中考數(shù)學復習 第二章方程與不等式 第8課 列方程(組)解應用題課件

第8課 列方程(組)解應用題 1列方程(組)解應用題的一般步驟： (1) ； (2) ； (3)找出包含未知數(shù)的 ； (4) ； (5) ； (6) 要點梳理要點梳理審題審題設(shè)元設(shè)元等量關(guān)系等量關(guān)系列出方程列出方程(組組)求出方程求出方程(組組)的解的解檢驗并作答檢驗并作答2各類應用題的等量關(guān)系： (1)行程問題：路程速度時間； 相遇問題：兩者路程之和全程； 追及問題：快者路程慢者先走路程(或相距路程)慢者 后走路程 (2)工程問題：工作量工作效率工作時間 (3)幾何圖形問題： 面積問題：S長方形ab(a、b分別表示長和寬)； S正方形a2(a表示邊長)； S圓r2(r表示圓的半徑) 體積問題：V長方體abh(a、b、h分別表示長、寬、高)； V正方體a3(a表示邊長)； V圓錐r2h(r表示底面圓的半徑，h表示高)； 其它幾何圖形問題：如線段、周長等(4)增長率問題：如果基數(shù)用a表示，末數(shù)用A表示，x表示增長率，時間間隔用n表示，那么增長率問題的數(shù)量關(guān)系是：a(1x)nA.(5)利潤問題： 利潤銷售價進貨價； 利潤率 ； 銷售價(1利潤率)進貨價(6)利息問題： 利息本金利率期數(shù)； 本息和本金利息1正確理解方程是一種重要的數(shù)學模型 實際生活中的許多問題都與數(shù)學有關(guān)，我們需要將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，通過解決相應的數(shù)學問題去解決實際問題，這就是“數(shù)學建?！钡囊饬x方程是一種重要的數(shù)學模型，可以解決很多實際問題，構(gòu)建刻畫實際問題的一元一次方程、二元一次方程(組)、一元二次方程等就是貫穿本課時的中心問題2掌握列方程(組)解應用題的基本思想 列方程(組)解應用題是把“未知”轉(zhuǎn)化成“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：方程兩邊表示的是同類量；同類量的單位要統(tǒng)一；方程兩邊的數(shù)值要相等 難點正本難點正本 疑點清源疑點清源 1(2011日照)某道路一側(cè)原有路燈106盞，相鄰兩盞燈的距離為36米，現(xiàn)計劃全部更換為新型的節(jié)能燈，且相鄰兩盞燈的距離變?yōu)?0米，則需更換的新型節(jié)能燈有() A54盞 B55盞 C56盞 D57盞 解析：設(shè)需更換的新型節(jié)能燈有x盞， 則70(x1)(1061)36，解之得x55.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測B x12560 解析：小明準時到校所需時間可表示為解析：小明準時到校所需時間可表示為 時或時或 時，所以時，所以 . x151060 x15 1060 x12 560 2(2011銅仁)小明從家里騎自行車到學校，每小時騎15km，可早到10分鐘，每小時騎12km就會遲到5分鐘問他家到學校的路程是多少km？設(shè)他家到學校的路程是x km，則據(jù)題意列出的方程是() A. B. C. D. 10 5 A3(2010寧夏)甲、乙兩種商品原來的單價和為100元，因市場變化，甲商品降價10%，乙商品提價40%，調(diào)價后兩種商品的單價和比原來的單價和提高了20%.若設(shè)甲、乙兩種商品原來的單價分別為x元、y元，則下列方程組正確的是() A. B. C. D.C解析：調(diào)價后，甲商品的單價為(110%)x元，乙商品的單價為(140%)y元兩種商品的單價和為100(120%) 故選C.4(2011蘭州)某校九年級學生畢業(yè)時，每個同學都將自己的相片向全班其他同學各送一張留作紀念，全班共送了2070張相片，如果全班有x名學生，根據(jù)題意，列出方程為() Ax (x1)2070 Bx (x1)2070 C2x (x1)2070 D. 2070 解析：每名學生向其他同學送了(x1)張照片，所以有x (x1)2070.A5(2010畢節(jié))某縣為發(fā)展教育事業(yè)，加強了對教育經(jīng)費的投入， 2008年投入3000萬元，預計2010年投入5000萬元設(shè)教育經(jīng)費的年平均增長率為x，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是() A3000(1x)25000 B3000 x250000 C3000(1x%)250000 D3000(1x)3000(1x)25000 解析：2009年該縣投入3000 3000 x3000(1x)萬元， 2010年投入3000(1x)3000(1x)x3000(1x)2萬元 故選A. A 題型一一元一次方程的應用【例 1】目前某省小學和初中在校生共136萬人，小學在校生人數(shù)比初中在校生人數(shù)的2倍少2萬人問目前這個省小學和初中在校生各有多少萬人？ 解：設(shè)這個省初中在校生x萬人， 則小學在校生(2x2)萬人 x(2x2)136,3x138，x46， 2x290. 答：目前這個省初中在校生46萬人，小學在校生90萬人題型分類題型分類 深度剖析深度剖析探究提高 列方程解應用題，要抓住關(guān)鍵性詞語，如共、多、少、倍、幾分之幾等，推導出相等關(guān)系，可采用直接設(shè)未知數(shù)，也可以采用間接設(shè)未知數(shù)的方法，要根據(jù)實際情況靈活運用知能遷移1(2010海南)2010年上海世博會入園門票有11種之多，其中“指定日普通票”價格為200元一張，“指定日優(yōu)惠票”價格為120元一張，某門票銷售點在5月1日開幕式這一天共售出這兩種門票1200張，收入216000元，該銷售點這天分別售出這兩種門票多少張？ 解：設(shè)售出“指定日普通票”x張，則售出“指定日優(yōu)惠票” (1200 x)張. 200 x120(1200 x)216000， 解之，得x900， 1200 x300. 答：售出“指定日普通票”900張，售出“指定日優(yōu)惠票”300張題型二二元一次方程組的應用【例 2】 某刊物報道：“2008年12月15日，兩岸海上直航、空中直航和直接通郵啟動，大三通基本實現(xiàn)大三通最直接的好處是省時間和省成本，據(jù)測算，空運平均每航次可節(jié)省4小時，海運平均每航次可節(jié)省22小時，以兩岸每年往來合計500萬人次計算，則共可為民眾節(jié)省2900萬小時”根據(jù)文中信息，求每年采用空運和海運往來兩岸的人員各有多少萬人次 解：設(shè)每年采用空運、海運往來兩岸的人員分別是x萬人次 及y萬人次 解之得 答：每年采用空運往來兩岸的有450萬人，海運有50萬人 xy500，4x22y2900， x450，y50. 探究提高 本題考查學生的閱讀能力和處理信息能力，學生需通過分析抽象出數(shù)學問題，然后用所學知識去解決知能遷移2為了加快社會主義新農(nóng)村建設(shè)，讓農(nóng)民享受改革開放30年取得的成果，黨中央、國務院決定：凡農(nóng)民購買家電和摩托車享受政府13%的補貼(憑購物發(fā)票到鄉(xiāng)鎮(zhèn)財政所按13%領(lǐng)取補貼)星星村李伯伯家今年購買了一臺彩電和一輛摩托車共花去6000元，且該輛摩托車的單價比所買彩電的單價的2倍還多600元 (1)李伯伯可以到鄉(xiāng)財政所領(lǐng)到的補貼是多少元？ (2)求李伯伯家所買的摩托車與彩電的單價各是多少元？ 解：(1)600013%780(元) (2)設(shè)李伯伯家所買的摩托車單價是x元，彩電單價是y元， 解之，得 答：李伯伯家所買的摩托車單價是4200元，彩電單價是1800元 xy6000，x2y600， x4200，y1800. 車間車間零件總個數(shù)零件總個數(shù)平均每小時生平均每小時生產(chǎn)零件個數(shù)產(chǎn)零件個數(shù)所用時間所用時間甲車間甲車間600 x乙車間乙車間900【例例3 3】甲、乙兩車間生產(chǎn)同一種零件，乙車間比甲車間平均甲、乙兩車間生產(chǎn)同一種零件，乙車間比甲車間平均每小時多生產(chǎn)每小時多生產(chǎn)3030個，甲車間生產(chǎn)個，甲車間生產(chǎn)600600個零件與乙車間生產(chǎn)個零件與乙車間生產(chǎn)900900個個零件所用時間相等，設(shè)甲車間平均每小時生產(chǎn)零件所用時間相等，設(shè)甲車間平均每小時生產(chǎn)x x個零件，請按個零件，請按要求解決下列問題：要求解決下列問題：(1)(1)根據(jù)題意，填寫下表：根據(jù)題意，填寫下表：x30 900 x30 (2)甲、乙兩車間平均每小時各生產(chǎn)多少個零件？ 解： ，解之得x60， 經(jīng)檢驗：x60是所列方程的解，x3090. 答：甲車間平均每小時生產(chǎn)60個零件，乙車間平均每小時生 產(chǎn)90個零件探究提高 1.當要求的未知量有兩個時，可以用字母x表示其中一個，再根據(jù)兩個未知量之間的關(guān)系，用含x的式子表示另一個量，解方程后再求出另一個未知量的值. 2.本題中工作時間工作量工作效率，出現(xiàn)分式，宜用分式方程來解注意雙重檢驗，先檢驗是否有增根，再檢驗是否符合題意600 x 900 x30 知能遷移3(2011泰安)某工廠承擔了加工2100個機器零件的任務，甲車間單獨加工了900個零件后，由于任務緊急，要求乙車間與甲車間同時加工，結(jié)果比原計劃提前12天完成任務已知乙車間的工作效率是甲車間的1.5倍，求甲、乙兩車間每天加工零件各多少個？ 解：設(shè)甲車間每天加工零件x個，則乙車間每天加工零件1.5x個 根據(jù)題意，得 12， 解之，得x60. 經(jīng)檢驗，x60是方程的解，符合題意 1.5x90. 答：甲、乙兩車間每天加工零件分別為60個、90個. 2100900 x 2100900 x1.5x 題型四一元二次方程的應用【例 4】 新華商場銷售某種冰箱，每臺進貨價為2500元，市場調(diào)研表明：當銷售價為2900元時，平均每天能售出8臺；而當銷售價每降50元時，平均每天就能多售出4臺，商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達5000元，每臺冰箱的定價應為多少元？ 解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！ 解：設(shè)每臺冰箱降價x元 1分 (2900 x2500)(8 4)5000， 4分 (400 x)(8 x)5000， x2300 x225000，(x150)20， x1x2150. 6分 29001502750. 7分 答：每臺冰箱的定價是2750元 8分x50 225 探究提高 現(xiàn)實生活中存在大量的實際應用問題，需要用一元二次方程的知識去解決，解決這類問題的關(guān)鍵是在充分理解題意的基礎(chǔ)上，尋求問題中的等量關(guān)系，從而建立方程，本題采用靈活的間接設(shè)未知數(shù)的方法知能遷移4(2010鞍山)小華將勤工儉學掙得的100元錢按一年定期存入銀行，到期后取出50元來購買學習用品，剩下的50元和應得的利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的年利率又下調(diào)到原來的一半，這樣到期后可得本息和63元，求第一次存款的年利率(不計利息稅) 解：設(shè)第一次存款的年利率是x， 100(1x)50(1 x)63. 解得，x1 ，x2 (舍去)， x 10%. 答：第一次存款的年利率(不計利息稅)是10%.110 135 110 4解應用題勿以偏概全考題再現(xiàn) 甲、乙兩人分別從相距30千米的A、B兩地同時相向而行，經(jīng)過3小時后相距3千米，再經(jīng)過2小時，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙兩人的速度學生作答 解：設(shè)甲的速度為每小時x千米，乙的速度為每小時y千米， 得 解得 答：甲的速度為每小時4千米，乙的速度為每小時5千米答題規(guī)范答題規(guī)范規(guī)范解答 解：設(shè)甲的速度為每小時x千米，乙的速度為每小時y千米 當甲、乙兩人相遇前相距3千米時， 得 解得 當甲、乙兩人經(jīng)過3小時相遇后又相距3千米時， 得 解得 答：甲的速度為每小時4千米，乙的速度為每小時5 千米； 或甲的速度為每小時5千米，乙的速度為每小時5 千米 3x3y303，30 32 x230 32 y， x4，y5. 3x3y303，30 32 x230 32 y， x513，y523. 13 23 老師忠告 1有些應用題，由于題目所給條件比較隱蔽，符合題意的情況有多種，解這類應用題時要考慮周全，把各種情況下的解全求出來，這樣不致于失解，否則會造成解答不完整，犯以偏概全的錯誤 2分類的思想方法實質(zhì)上就是按照數(shù)學對象的共同性質(zhì)和差異性，將其區(qū)分為不同種類的思想方法，分類討論的思想方法在代數(shù)中應用極其廣泛，例如實數(shù)的分類，代數(shù)式的分類，方程和函數(shù)的分類等等，可以把整個代數(shù)看作一個分類討論的系統(tǒng)解此類問題強調(diào)：要有分類意識；找出科學的分類標準；分類時滿足不重復、不遺漏、最簡單原則 3一道應用題，究竟列一元一次方程予以解決為好，還是列二元一次方程組為好，要具體分析，一般來說，列一元一次方程時，在列方程的思考上，難度稍大；而列方程組，由于把思考量分攤到兩個方程上，降低了列方程的難度，但解方程過程的運算量較大，因此，對于思考量較低或中等的應用題，列一元一次方程為宜；對于思考量或思考難度都很大的應用題，列方程組解決為宜. 方法與技巧 1. 應用問題是中學數(shù)學的重要內(nèi)容它與現(xiàn)實生活有一定的聯(lián)系，它通過量與量的關(guān)系以及圖形之間的度量關(guān)系，形成數(shù)學問題應用問題涉及較多的知識面，要求學生靈活應用所學知識在具體問題中，從量的關(guān)系分析入手，設(shè)定未知數(shù)，發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系列出方程，獲得方程的解，并代入原問題進行驗證這一系列的解題程序，要求對問題要深入的理解和分析，并進行嚴密的推理，因此對發(fā)展創(chuàng)造性思維有重要意義思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 2直接設(shè)未知元：在全面透徹地理解問題的基礎(chǔ)上，根據(jù)題中求什么就設(shè)什么是未知數(shù)，或要求幾個量，可直接設(shè)出其中一個為未知數(shù)，這種設(shè)未知數(shù)的方法叫作直接設(shè)未知元法 間接設(shè)元：如果對某些題目直接設(shè)元不易求解，便可將并不是直接要求的某個量設(shè)為未知數(shù)，從而使得問題變得容易解答，我們稱這種設(shè)未知數(shù)的方法為間接設(shè)元法失誤與防范 1認真審題是解應用題的關(guān)鍵，借助圖形能直觀地幫助我們順利解題與實際生活、生產(chǎn)相關(guān)的問題，應從實際出發(fā)，結(jié)果應與事實相符，不能僅從理論上去推斷應用題一般文字較長，等量關(guān)系隱于文字敘述之中，故審題是至為關(guān)鍵的步驟，有時會因一字(詞或數(shù)據(jù))的理解不清，就可能使結(jié)果面目全非 2在行程問題中，反映等量關(guān)系的條件往往不是很明顯，對這類問題最好是借助線段圖，把數(shù)與形有機結(jié)合起來，要善于利用圖形提取有用信息，一目了然，從而尋找到解題突破口 解決年齡問題，要注意：一個人年齡增大或減小，其他人的年齡也一樣增大或減小，并且增大或減小的歲數(shù)是相同的，換句話說就是兩人年齡的差是不變的 數(shù)字問題的設(shè)法：設(shè)個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，百位數(shù)字為c，則這個三位數(shù)為100c10ba.解此類問題采用的是間接設(shè)未知數(shù)法，也就是不直接設(shè)所求的多位數(shù)為未知數(shù)，而是設(shè)多位數(shù)某個數(shù)位上的數(shù)字為x，從而列方程解題 相遇和追及問題是行程問題中最常見的類型，解此類問題，常用的等量關(guān)系為： (1)相遇問題(不同地出發(fā)，相向而行)：甲行程乙行程甲、乙兩地的路程； (2)追及問題：同地不同時出發(fā)，前者走的路程追者行走的路程；同時不同地出發(fā)：追者行走的路程一前者走的路程兩地距離 工程問題需牢記三個基本量的關(guān)系：工作量工作效率工作時間常常用到的等量關(guān)系：兩個或幾個工作效率不同的對象(把前后兩批人分別看做兩個對象)所完成的工作量之和等于工作總量一般情況下，把工作總量設(shè)為1. 儲蓄問題，首先要弄清以下幾個概念：顧客存入銀行的錢叫本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金與利息的和叫本息和，存入銀行的時間叫期數(shù)，每個期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率根據(jù)上述定義，每個期數(shù)內(nèi)，利息本金利率，所以利息本金利率期數(shù)，這個公式是解決儲蓄問題時常用的相等關(guān)系式 應用題中的“多”、“少”關(guān)鍵詞一定要理解好，結(jié)合題中敘述的事件進行分析“多”、“少”的意義，才能正確理解題意，列出方程有些應用題，由于題目所給條件較為隱蔽，符合題意的情況有多種解這類應用題時要考慮周全，把各種情況下的解全求出來，這樣才不致失解否則會造成解答不完整，犯以偏概全的錯誤完成考點跟蹤訓練 8