2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 2.1 復(fù)數(shù)的加法與減法學(xué)案 北師大版選修1 -2.docx

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2．1　復(fù)數(shù)的加法與減法 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.熟練掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運算.2.理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對加法的分配律.3.理解共軛復(fù)數(shù)的概念． 知識點　復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法 思考　類比多項式的加減法運算，想一想復(fù)數(shù)如何進(jìn)行加減法運算？ 答案　兩個復(fù)數(shù)相加(減)就是把實部與實部、虛部與虛部分別相加(減)，即(a＋bi)(c＋di)＝(ac)＋(bd)i. 梳理　(1)運算法則 設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意兩個復(fù)數(shù)，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i. (2)加法運算律 對任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 1．在進(jìn)行復(fù)數(shù)的加法時，實部與實部相加得實部，虛部與虛部相加得虛部．(　√　) 2．復(fù)數(shù)的加、減法滿足交換律和結(jié)合律．(　√　) 類型一　復(fù)數(shù)的加法、減法運算 例1　(1)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，復(fù)數(shù)z1＋z2所對應(yīng)的點在實軸上，則a＝________. (2)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|i＋z＝1＋3i，則z＝________. 考點　復(fù)數(shù)的加減法運算法則 題點　復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用 答案　(1)－1　(2)1＋i 解析　(1)z1＋z2＝(2＋i)＋(3＋ai)＝5＋(a＋1)i， 由題意得a＋1＝0，則a＝－1. (2)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|＝， ∴|z|i＋z＝i＋x＋yi＝x＋(＋y)i ＝1＋3i， ∴解得 ∴z＝1＋i. 反思與感悟　(1)復(fù)數(shù)的加減運算就是實部與實部相加減，虛部與虛部相加減． (2)當(dāng)一個等式中同時含有|z|與z時，一般用待定系數(shù)法，設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)若復(fù)數(shù)z滿足z＋i－3＝3－i，則z＝________. (2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝________(a，b∈R)． (3)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＋z＝1＋i，則z＝________. 考點　復(fù)數(shù)的加減法運算法則 題點　復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用 答案　(1)6－2i　(2)－a＋(4b－3)i　(3)i 解析　(1)∵z＋i－3＝3－i，∴z＝6－2i. (2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i ＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i. (3)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，|z|＝， ∴|z|＋z＝(＋x)＋yi＝1＋i， ∴解得　∴z＝i. 類型二　復(fù)數(shù)加、減法的應(yīng)用 例2　(1)如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O，A，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0，3＋2i，－2＋4i.求：①表示的復(fù)數(shù)；②表示的復(fù)數(shù)；③表示的復(fù)數(shù)． 解　因為A，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為3＋2i，－2＋4i， 由復(fù)數(shù)的幾何意義知，與表示的復(fù)數(shù)分別為3＋2i，－2＋4i. ①因為＝－，所以表示的復(fù)數(shù)為－3－2i. ②因為＝－， 所以表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③＝＋， 所以表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. (2)已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|. 解　根據(jù)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，由|z1|＝|z2|知，以，為鄰邊的平行四邊形OACB是菱形． 如圖，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2， ∴||＝||，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1＋z2，∴||＝. 在△AOC中，||＝||＝1，||＝， ∴∠AOC＝30. 同理得∠BOC＝30， ∴△OAB為等邊三角形，則||＝1，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1－z2，∴|z1－z2|＝1. 引申探究　 若將本例(2)中的條件“|z1＋z2|＝”改為“|z1－z2|＝1”，求|z1＋z2|. 解　如例2(2)解析中的圖，向量表示的復(fù)數(shù)為z1－z2，∴||＝1， 則△AOB為等邊三角形，∴∠AOC＝30. 取AB與OC的交點為D， 則||＝，∴||＝，而表示的復(fù)數(shù)為z1＋z2， ∴|z1＋z2|＝. 反思與感悟　(1)技巧： ①形轉(zhuǎn)化為數(shù)：利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)運算去處理； ②數(shù)轉(zhuǎn)化為形：對于一些復(fù)數(shù)運算也可以給予幾何解釋，使復(fù)數(shù)作為工具運用于幾何之中． (2)常見結(jié)論：在復(fù)平面內(nèi)，z1，z2對應(yīng)的點分別為A，B，z1＋z2對應(yīng)的點為C，O為坐標(biāo)原點，則四邊形： ①OACB為平行四邊形； ②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，則四邊形OACB為矩形； ③若|z1|＝|z2|，則四邊形OACB為菱形； ④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，則四邊形OACB為正方形． 跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知復(fù)平面內(nèi)的平面向量，表示的復(fù)數(shù)分別是－2＋i,3＋2i，則||＝________. (2)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai，復(fù)數(shù)z2－z1所對應(yīng)的點在第四象限上，則實數(shù)a的取值范圍是__________． 答案　(1)　(2)(－∞，1) 解析　(1)∵＝＋， ∴表示的復(fù)數(shù)為(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， ∴||＝＝. (2)z2－z1＝1＋(a－1)i， 由題意知a－1<0，即a<1. 1．已知復(fù)數(shù)z1＝－i和復(fù)數(shù)z2＝cos60＋isin60，則z1＋z2等于(　　) A．1 B．－1 C.－i D.＋i 答案　A 解析　∵z2＝＋i，∴z1＋z2＝1. 2．設(shè)z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，則z1－z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　∵z1－z2＝5－7i， ∴z1－z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限． 3．在復(fù)平面內(nèi)，O是原點，，，表示的復(fù)數(shù)分別為－2＋i，3＋2i,1＋5i，則表示的復(fù)數(shù)為(　　) A．2＋8i B．－6－6i C．4－4i D．－4＋2i 答案　C 解析?。剑剑?＋)＝4－4i. 4．已知復(fù)數(shù)z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2為純虛數(shù)，則a＝________. 答案　－1 解析　∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)為純虛數(shù)，∴解得a＝－1. 5．設(shè)平行四邊形ABCD在復(fù)平面內(nèi)，A為原點，B，D兩點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是3＋2i和2－4i，則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是__________． 答案　5－2i 解析　設(shè)AC與BD的交點為E，則E點坐標(biāo)為，設(shè)點C坐標(biāo)為(x，y)，則x＝5，y＝－2，故點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為5－2i. 1．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法滿足交換律、結(jié)合律，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算． 2．復(fù)數(shù)加法的幾何意義就是向量加法的平行四邊形法則，復(fù)數(shù)減法的幾何意義就是向量減法的三角形法則． 一、選擇題 1．實數(shù)x，y滿足z1＝y(tǒng)＋xi，z2＝y(tǒng)i－x，且z1－z2＝2，則xy的值是(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－1 答案　A 解析　z1－z2＝(y＋x)＋(x－y)i＝2， 即　∴x＝y(tǒng)＝1，則xy＝1. 2．已知復(fù)數(shù)z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－2或1 答案　C 解析　z1＋z2＝(a2＋a－2)＋(a2－3a＋2)i， 由題意知　解得a＝－2. 3．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系式z＋|z|＝2＋i，則z等于(　　) A．－＋i B.－i C．－－i D.＋i 答案　D 解析　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)， 則z＋|z|＝(a＋)＋bi＝2＋i， 則　解得 ∴z＝＋i. 4．設(shè)f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，則f(z1－z2)等于(　　) A. B．5 C. D．5 答案　D 解析　∵z1－z2＝5＋5i，∴f(z1－z2)＝|z1－z2|＝5. 5．在復(fù)平面內(nèi)點A，B，C所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋3i，－i，2＋i，若＝，則點D表示的復(fù)數(shù)是(　　) A．1－3i B．－3－i C．3＋5i D．5＋3i 答案　C 解析　∵點A，B，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋3i，－i,2＋i， ∴對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋2i.設(shè)D(x，y)， ∵＝，∴(x－1，y－3)＝(2,2)， ∴　解得 ∴點D表示的復(fù)數(shù)為3＋5i. 6．已知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量如圖所示，則復(fù)數(shù)z＋1所對應(yīng)的向量正確的是(　　) 答案　A 解析　由圖知z＝－2＋i，則z＋1＝－1＋i，由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，A正確． 7．復(fù)數(shù)z1＝1＋icosθ，z2＝sinθ－i，則|z1－z2|的最大值為(　　) A．3－2 B.－1 C．3＋2 D.＋1 答案　D 解析　|z1－z2|＝|(1－sinθ)＋(cosθ＋1)i| ＝ ＝ ＝. ∵max＝1， ∴|z1－z2|max＝＝＋1. 二、填空題 8．計算(5－5i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝________. 答案　－10i 解析　(5－5i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2－3)＋(－5－1－4)i＝－10i. 9．已知x，y∈R，i為虛數(shù)單位，(x－2)i＋3－y＝1－i，則x－y－(x＋y)i＝________. 答案?。?－3i 解析　依據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，得到 即所以x－y－(x＋y)i＝－1－3i. 10．若復(fù)數(shù)z滿足z＝|z|－3－4i，則z＝________. 答案?。?i 解析　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)． ∵z＝|z|－3－4i，∴a＋bi＝－3－4i， ∴解得 ∴z＝－4i. 11．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．設(shè)z＝z1－z2，且z＝13－2i，則z1＝________，z2＝________. 答案　5－9i　－8－7i 解析　∵z＝z1－z2＝(3x＋y－4y＋2x)＋(y－4x＋5x＋3y)i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i， ∴解得 ∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i. 三、解答題 12．計算： (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]． 解　(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i) ＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i. (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)] ＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. 13．設(shè)m∈R，復(fù)數(shù)z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虛數(shù)，求m的取值范圍． 解　∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i， ∴z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i ＝＋(m2－2m－15)i. ∵z1＋z2為虛數(shù)，∴m2－2m－15≠0且m≠－2， 解得m≠5，m≠－3且m≠－2(m∈R)． 四、探究與拓展 14．已知復(fù)數(shù)(x－2)＋yi(x，y∈R)的模為，則的最大值為________． 答案　 解析　∵|x－2＋yi|＝， ∴(x－2)2＋y2＝3，故(x，y)在以C(2,0)為圓心，為半 徑的圓上，表示圓上的點(x，y)與原點連線的斜率． 如圖，由平面幾何知識易知，的最大值為. 15．已知復(fù)平面內(nèi)平行四邊形ABCD，A點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋i，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋2i，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－i，求： (1)點C，D對應(yīng)的復(fù)數(shù)； (2)平行四邊形ABCD的面積． 解　(1)因為向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋2i，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－i， 所以向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又＝＋， 所以點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因為＝， 所以向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－i， 即＝(3，－1)． 設(shè)D(x，y)，則＝(x－2，y－1)＝(3，－1)， 所以解得 所以點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為5. (2)因為＝||||cosB， 所以cosB＝＝＝. 所以sinB＝. 所以S＝||||sinB＝＝7， 所以平行四邊形ABCD的面積為7.