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1、
《無窮級數(shù)》練習題
1. 討論下列級數(shù)的斂散性：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）。
2. 對級數(shù)，若，證明：時級數(shù)收斂，
時級數(shù)發(fā)散。
3. 設(shè)正項級數(shù)收斂，證明：（1）收斂；（2）收斂。
4. 設(shè)n充分大時，，且收斂，證明：收斂。
5. 設(shè)，討論級數(shù)…的斂散性。
6. 下列級數(shù)是否收斂？如收斂是絕對收斂還是條件收斂？
（1）； （2）。
7. 對常數(shù)，討論級數(shù)何時絕對收斂？何時條件收斂？何時發(fā)散？
8. 設(shè)正項數(shù)列單調(diào)減少，且發(fā)散，討論的斂散性。
9. 設(shè)，（1）求的值；
2、（2）討論的斂散性。
10. 設(shè)冪級數(shù)在處條件收斂，求的收斂區(qū)間。
11. 求級數(shù)的收斂域
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（1）； （2）； （3）。
12. 求下列級數(shù)的和：
（1）； （2）；
（3）； （4）。
13. 求下列冪級數(shù)的和函數(shù)：
（1） （2） （3）
14. 利用冪級數(shù)展開式求導數(shù)：
（1） （2）
15. 求下列函數(shù)關(guān)于x 的冪級數(shù)展開式，并指出收斂域：
（1）； （2）。
16. 把展開為 的冪級數(shù)。
答案：1：收斂；收斂；收斂；；收斂；發(fā)散
2，3，4：略。
3、 5：。 6：條件收斂；條件收斂。
7：條件收斂，發(fā)散。
8：收斂。 9：1，收斂。 10：
11：時時，。
12：。
13：
，
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14：，
15（2） 16：，。
《無窮級數(shù)》部分例題解答
例1. 設(shè)數(shù)列滿足，若級數(shù)都收斂，證明：也收斂。
證：由知：；
再由都收斂，得收斂。根據(jù)正項級數(shù)的比較判別法得
收斂。所以 收斂。
例2. 設(shè)……），…，討論級數(shù)的斂散性。
解：級數(shù)收斂，證明如下：
因為……），所以 ……
由于 ，所以
從而
4、級數(shù)前n項的和
… +…
=
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即正項級數(shù)前n項的和有界。所以正項級數(shù)收斂。
例3 （1）討論級數(shù)的斂散性。
（2）證明：數(shù)列 ……收斂；
（3）求……。
解： （1） 根據(jù)常用不等式 可知：，所以
級數(shù)是正項級數(shù)，由于
故由比較判別法，得級數(shù)與同收斂。
（2） 由于收斂，故前n項的和有極限，即
……
有極限，上式可變形為
……
……
……，
所以數(shù)列 ……收斂；
（3）……
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例4 設(shè)級數(shù)條件收斂，極限存在，求r的值
5、，并舉出滿足這些條件的例子。
解：r = 1，證明如下：
若，則，它說明級數(shù)收斂，與條件收斂矛盾。
若，則，它說明級數(shù)發(fā)散，與條件收斂矛盾。
若，則n充分大時，它說明同號（同為正，或者同為負），級數(shù)收斂時就是絕對收斂，矛盾。
綜上所述，r = 1。
滿足這些條件的例子為：
例5 設(shè)k為常數(shù)，討論級數(shù)的斂散性，并在收斂時說明是絕對收斂還是條件收斂。（PPT上題目與這里有出入，以這里為準）
解：
此時級數(shù)發(fā)散；
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考慮
因為，
故由收斂得：收斂，級數(shù)收斂；且是絕對收斂。
6、
故由發(fā)散得：發(fā)散，此時級數(shù)不是絕對收斂；
由于顯然滿足：
根據(jù)交錯級數(shù)的萊布尼滋判別法知：級數(shù)收斂；且是條件收斂。
級數(shù)前n項的和
……
=……
……
即正項級數(shù)前n項的和有界，故收斂，所以原級數(shù)收斂，且絕對收斂。
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注：級數(shù)的收斂性也可用“積分判別法”證明。
級數(shù)與反常積分同斂散，而
收斂。
（注：可編輯下載，若有不當之處，請指正，謝謝!）
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