高中數學 階段復習課 第四講 用數學歸納法證明不等式課件 新人教A版選修45

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1、階段復習課第四講【答案速填【答案速填】_ _整除問題整除問題幾何問題幾何問題貝努利不等式貝努利不等式類型類型 一一 利用數學歸納法證明恒等式利用數學歸納法證明恒等式 數學歸納法證明恒等式的要點分析數學歸納法證明恒等式的要點分析數學歸納法主要用于解決與正整數有關的數學問題數學歸納法主要用于解決與正整數有關的數學問題. .證明時，證明時，它的兩個步驟缺一不可它的兩個步驟缺一不可. .它的第一步它的第一步( (歸納奠基歸納奠基)n)nn n0 0時結論時結論成立成立. .第二步第二步( (歸納遞推歸納遞推) )假設假設n nk k時，結論成立，推得時，結論成立，推得n nk+1k+1時結論也成立時結

2、論也成立. .它可用有限的步驟它可用有限的步驟( (兩步兩步) )證明出無限的命題成證明出無限的命題成立立. .【典例【典例1 1】用數學歸納法證明：用數學歸納法證明：【證明【證明】(1)(1)當當n n1 1時，時，左邊左邊右邊右邊左邊右邊，所以等式成立左邊右邊，所以等式成立. .(2)(2)假設假設n nk(kNk(kN+ +) )時等式成立，即有時等式成立，即有1111n(nN ).2446682n(2n2)4(n1)+ +創(chuàng)+112 1 (2 12)8創(chuàng) ，114(11)8+ ，1111k2446682k(2k2)4(k1)+ +創(chuàng)+，則當則當n nk+1k+1時，時，所以當所以當n

3、nk+1k+1時，等式也成立時，等式也成立. .由由(1)(2)(1)(2)可知，對于一切可知，對于一切nNnN+ +等式都成立等式都成立. .111112446682k(2k2)2(k1) 2(k1)2+ +創(chuàng)+2k14(k1)4(k1)(k2)k(k2)1(k1)4(k1)(k2)4(k1)(k2)k1k1.4(k2)4(k11)+類型類型 二二 利用數學歸納法證明不等式利用數學歸納法證明不等式利用數學歸納法證明不等式的關鍵策略利用數學歸納法證明不等式的關鍵策略應用數學歸納法證明不等式的關鍵是在運用歸納假設時，應應用數學歸納法證明不等式的關鍵是在運用歸納假設時，應分析分析p(kp(k) )

4、與與p(k+1)p(k+1)的差異及聯(lián)系，利用拆、添、并、放等手的差異及聯(lián)系，利用拆、添、并、放等手段，從段，從p(k+1)p(k+1)中分離出中分離出p(kp(k) )，再進行局部調整，也可考慮尋，再進行局部調整，也可考慮尋求二者的結合點，以便順利過渡，利用歸納假設，經過適當求二者的結合點，以便順利過渡，利用歸納假設，經過適當放縮、恒等變形，得到結論需要的形式放縮、恒等變形，得到結論需要的形式. .【典例【典例2 2】求證：求證：【證明【證明】(1)(1)當當n n1 1時，因為時，因為 所以原不等式成所以原不等式成立立. .(2)(2)假設假設n nk(k1k(k1，kNkN+ +) )時

5、，原不等式成立，即有時，原不等式成立，即有當當n nk+1k+1時，時，因此，欲證明當因此，欲證明當n nk+1k+1時，原不等式成立，時，原不等式成立，只需證明只需證明 成立成立. .111nnN .1 223n(n1)+ +創(chuàng)+，1111 22，111k1 223k(k1)+ +創(chuàng)+，11111 223k(k1)(k1)(k2)+ +創(chuàng)+1k.(k1)(k2)+1kk1(k1)(k2)+即證明即證明從而轉化為證明從而轉化為證明也就是證明也就是證明即即從而從而于是當于是當n nk+1k+1時，原不等式也成立時，原不等式也成立. .由由(1)(2)(1)(2)可知，對于任意的正整數可知，對于任

6、意的正整數n n，原不等式都成立，原不等式都成立. .1k1k.(k1)(k2)+-+211k1kk3k2+，2k3k2k1k+，22222( k3k2)( k1k)kk12 k(k1) ( k(k1)1)0+-+-+- ，2k3k2k1k.+類型類型 三三 利用數學歸納法證明整除問題利用數學歸納法證明整除問題利用數學歸納法證明整除問題的思路與方法利用數學歸納法證明整除問題的思路與方法(1)(1)在使用數學歸納法證明整除問題時，一般說來，第一步驗在使用數學歸納法證明整除問題時，一般說來，第一步驗證比較簡明，而第二步歸納步驟情況較復雜證比較簡明，而第二步歸納步驟情況較復雜. .熟悉歸納步驟的證明

7、方法是十分重要的熟悉歸納步驟的證明方法是十分重要的. .其實歸納步驟可以看其實歸納步驟可以看作是一個獨立的證明問題，歸納假設作是一個獨立的證明問題，歸納假設“p(kp(k) )成立成立”是問題的是問題的條件，而條件，而“命題命題p(k+1)p(k+1)成立成立”就是所要證明的結論，因此，就是所要證明的結論，因此，合理運用歸納假設這一條件就成了歸納步驟中的關鍵合理運用歸納假設這一條件就成了歸納步驟中的關鍵. .(2)(2)用數學歸納法證明數或式的整除性問題時，常采取加項、用數學歸納法證明數或式的整除性問題時，常采取加項、減項的配湊法，而配湊的方法很多，關鍵是湊成減項的配湊法，而配湊的方法很多，關

8、鍵是湊成n nk k時假設時假設的形式的形式. .【典例【典例3 3】證明證明n n為正奇數時為正奇數時,x,xn n+y+yn n能被能被x+yx+y整除整除. .【證明【證明】(1)(1)當當n=1n=1時時,x,xn n+y+yn n=x+y=x+y, ,它能被它能被x+yx+y整除整除, ,所以所以n=1n=1時命時命題成立題成立. .(2)(2)假設當假設當n=k(kn=k(k為正奇數為正奇數,k1),k1)時時, ,命題成立命題成立, ,即即x xk k+y+yk k能被能被x+yx+y整除整除. .當當n=k+2n=k+2時時, ,x xk+2k+2+y+yk+2k+2=x=x2

9、 2x xk k+y+y2 2y yk k=x=x2 2(x(xk k+y+yk k)+y)+y2 2y yk k-x-x2 2y yk k=x=x2 2(x(xk k+y+yk k)+y)+yk k(y(y2 2-x-x2 2)=x)=x2 2(x(xk k+y+yk k)+y)+yk k(y+x)(y-x).(y+x)(y-x).由歸納假設知由歸納假設知,x,xk k+y+yk k能被能被x+yx+y整除整除,(y+x)(y-x,(y+x)(y-x) )也能被也能被x+yx+y整除整除. .所以所以x x2 2(x(xk k+y+yk k)+y)+yk k(y+x)(y-x)(y+x)(y

10、-x)能被能被x+yx+y整除整除. .即即x xk+2k+2+y+yk+2k+2也能被也能被x+yx+y整除整除. .故對故對n=k+2n=k+2時命題也成立時命題也成立. .由由(1)(2)(1)(2)知命題對一切正奇數都成立知命題對一切正奇數都成立. .類型類型 四四 數學歸納法與數列的綜合應用數學歸納法與數列的綜合應用運用數學歸納法時的注意事項運用數學歸納法時的注意事項(1)(1)對項數要估算正確，特別是尋找對項數要估算正確，特別是尋找n nk k與與n nk+1k+1的關系時，的關系時，項數發(fā)生什么變化容易被弄錯項數發(fā)生什么變化容易被弄錯. .(2)(2)必須利用歸納假設必須利用歸納

11、假設. .(3)(3)關鍵步驟要清晰明了，關鍵步驟要清晰明了，“假設假設n nk k時結論成立，利用此假時結論成立，利用此假設證明設證明n nk+1k+1時結論也成立時結論也成立”，是數學歸納法的關鍵一步，是數學歸納法的關鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，注意證明過程的嚴謹性、規(guī)范也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，注意證明過程的嚴謹性、規(guī)范性性. .【典例【典例4 4】已知正項數列已知正項數列aan n 滿足滿足(1)(1)求求a a1 1，a a2 2，a a3 3并推測并推測a an n. .(2)(2)用數學歸納法證明你的結論用數學歸納法證明你的結論. .【解析【解析】(1)(1)由由 知知當當

12、n2n2時，時，所以所以整理得整理得：nnn11S(a).2a+nnn11S(a)2a+n 1n 1n 111S(a),2a-+nnn1nn11111a(a)(a).2a2a-+-+nn 1nn 111a(a),aa-+由由 即即又又a a1 100，所以，所以a a1 11.1. 即即所以所以即即所以所以可推測可推測11111S(a)2a+，111aa，221a2a-，222a2a1 2.+ 2331a21 a2 2a-，233a2 2a2 3,+3a32-，nann1(nN ).+-(2)(2)由由(1)(1)知知a a1 11 1，滿足，滿足故當故當n n1 1時，時， 成立成立. .假

13、設假設n nk k時，時，當當n nk+1k+1時，時，即即所以所以即當即當n nk+1k+1時，時，由由知數列知數列aan n 的通項公式為的通項公式為1a111 1-，nann1-kakk1,-k 1k 11a2 k,a+-2k 1k 1a2 kakk1+，k 1ak1k,+-nann1.-nann1 nN .+-，【跟蹤訓練【跟蹤訓練】1.1.用數學歸納法證明用數學歸納法證明“對于任意對于任意x0 x0的正整數的正整數n n，都有，都有x xn n+x+xn-2 n-2 +x+xn-4n-4+ n+1”+ n+1”時，需驗證的使命題成立時，需驗證的使命題成立的最小正整數值的最小正整數值n

14、 n0 0應為應為( )( )A.nA.n0 01 B.n1 B.n0 02 2C.nC.n0 01,2 D.1,2 D.以上答案均不正確以上答案均不正確【解析【解析】選選A.nNA.nN+ +，n n的最小值為的最小值為n n0 01.1.n 4n 2n111xxx-+2.2.某個命題與正整數有關，如果當某個命題與正整數有關，如果當n nk k時，該命題不成立，時，該命題不成立，那么可推得那么可推得n nk+1k+1時命題也不成立，現在當時命題也不成立，現在當n n5 5時，該命題時，該命題成立，那么可推得成立，那么可推得( )( )A.A.當當n n6 6時該命題不成立時該命題不成立 B.

15、B.當當n n6 6時該命題成立時該命題成立C.C.當當n n4 4時該命題不成立時該命題不成立 D.D.當當n n4 4時該命題成立時該命題成立【解析【解析】選選D.D.依題意當依題意當n n4 4時該命題不成立，則當時該命題不成立，則當n n5 5時，時，該命題也不成立該命題也不成立. .而當而當n n5 5時，該命題成立卻無法判斷時，該命題成立卻無法判斷n n6 6時時該命題成立不成立，故選該命題成立不成立，故選D.D.3.3.設設0 0a a1 1，定義，定義a a1 11+a1+a，求證：對一切求證：對一切nNnN+ +，均有，均有【證明【證明】用數學歸納法用數學歸納法. .(1)(

16、1)當當n n1 1時，時，a a1 11 1，又又 顯然成立顯然成立. .(2)(2)假設假設n nk(k1k(k1，kNkN+ +) )時，時，n 1n1aaa+，n11a.1a- 11a1a1a+-，k11a.1a- 當當n nk+1k+1時，由遞推公式，知時，由遞推公式，知同時，同時，故當故當n nk+1k+1時，有時，有綜合綜合(1)(2)(1)(2)可知，對一切正整數可知，對一切正整數n n，均有，均有k 1k1aa(1a)a 1a+-+，2k 1k11a1aa 1aa1a1a+-+-，k 111a.1a+-n11a.1a- 4.4.用數學歸納法證明：用數學歸納法證明：A An n

17、=5=5n n+23+23n-1n-1+1(nN+1(nN+ +) )能被能被8 8整除整除. .【證明【證明】(1)(1)當當n=1n=1時，時，A A1 1=5+2+1=8=5+2+1=8，命題顯然成立，命題顯然成立. .(2)(2)假設當假設當n=k(k1n=k(k1，kNkN+ +) )時，時，A Ak k能被能被8 8整除，即整除，即A Ak k=5=5k k+2+23 3k-1k-1+1+1是是8 8的倍數的倍數, ,那么當那么當n=k+1n=k+1時，時，A Ak+1k+1=5=5k+1k+1+2+23 3k k+1=5(5+1=5(5k k+2+23 3k-1k-1+1)-4(

18、3+1)-4(3k-1k-1+1)=5A+1)=5Ak k-4(3-4(3k-1k-1+1).+1).因為因為A Ak k是是8 8的倍數，的倍數，3 3k-1k-1+1+1是偶數，即是偶數，即4(34(3k-1k-1+1)+1)也是也是8 8的倍數，的倍數，所以所以A Ak+1k+1也是也是8 8的倍數，的倍數，即當即當n=k+1n=k+1時，命題成立時，命題成立. .由由(1)(2)(1)(2)知對一切正整數知對一切正整數n,An,An n能被能被8 8整除整除. .5.5.設數列設數列aan n 的前的前n n項和為項和為S Sn n，對一切，對一切nNnN+ +，點，點 都在函都在函數

19、數 的圖象上的圖象上. .(1)(1)求求a a1 1,a,a2 2,a,a3 3的值的值. .(2)(2)猜想猜想a an n的表達式，并用數學歸納法證明的表達式，并用數學歸納法證明. .nS(n,)nnaf(x)x2x=+【解析【解析】(1)(1)因為點因為點 在函數在函數 的圖象上，的圖象上，故故 所以所以令令n=1n=1，得，得 所以所以a a1 1=2=2；令令n=2n=2，得，得 所以所以a a2 2=4=4；令令n=3n=3，得，得 所以所以a a3 3=6. =6. (2)(2)由上面的計算猜想：由上面的計算猜想：a an n=2n.=2n.nS(n,)nnaf(x)x2x=+

20、nnSann2n=+，2nn1Sna .2=+111a1a ,2=+1221aa4a ,2+=+12331aaa9a ,2+=+用數學歸納法證明如下：用數學歸納法證明如下：當當n=1n=1時，由上面的求解知，猜想成立時，由上面的求解知，猜想成立. .假設假設n=k(k1)n=k(k1)時猜想成立，即時猜想成立，即a ak k=2k=2k成立，成立，則當則當n=k+1n=k+1時，時，注意到注意到故故兩式相減，得兩式相減，得所以所以a ak+1k+1=4k+2-a=4k+2-ak k. .2nn1Sna (nN )2+=+，22k 1k 1kk11S(k1)a,Ska .22+=+=+k 1k 1k11a2k1aa22+=+-，由歸納假設得，由歸納假設得，a ak k=2k,=2k,故故a ak+1k+1=4k+2-a=4k+2-ak k=4k+2-2k=2(k+1).=4k+2-2k=2(k+1).這說明這說明n=k+1n=k+1時，猜想也成立時，猜想也成立. .由由知，對一切知，對一切nNnN+ +，a an n=2n=2n成立成立. .