況有兩種，故 P2412. 2.某路公共汽車每某路公共汽車每 5 分鐘發(fā)車一次， 某乘客到乘車點的時刻是隨機的， 則他候車時間不超分鐘發(fā)車一次， 某乘客到乘車點的時刻是隨機的， 則他候車時間不超過過 2 分鐘的概率是分鐘的概率是( ) A.35 B.45 C.25 D.15 解析：解析：選選 C 試驗的全部結(jié)果構成的區(qū)域長度為試驗的全部結(jié)果構成的區(qū)域長度為 5，所求事件的區(qū)域長度為，所求事件的區(qū)域長度為 2，故所求概，故所求概率為率為 P25. 3.已知四邊形已知四邊形 ABCD 為長方形，為長方形，AB2，BC1，O 為為 AB 的中點，在長方形的中點，在長方形 ABCD 內(nèi)隨內(nèi)隨機取一點，取到的點到機取一點，取到的點到 O 的距離大于的距離大于 1 的概率為的概率為( ) A.4 B.14 C.8 D.18 解析：解析：選選 B 如圖，依題意可知所求概率為圖中陰影部分與長方形如圖，依題意可知所求概率為圖中陰影部分與長方形的面積比，即所求概率的面積比，即所求概率 PS陰影陰影S長方長方形形ABCD22214. 4.從從 1,2,3,4,5 中任意取出兩個不同的數(shù)，其和為中任意取出兩個不同的數(shù)，其和為 5 的概率是的概率是_. 解析：解析：兩數(shù)之和等于兩數(shù)之和等于 5 有兩種情況有兩種情況(1,4)和和(2,3)，總的基本事件有，總的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共，共 10 種，故所求概率種，故所求概率 P21015. 答案：答案：15 5.袋中有形狀、大小都相同袋中有形狀、大小都相同的的 4 只球，其中只球，其中 1 只白球，只白球，1 只紅球，只紅球，2 只黃球只黃球.從中一次隨機從中一次隨機摸出摸出 2 只球，則這只球，則這 2 只球顏色不同的概率為只球顏色不同的概率為_. 解析：解析：P1C22C2411656. 答案：答案：56 考點一考點一 古典概型古典概型師生共研過關師生共研過關 典例精析典例精析 (1)(2018 全國卷全國卷)我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是哥德巴赫猜想是“每個大于每個大于 2 的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如，如 30723.在不超過在不超過 30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于 30 的概率是的概率是( ) A.112 B.114 C.115 D.118 (2)(2019 武漢調(diào)研武漢調(diào)研)將一枚質(zhì)地均勻的骰子投擲兩次，得到的點數(shù)依次記為將一枚質(zhì)地均勻的骰子投擲兩次，得到的點數(shù)依次記為 a 和和 b，則方，則方程程 ax2bx10 有實數(shù)解的概率是有實數(shù)解的概率是( ) A.736 B.12 C.1936 D.518 解析解析 (1)不超過不超過 30 的所有素數(shù)為的所有素數(shù)為 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共，共 10 個，隨機選取兩個不個，隨機選取兩個不同的數(shù)，共有同的數(shù)，共有 C21045 種情況，而和為種情況，而和為 30 的有的有 723,1119,1317 這這 3 種情況，種情況，所以所求概所以所求概率率 P345115. (2)投擲骰子兩次， 所得的點數(shù)投擲骰子兩次， 所得的點數(shù) a 和和 b 滿足的關系為滿足的關系為 1a6，aN*，1b6，bN*，所以所以 a 和和 b 的組的組合有合有 36 種種. 若方程若方程 ax2bx10 有實數(shù)解，有實數(shù)解， 則則 b24a0，所以，所以 b24a. 當當 b1 時，沒有時，沒有 a 符合條件；當符合條件；當 b2 時，時，a 可取可取 1；當；當 b3 時，時，a 可取可取 1,2；當；當 b4 時，時，a 可取可取 1,2,3,4；當；當 b5 時，時，a 可取可取 1,2,3,4,5,6；當；當 b6 時，時，a 可取可取 1,2,3,4,5,6. 滿足條件的組合有滿足條件的組合有 19 種，則方程種，則方程 ax2bx10 有實數(shù)解的概率有實數(shù)解的概率 P1936. 答案答案 (1)C (2)C 解題技法解題技法 1.古典概型的概率求解步驟古典概型的概率求解步驟 (1)求出所有基本事件的個數(shù)求出所有基本事件的個數(shù) n. (2)求出事件求出事件 A 包含的所有基本事件的個數(shù)包含的所有基本事件的個數(shù) m. (3)代入公式代入公式 P(A)mn求解求解. 2.基本事件個數(shù)的確定方法基本事件個數(shù)的確定方法 (1)列舉法：此法適合于基本事件個數(shù)較少的古典概型列舉法：此法適合于基本事件個數(shù)較少的古典概型. (2)列表法：此法適合于從多個元素中選定兩個元素的試驗，也可看成坐標法列表法：此法適合于從多個元素中選定兩個元素的試驗，也可看成坐標法. (3)樹狀圖樹狀圖法：樹狀圖是進行列舉的一種常用方法，適用于有順序的問題及較復雜問題中法：樹狀圖是進行列舉的一種常用方法，適用于有順序的問題及較復雜問題中基本事件數(shù)的探求基本事件數(shù)的探求. (4)運用排列組合知識計算運用排列組合知識計算. 過關訓練過關訓練 1.(2019 益陽、湘潭調(diào)研益陽、湘潭調(diào)研)已知已知 a2,0,1,2,3，b3,5，則函數(shù)，則函數(shù) f(x)(a22)exb 為減為減函數(shù)的概率是函數(shù)的概率是( ) A.310 B.35 C.25 D.15 解析：解析：選選 C 若函數(shù)若函數(shù) f(x)(a22)exb 為減函數(shù)，則為減函數(shù)，則 a220，又，又 a2,0,1,2,3，故故只有只有 a0，a1 滿足題意，又滿足題意，又 b3,5，所以函數(shù)，所以函數(shù) f(x)(a22)exb 為減函數(shù)的概率是為減函數(shù)的概率是225225. 2.從分別標有從分別標有 1,2，9 的的 9 張卡片中不放回地隨機抽取張卡片中不放回地隨機抽取 2 次，每次抽取次，每次抽取 1 張，則抽到張，則抽到的的 2 張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是( ) A.518 B.49 C.59 D.79 解析：解析：選選 C 由題意得，所求概率由題意得，所求概率 P5429859. 3.將將 A，B，C，D 這這 4 名同學從左至右隨機地排成一排，則名同學從左至右隨機地排成一排，則“A 與與 B 相鄰且相鄰且 A 與與 C 之間之間恰好有恰好有 1 名同學名同學”的概率是的概率是( ) A.12 B.14 C.16 D.18 解析：解析：選選 B A，B，C，D 4 名同學排成一排有名同學排成一排有 A4424 種排法種排法.當當 A，C 之間是之間是 B 時，有時，有224 種排法，當種排法，當 A，C 之間是之間是 D 時，有時，有 2 種排法，所以所求概率種排法，所以所求概率 P422414. 考點二考點二 幾何概型幾何概型全析考法過關全析考法過關 考法全析考法全析 類型類型(一一) 與長度有關的幾何概型與長度有關的幾何概型 例例 1 (2019 濮陽模擬濮陽模擬)在在6,9內(nèi)任取一個實數(shù)內(nèi)任取一個實數(shù) m，設，設 f(x)x2mxm，則函數(shù)，則函數(shù) f(x)的圖象與的圖象與 x 軸有公共點的概率等于軸有公共點的概率等于( ) A.215 B.715 C.35 D.1115 解析解析 f(x)x2mxm 的圖象與的圖象與 x 軸有公共點，軸有公共點，m24m0，m4 或或m0，在在6,9內(nèi)取一個實數(shù)內(nèi)取一個實數(shù) m，函數(shù)，函數(shù) f(x)的圖象與的圖象與 x 軸有公共點的概率軸有公共點的概率 P4 6 90 9 6 1115，故選，故選 D. 答案答案 D 類型類型(二二) 與面積有關的幾何概型與面積有關的幾何概型 例例 2 (1)(2018 濰坊模擬濰坊模擬)如圖， 六邊形如圖， 六邊形 ABCDEF 是一個正六邊形，是一個正六邊形，若在正六邊形內(nèi)任取一點，則該點恰好在圖中陰影部分的概率是若在正六邊形內(nèi)任取一點，則該點恰好在圖中陰影部分的概率是( ) A.14 B.13 C.23 D.34 (2)(2019 洛陽聯(lián)考洛陽聯(lián)考)如圖，圓如圖，圓 O：x2y22內(nèi)的正弦曲線內(nèi)的正弦曲線 ysin x 與與x 軸圍成的區(qū)域記為軸圍成的區(qū)域記為 M(圖中陰影部分圖中陰影部分)，隨機往圓，隨機往圓 O 內(nèi)投一個點內(nèi)投一個點 A，則點，則點A 落在區(qū)域落在區(qū)域 M 內(nèi)的概率是內(nèi)的概率是( ) A.42 B.43 C.22 D.23 解析解析 (1)設正六邊形的中心為點設正六邊形的中心為點 O，BD 與與 AC 交于點交于點 G，BC1，則，則 BGCG，BGC120 ，在，在BCG 中，由余弦定理得中，由余弦定理得 1BG2BG22BG2cos 120 ，得，得 BG33，所以，所以 SBCG 12BGBGsin 120 12333332312， 因為， 因為S六邊形六邊形ABCDEFSBOC61211sin 60 63 32，所以該點恰好在圖中陰影部分的概率，所以該點恰好在圖中陰影部分的概率 P16SBCGS六邊形六邊形ABCDEF23. (2)由題意知圓由題意知圓 O 的面積為的面積為 3， 正弦曲線， 正弦曲線 ysin x， x， 與與 x 軸圍成的區(qū)域記為軸圍成的區(qū)域記為 M，根據(jù)圖形的對稱性得區(qū)域根據(jù)圖形的對稱性得區(qū)域 M 的面積的面積 S20 sin xdx2cos x|0 4，由幾何概型的概率計，由幾何概型的概率計算公式可得，隨機往圓算公式可得，隨機往圓 O 內(nèi)投一個點內(nèi)投一個點 A，則點，則點 A 落在區(qū)域落在區(qū)域 M 內(nèi)的概率內(nèi)的概率 P43. 答案答案 (1)C (2)B 類型類型(三三) 與體積有關的幾何概型與體積有關的幾何概型 例例 3 已知在四棱錐已知在四棱錐 P- ABCD 中，中，PA底面底面 ABCD，底面，底面 ABCD 是正方形，是正方形，PAAB2， 現(xiàn)在該四棱錐內(nèi)部或表面任取一點， 現(xiàn)在該四棱錐內(nèi)部或表面任取一點O， 則四棱錐， 則四棱錐O - ABCD的體積不小于的體積不小于23的概率為的概率為_. 解析解析 當四棱錐當四棱錐 O - ABCD 的體積為的體積為23時，設時，設 O 到平面到平面 ABCD 的距離的距離為為 h，則，則1322h23，解得，解得 h12. 如圖所示，在四棱錐如圖所示，在四棱錐 P- ABCD 內(nèi)作平面內(nèi)作平面 EFGH 平行于底面平行于底面 ABCD，且，且平面平面 EFGH 與底面與底面 ABCD 的距離為的距離為12. 因為因為 PA底面底面 ABCD，且，且 PA2，所以，所以PHPA34， 又四棱錐又四棱錐 P- ABCD 與四棱錐與四棱錐 P- EFGH 相似，相似， 所以四棱錐所以四棱錐 O - ABCD 的體積不小于的體積不小于23的概率的概率 PV四棱錐四棱錐P- EFGHV四棱錐四棱錐P- ABCD PHPA3 3432764. 答案答案 2764 類型類型(四四) 與角度有關的幾何概型與角度有關的幾何概型 例例 4 如圖，四邊形如圖，四邊形 ABCD 為矩形，為矩形，AB 3，BC1，以，以 A 為為圓圓心，心，1 為半徑作四分之一個圓弧為半徑作四分之一個圓弧，在，在DAB 內(nèi)任作射線內(nèi)任作射線 AP，則射，則射線線AP 與線段與線段 BC 有公共點的概率為有公共點的概率為_. 解析解析 連接連接 AC，如圖，如圖， 因為因為 tanCABBCAB33， 所以所以CAB6，滿足條件的事件是直線，滿足條件的事件是直線 AP 在在CAB 內(nèi)，且內(nèi)，且 AP 與與 AC 相交時，即直線相交時，即直線AP 與線段與線段 BC 有公共點，所以射線有公共點，所以射線 AP 與線段與線段 BC 有公共點的概率有公共點的概率 PCABDAB6213. 答案答案 13 規(guī)律探求規(guī)律探求 看看 個個 性性 類型類型(一一)與與類型類型(四四)分別講的是與長度有關和與角度有關的幾何概型分別講的是與長度有關和與角度有關的幾何概型. 要特別注意要特別注意“長度型長度型”與與“角度型角度型”的不同的不同.解題的關鍵是構建事件的區(qū)域解題的關鍵是構建事件的區(qū)域(長度或角度長度或角度). 類型類型( (二二) )是與面積有關的幾何概型是與面積有關的幾何概型. . 求求解與面積有關的幾何概型時，關鍵是弄清某事件對應的面積，必要時可根據(jù)題意構造解與面積有關的幾何概型時，關鍵是弄清某事件對應的面積，必要時可根據(jù)題意構造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結(jié)果構成的平面圖形，以便求解兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結(jié)果構成的平面圖形，以便求解. 類型類型( (三三) )是與體積有關的幾何概型是與體積有關的幾何概型. . 對于與體積有關的幾何概型問題， 關鍵是計算問題的總體積對于與體積有關的幾何概型問題， 關鍵是計算問題的總體積(總空間總空間)以及事件的體積以及事件的體積(事事件空間件空間)，對于某些較復雜的問題也可利用其對立事件求解，對于某些較復雜的問題也可利用其對立事件求解 找找 共共 性性 建立相應的幾何概型，將試驗構成的總區(qū)域和所求事件構成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形，并建立相應的幾何概型，將試驗構成的總區(qū)域和所求事件構成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形，并加以度量加以度量. (1)若一個連續(xù)變量可建立與長度有關的幾何概型，則只需把這個變量放在數(shù)軸上即可；若一個連續(xù)變量可建立與長度有關的幾何概型，則只需把這個變量放在數(shù)軸上即可； (2)若一若一個隨機事件需要用兩個連續(xù)變量來描述，則可用這兩個變量組成的有序?qū)崝?shù)對個隨機事件需要用兩個連續(xù)變量來描述，則可用這兩個變量組成的有序?qū)崝?shù)對來表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標系即可建立與面積有關的幾何概型；來表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標系即可建立與面積有關的幾何概型； (3)若一個隨機事件需要用三個連續(xù)變量來描述，則可用這三個變量組成的有序數(shù)組來若一個隨機事件需要用三個連續(xù)變量來描述，則可用這三個變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件，利用空間直角坐標系即可建立與體積有關的幾何概型表示基本事件，利用空間直角坐標系即可建立與體積有關的幾何概型 過關訓練過關訓練 1.(2019 豫東名校聯(lián)考豫東名校聯(lián)考)一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，點一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，點 M 是是AB 的中點，一只蝴蝶在幾何體的中點，一只蝴蝶在幾何體 ADF- BCE 內(nèi)自由飛翔，則它飛入幾何體內(nèi)自由飛翔，則它飛入幾何體F- AMCD 內(nèi)的概率為內(nèi)的概率為( ) A.34 B.23 C.13 D.12 解析：解析：選選 D 由題圖可知由題圖可知 VF- AMCD13S四邊形四邊形AMCDDF14a3，VADF- BCE12a3， 所以它飛入幾何體所以它飛入幾何體 F- AMCD 內(nèi)的概率內(nèi)的概率 P14a312a312. 2.在區(qū)間在區(qū)間0，上隨機取一個數(shù)上隨機取一個數(shù) x，則事件，則事件“sin xcos x22”發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為_. 解析：解析：由題意可得由題意可得 sin xcos x22，0 x， 即即 sin x412，0 x，解得解得 0 x712， 故所求的概率為故所求的概率為712712. 答案：答案：712 3.(2018 唐山模擬唐山模擬)向圓向圓(x2)2(y 3)24 內(nèi)隨機投擲一點，則該點落在內(nèi)隨機投擲一點，則該點落在 x 軸下方的概軸下方的概率為率為_. 解析：解析：如圖，連接如圖，連接 CA，CB，依題意，圓心，依題意，圓心 C 到到 x 軸的距離為軸的距離為 3，所，所以弦以弦 AB 的長為的長為 2.又圓的半徑為又圓的半徑為 2，所以弓形，所以弓形 ADB 的面積為的面積為12232122 323 3，所以向圓，所以向圓(x2)2(y 3)24 內(nèi)隨機投擲一點，則該內(nèi)隨機投擲一點，則該點落在點落在 x 軸下方的概率軸下方的概率 P1634. 答案：答案：1634