無(wú)窮級(jí)數(shù) 知識(shí)點(diǎn)總復(fù)習(xí)

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1、無(wú)窮級(jí)數(shù) 知識(shí)點(diǎn)總復(fù)習(xí) 本章重點(diǎn)是判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，冪級(jí)數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)的展開(kāi)與求和． §7.1 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 本節(jié)重點(diǎn)是級(jí)數(shù)的性質(zhì)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的幾個(gè)判別法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法，任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂． ● 常考知識(shí)點(diǎn)精講 一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 1．?dāng)?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義 定義：設(shè)是一個(gè)數(shù)列，則稱(chēng)表達(dá)式 為一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)級(jí)數(shù)，其中第項(xiàng)稱(chēng)為級(jí)數(shù)的通項(xiàng)或一般項(xiàng)，稱(chēng)為級(jí)數(shù)的前項(xiàng)部分和． 2．級(jí)數(shù)收斂的定義 定義：若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有極限，則稱(chēng)級(jí)數(shù)收斂，極限值稱(chēng)為此級(jí)數(shù)的

2、和．當(dāng)不存在時(shí)，則稱(chēng)級(jí)數(shù)發(fā)散． 利用級(jí)數(shù)收斂的定義，易知當(dāng)時(shí)，幾何級(jí)數(shù)收斂，和為；當(dāng)，幾何級(jí)數(shù)發(fā)散． [例1.1] 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性 ⑴ ⑵ 解：⑴由于 所以 ，故級(jí)數(shù)收斂． ⑵ 由于 所以，故級(jí)數(shù)發(fā)散． 二、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件 1．設(shè)都收斂，和分別為，則必收斂，且； 評(píng)注：若收斂，發(fā)散，則必發(fā)散；若都發(fā)散，則可能發(fā)散也可能收斂． 2．設(shè)為非零常數(shù)，則級(jí)數(shù)與有相同的斂散性； 3．改變級(jí)數(shù)的前有限項(xiàng)，不影響級(jí)數(shù)的斂散性； 4．級(jí)數(shù)收斂的必要條件：如果收斂

3、，則； 5．收斂的級(jí)數(shù)在不改變各項(xiàng)次序前提下任意加括號(hào)得到的新級(jí)數(shù)仍然收斂且和不變． 評(píng)注：若某級(jí)數(shù)添加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)亦發(fā)散． [例1.2] 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性 ⑴ ⑵ 解：⑴由于收斂，發(fā)散，所以 發(fā)散， 由性質(zhì)5的“注”可知級(jí)數(shù)發(fā)散； ⑵ 由于，不滿(mǎn)足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，所以級(jí)數(shù) 發(fā)散． 三、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性判別法 各項(xiàng)為非負(fù)（）的級(jí)數(shù)稱(chēng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)． 1．正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的基本定理 定理：設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是數(shù)列有界． 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散．（時(shí)的級(jí)數(shù)也叫調(diào)和級(jí)數(shù)） 2

4、．正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法 定理：（正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的非極限形式） 設(shè)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，并設(shè)，則 ⑴ 若收斂，則收斂； ⑵ 若發(fā)散，則發(fā)散． 定理：（正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的極限形式） 設(shè)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，并設(shè)或?yàn)椋瑒t ⑴ 當(dāng)為非零常數(shù)時(shí)，級(jí)數(shù)有相同的斂散性； ⑵ 當(dāng)時(shí)，若收斂，則必有收斂； ⑶ 當(dāng)時(shí)，若發(fā)散，則必有發(fā)散． 評(píng)注：用比較判別法的比較對(duì)象常取級(jí)數(shù)與等比級(jí)數(shù)及． 3．正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法 定理：設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若或?yàn)?，則級(jí)數(shù)有 ⑴ 當(dāng)時(shí)，收斂； ⑵ 當(dāng)或時(shí)，發(fā)散； ⑶ 當(dāng)時(shí)，斂散性不確定． 評(píng)注：⑴ 若，則級(jí)數(shù)必發(fā)散； ⑵ 如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)通項(xiàng)中含有階乘，一般用比值判

5、別法判定該級(jí)數(shù)的斂散性； ⑶ 當(dāng)1或不存在（但不為），則比值判別法失效． 4．正項(xiàng)級(jí)數(shù)的根值判別法 將比值判別法中的改成，其它文字?jǐn)⑹觥⒔Y(jié)論均不改動(dòng)，即為根值判別法． 5．利用通項(xiàng)關(guān)于無(wú)窮小的階判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 定理：設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，為的階無(wú)窮小，則當(dāng)時(shí)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散． [例1.3] 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 解：⑴ 由于，而級(jí)數(shù)發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散； ⑵ 由于，所以由比值判別法可得，原級(jí)數(shù)收斂； ⑶ 由于，所以由根值判別法可知，原級(jí)數(shù)收斂； ⑷ 由于為的階無(wú)窮小，所以原級(jí)數(shù)收斂． 四、

6、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其斂散性判別法 1．交錯(cuò)級(jí)數(shù)定義 定義：若級(jí)數(shù)的各項(xiàng)是正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)交錯(cuò)出現(xiàn)，即形如 的級(jí)數(shù)，稱(chēng)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)． 2．交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法 定理：若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足條件 ⑴ ； ⑵ ， 則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，其和其余項(xiàng)滿(mǎn)足． 五、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其絕對(duì)收斂 若級(jí)數(shù)的各項(xiàng)為任意實(shí)數(shù)，則稱(chēng)它為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)． 1．條件收斂、絕對(duì)收斂 若收斂，則稱(chēng)絕對(duì)收斂；若發(fā)散但收斂，則稱(chēng)條件收斂． 評(píng)注：絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)不因改變各項(xiàng)的位置而改變其斂散性與其和． 2．任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法 定理：若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂．即絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂． [例1.4] 判斷下

7、列級(jí)數(shù)是否收斂？若收斂，指明是絕對(duì)收斂還是條件收斂 ⑴ ⑵ 解：⑴ 記 因?yàn)? 所以級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)收斂且為絕對(duì)收斂； ⑵ 記 由于，而發(fā)散，所以級(jí)數(shù)發(fā)散 又是一交錯(cuò)級(jí)數(shù)，，且，由萊布尼茲定理知，原級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)條件收斂． ●● ?？碱}型及其解法與技巧 一、概念、性質(zhì)的理解 [例7.1.1] 已知，，則級(jí)數(shù)的和等于__________. 解：由于，所以根據(jù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)可得 從而 因此． [例7.1.2] 設(shè)，則下列級(jí)數(shù)中肯定收斂的是 （A）； （B）； （C）；

8、 （D） 解：取，則，此時(shí)（A）與（C）都發(fā)散； 若取，則，此時(shí)（B）發(fā)散； 由排除法可得應(yīng)選（D）． 事實(shí)上，若，則，根據(jù)“比較判別法”得收斂．從而 收斂，故應(yīng)選（D）． [例7.1.3] 已知級(jí)數(shù)發(fā)散，則 （A）一定收斂， （B）一定發(fā)散 （C）不一定收斂 （D） 解：假設(shè)收斂，則根據(jù)級(jí)數(shù)斂散的性質(zhì)，不改變各項(xiàng)的次序加括號(hào)后得到的新級(jí)數(shù)仍然收斂，即也收斂．這與已知矛盾，故一定發(fā)散．應(yīng)選（B）． [例7.1.4] 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)

9、的部分和為，又，已知級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)必 （A）收斂 （B）發(fā)散 （C）斂散性不定 （D）可能收斂也可能發(fā)散 解：由于級(jí)數(shù)收斂，所以根據(jù)收斂的必要條件可得，又，所以，故級(jí)數(shù)發(fā)散，故應(yīng)選（B）． [例7.1.5] 設(shè)有命題 （1） 若收斂，則收斂； （2）若為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，則收斂； （3）若存在極限，且收斂，則收斂； （4）若，又與都收斂，則收斂． 則上述命題中正確的個(gè)數(shù)為 （A） （B） （C） （D） 解：關(guān)于命題（1），令，則收斂，但發(fā)散，所以不正確；

10、 關(guān)于命題（2），令，則為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，但發(fā)散，所以不正確； 關(guān)于命題（3），令，則在極限，且收斂，但發(fā)散，所以不正確； 關(guān)于命題（4），因?yàn)?，所以，因?yàn)榕c都收斂，所以由“比較判別法”知收斂，故收斂．故應(yīng)選（A）． 二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判定 正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別斂散的思路：①首先考察（若不為零，則級(jí)數(shù)發(fā)散；若等于零，需進(jìn)一步判定）；②根據(jù)一般項(xiàng)的特點(diǎn)選擇相應(yīng)的判別法判定． 評(píng)注：⑴ 若一般項(xiàng)中含有階乘或者的乘積形式，通常選用比值判別法： ⑵ 若一般項(xiàng)中含有以為指數(shù)冪的因式，通常采用根值判別法： ⑶ 若一般項(xiàng)中含有形如（為實(shí)數(shù)）的因式，通常采用比較判別法． ⑷ 如果以上方法還

11、行不通時(shí)，則可考慮用斂散的定義判定． [例7.1.6] 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解：（1）用比值法． ， 所以原級(jí)數(shù)收斂． （2）用比值法． ， 所以原級(jí)數(shù)收斂． （3）用根值法． ， 所以原級(jí)數(shù)發(fā)散． （4）用比較法． 取，因?yàn)椋諗浚? 所以原級(jí)數(shù)收斂． （5）用比較法． 取，因?yàn)?，而發(fā)散，

12、所以原級(jí)數(shù)發(fā)散． （6）由于，故由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知原級(jí)數(shù)發(fā)散． 評(píng)注：在考研題中遇到該類(lèi)問(wèn)題應(yīng)①先看當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是否趨向于零（如果不易看出，可跳過(guò)這一步），若不趨于零，則級(jí)數(shù)發(fā)散；若趨于零，則②再看級(jí)數(shù)是否為幾何級(jí)數(shù)或級(jí)數(shù)，因?yàn)檫@兩種級(jí)數(shù)的斂散性已知．如果不是幾何級(jí)數(shù)或級(jí)數(shù)，則③用比值判別法進(jìn)行判定，如果比值判別法失效，則④再用比較判別法進(jìn)行判定．常用來(lái)做比較的級(jí)數(shù)主要有幾何級(jí)數(shù)、級(jí)數(shù)等． [例7.1.7] 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性 （1） （2） 分析：用比值判別法失效，用比較判別法不易找到用來(lái)作比較的級(jí)數(shù)，此時(shí)一般利用通項(xiàng)關(guān)于無(wú)窮小的階判定正項(xiàng)

13、級(jí)數(shù)的斂散性． 解：（1）考查 換成連續(xù)變量，再用羅必達(dá)法則， 取，上述極限值為． 所以原級(jí)數(shù)與同斂散，故原級(jí)數(shù)收斂． （2）考查 換成連續(xù)變量，再用羅必達(dá)法則， 取，上述極限值為． 所以原級(jí)數(shù)與同斂散，故原級(jí)數(shù)收斂． [例7.1.8] 研究下列級(jí)數(shù)的斂散性 （1）（是常數(shù)）； （2），這里為任意實(shí)數(shù)，為非負(fù)實(shí)數(shù)． 分析：此例中兩個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)都含有參數(shù)．一般說(shuō)來(lái)，級(jí)數(shù)的斂散性與這些參數(shù)的取值有關(guān)．對(duì)這種情況通常由比值判別法進(jìn)行討論． 解：（1）記，由比值判別法可得 顯

14、然，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散； 當(dāng)時(shí)，由于，所以，故級(jí)數(shù)發(fā)散． （2）記，由比值判別法可得 顯然，當(dāng)，為任意實(shí)數(shù)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，為任意實(shí)數(shù)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，比值判別法失效．這時(shí)，由級(jí)數(shù)的斂散性知，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散． [例7.1.9] 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性 （1） （2） 分析：此例兩個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)都是由積分給出的正項(xiàng)級(jí)數(shù)．如果能把積分求出來(lái)，再判定其斂散性，這樣做固然可以，但一般工作量較大．常用的方法是利用積分的性質(zhì)對(duì)積分進(jìn)行估值．估值要適當(dāng)：若放大則不等式右端應(yīng)是某收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)

15、；若縮小，則不等式左端應(yīng)是某發(fā)散的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)． 解：（1）因?yàn)闀r(shí)，，所以 由于級(jí)數(shù)收斂，所以原級(jí)數(shù)收斂． （2）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單減，所以 由于，又因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，所以原級(jí)數(shù)收斂． 三、交錯(cuò)級(jí)數(shù)判定斂散 判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性的方法： 法一：利用萊布尼茲定理； 法二：判定通項(xiàng)取絕對(duì)值所成的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂則原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂； 法三：將通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)，若以此兩項(xiàng)分別作通項(xiàng)的級(jí)數(shù)都收斂則原級(jí)數(shù)收斂；若一收斂另一發(fā)散，則原級(jí)數(shù)發(fā)散； 法四：將級(jí)數(shù)并項(xiàng)，若并項(xiàng)后的級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)發(fā)散． 評(píng)注

16、：法二、法三和法四適應(yīng)于不單調(diào)減少或判定單調(diào)很困難的交錯(cuò)級(jí)數(shù)． [例7.1.10] 判定下列級(jí)數(shù)的斂散性 （1） （2） （3） （4） 解：（1）該級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，顯然． 令，則，所以單調(diào)減少． 由萊布尼茲判別法可知，原級(jí)數(shù)收斂． （2）不難得到數(shù)列不單調(diào)．而 ， 顯然，級(jí)數(shù)發(fā)散； 又級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，顯然滿(mǎn)足， 令，則，所以單調(diào)減少，由萊布尼茲判別法可得，級(jí)數(shù)收斂． 故由級(jí)數(shù)斂散的性質(zhì)可得，原級(jí)數(shù)發(fā)散． （3）不難得到不單調(diào)，但有 即加括號(hào)后得到的新級(jí)數(shù)發(fā)

17、散，利用級(jí)數(shù)的性質(zhì)可知，原級(jí)數(shù)發(fā)散． （4）顯然判定數(shù)列的單調(diào)性很麻煩． 但 ，而由比值判別法易得到級(jí)數(shù)收斂，所以級(jí)數(shù)收斂． 從而原級(jí)數(shù)收斂，且絕對(duì)收斂． 四、判定任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，主要研究它絕對(duì)收斂性和條件收斂性．解題的一般思路：①先看當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是否趨向于零，若不趨于零，則級(jí)數(shù)發(fā)散；若趨于零，則②按正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法，判定是否收斂，若收斂，則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；若發(fā)散，則③若上述發(fā)散是由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法或根值判別法得到，則原級(jí)數(shù)發(fā)散；若是由比較判別法判定的，此時(shí)應(yīng)利用交錯(cuò)級(jí)數(shù)萊布尼茲判別法或級(jí)數(shù)斂散的性質(zhì)判定是否收斂（若收斂則為條件收斂）．

18、[例7.1.11] 討論下列級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂，指出是條件收斂還是絕對(duì)收斂，說(shuō)明理由 （1）為常數(shù)； （2）； （3）． 解：（1），由于當(dāng)充分大時(shí)，保持定號(hào)，所以級(jí)數(shù)從某項(xiàng)起以后為一交錯(cuò)級(jí)數(shù)． 當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，不論取何值，總有，故級(jí)數(shù)發(fā)散； 當(dāng)是整數(shù)時(shí)，有，因而，由于 所以利用比較判別法的極限形式可得，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，又因?yàn)榭偸欠窃龅内呌诹?，故由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的“萊布尼茲判別法”知，級(jí)數(shù)收斂，且為條件收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)顯然收斂，且絕對(duì)收斂． （2）由于 所以原級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)． 先判定級(jí)數(shù)的斂散性 由于當(dāng)時(shí)，，所以 由于級(jí)數(shù)發(fā)散，所以

19、級(jí)數(shù)發(fā)散． 因?yàn)樵?jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且滿(mǎn)足萊布尼茲判別法的條件，因此級(jí)數(shù)為條件收斂． （3）這是任意項(xiàng)級(jí)數(shù)．考慮每三項(xiàng)加一括號(hào)所成的級(jí)數(shù) 此級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是的有理式，且分子的次數(shù)僅比分母的次數(shù)低一次，用比較判別法知它是發(fā)散的，由級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)可得，原級(jí)數(shù)發(fā)散． 五、關(guān)于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的證明題 證明某個(gè)未給出通項(xiàng)具體表達(dá)式的級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散這類(lèi)題，一般用級(jí)數(shù)收斂的定義、比較判別法或級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)． [例7.1.12] 證明：如果級(jí)數(shù)與收斂，且，則級(jí)數(shù)也收斂． 證明：由可得，； 由級(jí)數(shù)收斂的基本性質(zhì)可得收斂，

20、故由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可得收斂． 又由于，所以級(jí)數(shù)收斂． [例7.1.13] 設(shè)，證明 （Ⅰ）存在 ； （Ⅱ）級(jí)數(shù)收斂． 證明：（Ⅰ）由于，所以根據(jù)均值不等式可得 故數(shù)列有下界． 又因?yàn)?，所以單調(diào)不增，從而由單調(diào)有界準(zhǔn)則可知，存在． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，所以級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)． 又因?yàn)? ， 而正項(xiàng)級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和 所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)是收斂的，由比較判別法知，原級(jí)數(shù)收斂． [例7.1.14] 設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，且，證明級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂． 分析：已知條件中出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)，

21、可考慮使用泰勒公式完成． 證明：由于在點(diǎn)連續(xù)，且，所以可得． 將在點(diǎn)展開(kāi)成一階泰勒公式，有 ． 由于在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)連續(xù)，故存在，使得在的某小鄰域內(nèi)，從而 （當(dāng)充分大時(shí)） 由比較判別法可知，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂． [例7.1.15] 若滿(mǎn)足：⑴在區(qū)間上單增；⑵；⑶存在，且．證明 （Ⅰ）收斂 ； （Ⅱ）收斂． 證明：（Ⅰ）由于， 所以，從而級(jí)數(shù)收斂． （Ⅱ）由于存在，且，所以函數(shù)單調(diào)不增．又因?yàn)樵趨^(qū)間上單增，所以必有，即級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)． 根據(jù)拉格朗日中值定理可得，

22、所以 ． 由（Ⅰ）可知收斂，所以根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知，級(jí)數(shù)收斂，再根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)可得級(jí)數(shù)收斂． 六、其它 [例7.1.16] 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少，且發(fā)散，判定級(jí)數(shù)的斂散性． 解：正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少，由單調(diào)有界準(zhǔn)則可得，存在，記為（）． 因?yàn)榧?jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，若，由萊布尼茲判別法可知，該級(jí)數(shù)收斂．但題設(shè)該級(jí)數(shù)發(fā)散，所以必定有，于是 ． 由根值判別法知，級(jí)數(shù)收斂． [例7.1.17] 討論級(jí)數(shù)在哪些處收斂？在哪些處發(fā)散？ 解：⑴ 當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且滿(mǎn)足“萊布尼茲判別法”的條件，故收斂； ⑵ 當(dāng)時(shí)，

23、 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，趨向定常數(shù)， 故發(fā)散，從而原級(jí)數(shù)發(fā)散； ⑶ 當(dāng)時(shí)， 由于，所以上式中第一項(xiàng)以后的各項(xiàng)都為負(fù)的． 考察級(jí)數(shù)，由于 ， 所以根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的“比較判別法”的極限形式知，級(jí)數(shù)發(fā)散． 從而，即原級(jí)數(shù)發(fā)散． 綜上所述，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散． [例7.1.18] 已知，判定級(jí)數(shù)的斂散性． 分析：該級(jí)數(shù)的通項(xiàng)以遞推公式給出，這給級(jí)數(shù)類(lèi)型的判定以及通項(xiàng)是否收斂于零帶來(lái)困難．不妨先假設(shè)級(jí)數(shù)通項(xiàng)，再看由遞推公式兩端取極限時(shí)能否導(dǎo)出矛盾．一旦產(chǎn)生矛盾，便可確定級(jí)數(shù)發(fā)散． 解：若，則．這與假設(shè)矛盾．因此，原級(jí)數(shù)發(fā)散． [例7.1.19] 設(shè)為常數(shù)，，討論級(jí)數(shù)

24、的斂散性． 解：由于存在，因此想到分討論． 當(dāng)時(shí)，由于，所以，級(jí)數(shù)發(fā)散； 當(dāng)時(shí)，=，所以，級(jí)數(shù)發(fā)散； 當(dāng)時(shí)，由于，所以級(jí)數(shù)收斂，故級(jí)數(shù)收斂且絕對(duì)收斂． [例7.1.20] 已知，對(duì)于，設(shè)曲線上點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 （Ⅰ）求； （Ⅱ）設(shè)是以，和為頂點(diǎn)的三角形的面積，求級(jí)數(shù)的和 解：（Ⅰ）曲線上點(diǎn)處的切線方程為 從而，從而 （Ⅱ）由題意 所以． §7.2 冪級(jí)數(shù) 本節(jié)重點(diǎn)是求冪級(jí)數(shù)的收斂域、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)、將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)． ● ?？贾R(shí)點(diǎn)精講 一、函

25、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 1．函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義 定義：設(shè)函數(shù)都在上有定義，則稱(chēng)表達(dá)式 為定義在上的一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，稱(chēng)為通項(xiàng)，稱(chēng)為部分和函數(shù)． 2．收斂域 定義：設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，，若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則稱(chēng)是的一個(gè)收斂點(diǎn)．所有收斂點(diǎn)構(gòu)成的集合稱(chēng)為級(jí)數(shù)的收斂域． 3．和函數(shù) 定義：設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，則任給，存在唯一的實(shí)數(shù)，使得成立．定義域?yàn)榈暮瘮?shù)稱(chēng)為級(jí)數(shù)的和函數(shù)． 評(píng)注：求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂域時(shí)，主要利用收斂域的定義及有關(guān)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法． 二、冪級(jí)數(shù) 1．冪級(jí)數(shù)的定義 定義：設(shè)是一實(shí)數(shù)列，則稱(chēng)形如的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為處的冪級(jí)數(shù)．

26、 時(shí)的冪級(jí)數(shù)為． 2．阿貝爾定理 定理：對(duì)冪級(jí)數(shù)有如下的結(jié)論： ⑴ 如果該冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂，則對(duì)滿(mǎn)足的一切的對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂； ⑵ 如果該冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)發(fā)散，則對(duì)滿(mǎn)足的一切的對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)都發(fā)散． [例2.1] 若冪級(jí)數(shù)在處收斂，問(wèn)此級(jí)數(shù)在處是否收斂，若收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？ 解：由阿貝爾定理知，冪級(jí)數(shù)在處收斂，則對(duì)一切適合不等式 （即）的該級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂．故所給級(jí)數(shù)在處收斂且絕對(duì)收斂． 三、冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間 如果冪級(jí)數(shù)不是僅在處收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上收斂，則必定存在一個(gè)正數(shù)，它具有下述性質(zhì)： ⑴ 當(dāng)時(shí)，絕對(duì)收斂； ⑵ 當(dāng)時(shí)，發(fā)散． 如果冪級(jí)數(shù)僅在處收斂，定

27、義；如果冪級(jí)數(shù)在內(nèi)收斂，則定義． 則稱(chēng)上述為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．稱(chēng)開(kāi)區(qū)間為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間． 四、冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 法一：⑴ 求極限 ⑵ 令 則收斂半徑為； 法二：若滿(mǎn)足，則； 法三；⑴ 求極限 ⑵ 令 則收斂半徑為． [例2.2] 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域 ⑴ ⑵ ⑶ 解：⑴ 收斂半徑， 所以收斂域?yàn)椋? ⑵ 收斂半徑 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)為這是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)， 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)為這是發(fā)散的級(jí)數(shù)， 于是該冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)椋? ⑶ 由于 令，可得，所以收斂半徑為 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)為，

28、此級(jí)數(shù)發(fā)散， 于是原冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋? 五、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì) 設(shè)冪級(jí)數(shù)收斂半徑為；收斂半徑為，則 1．，收斂半徑； 2．，收斂半徑； 3．冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上連續(xù)； 4．冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，且求導(dǎo)后所得到的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑仍為．即有 ． 5．冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，且積分后所得到的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑仍為．即有 [例2.3] 用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分求下列冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù) ⑴ ⑵ 解：⑴ 令，則 所以； ⑵ 令，則

29、 所以 ，． 六、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 1．函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的定義 定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，，若存在冪級(jí)數(shù)，使得 則稱(chēng)在區(qū)間上能展開(kāi)成處的冪級(jí)數(shù)． 2．展開(kāi)形式的唯一性 定理：若函數(shù)在區(qū)間上能展開(kāi)成處的冪級(jí)數(shù) 則其展開(kāi)式是唯一的，且 ． 七、泰勒級(jí)數(shù)與麥克勞林級(jí)數(shù) 1．泰勒級(jí)數(shù)與麥克勞林級(jí)數(shù)的定義 定義：如果在的某一鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱(chēng)冪級(jí)數(shù) 為函數(shù)在點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)． 當(dāng)時(shí)，稱(chēng)冪級(jí)數(shù) 為函數(shù)的

30、麥克勞林級(jí)數(shù)． 2．函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件 定理：函數(shù)在處的泰勒級(jí)數(shù)在上收斂到的充分必要條件是：在處的泰勒公式 的余項(xiàng)在上收斂到零，即對(duì)任意的，都有． 八、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的方法 1．直接法 利用泰勒級(jí)數(shù)的定義及泰勒級(jí)數(shù)收斂的充要條件，將函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上直接展開(kāi)成指定點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)的方法． 2．間接法 通過(guò)一定的運(yùn)算將函數(shù)轉(zhuǎn)化為其它函數(shù)，進(jìn)而利用新函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)將原來(lái)的函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的方法．所用的運(yùn)算主要是四則運(yùn)算、（逐項(xiàng)）積分、（逐項(xiàng)）求導(dǎo)、變量代換．利用的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式是下列一些常用函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)公式． 冪級(jí)

31、數(shù)常用的七個(gè)展開(kāi)式 ． ●● 常考題型及其解法與技巧 一、阿貝爾定理的應(yīng)用 [例7.2.1] 設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為2，則冪級(jí)數(shù)在下列點(diǎn)處必收斂 （A） （B） （C） （D） 解：由于與有相同的收斂半徑，所以當(dāng)?shù)臅r(shí)候?qū)?yīng)的級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂，顯然集合中的點(diǎn)都滿(mǎn)足不等式，故選（A） [例7.2.2] 如級(jí)數(shù)在處收斂，問(wèn)級(jí)數(shù)在處斂散性怎樣？ 解：由阿貝爾定理，對(duì)一切的值，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，從而級(jí)數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)一切的值，級(jí)

32、數(shù)絕對(duì)收斂．現(xiàn)顯然不滿(mǎn)足，故級(jí)數(shù)在處斂散性不確定． [例7.2.3] 設(shè)收斂，則 （A）條件收斂 （B）絕對(duì)收斂 （C）發(fā)散 （D）不定 解：考查冪級(jí)數(shù)，由于收斂，所以?xún)缂?jí)數(shù)在點(diǎn)收斂，根據(jù)阿貝爾定理當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂，所以當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，而此時(shí)對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)為．所以應(yīng)選（B） [例7.2.4] 設(shè)冪級(jí)數(shù)在處條件收斂，則該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為． 解：由于在處條件收斂，由阿貝爾定理得，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂．所以收斂半徑； 假設(shè)．由收斂半徑的定義知時(shí)，對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂，所以級(jí)數(shù)在處應(yīng)絕對(duì)收斂，矛盾．所以． 因此收斂半徑

33、． 二、收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域 求冪級(jí)數(shù)收斂半徑的方法我們?cè)诔？贾R(shí)點(diǎn)中介紹過(guò)，如果冪級(jí)數(shù)中的冪次是按自然數(shù)順序依次遞增的，這時(shí)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的計(jì)算公式 如果冪級(jí)數(shù)中的冪次不是按自然數(shù)順序依次遞增的（如缺少奇數(shù)次冪或缺偶次冪等），這時(shí)不能用上面的公式計(jì)算收斂半徑，而必須使用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法或根值判別法（即常考知識(shí)點(diǎn)中介紹的法一與法三）求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑． 設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為．為了求冪級(jí)數(shù)的收斂域還需判別在 與處級(jí)數(shù)的斂散性． [例7.2.5] 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域 （1）

34、 （2） （3） （4） （5） 解：（1）此級(jí)數(shù)的冪次是按自然數(shù)順序依次遞增的，其收斂半徑可直接按公式計(jì)算： 在處，級(jí)數(shù)成為，由[例7.1.8]中的（1）可知該級(jí)數(shù)發(fā)散； 在處，級(jí)數(shù)成為，可判定發(fā)散． 故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋? （2）此級(jí)數(shù)的收斂半徑也可按公式計(jì)算： 在處，級(jí)數(shù)成為，這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，滿(mǎn)足萊布尼茲定理的條件，故收斂； 在處，級(jí)數(shù)成為，由于，而級(jí)數(shù)發(fā)散，故級(jí)數(shù)發(fā)散． 因此所給級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋? （3）此級(jí)

35、數(shù)缺少的偶次冪．故需利用比值判別法求收斂半徑． 令可得，，故收斂半徑為． 在處，級(jí)數(shù)成為，這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，滿(mǎn)足萊布尼茲定理的條件，故收斂； 在處，級(jí)數(shù)成為，這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，滿(mǎn)足萊布尼茲定理的條件，故收斂． 因此所給級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋? （4）此級(jí)數(shù)缺少的奇次冪．故需利用比值判別法求收斂半徑． 令可得，，故收斂半徑為． 在處，級(jí)數(shù)成為，該級(jí)數(shù)顯然收斂； 在處，級(jí)數(shù)成為，該級(jí)數(shù)收斂． 因此所給級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋? （5）此級(jí)數(shù)中的的冪次不是按自然順依次遞增的．故需用比值判別法求收斂半徑． 令可得，，故收斂半徑為． 于是冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋? [例

36、7.2.6] 求冪級(jí)數(shù)的收斂域． 解：設(shè)冪級(jí)數(shù)，的收斂半徑分別為，則 ，．因此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為． （1） 若，則． 在，級(jí)數(shù)為收斂； 在，級(jí)數(shù)為發(fā)散，從而收斂域?yàn)椋? （2）若，則． 在，級(jí)數(shù)為收斂； 在，級(jí)數(shù)為收斂；，從而收斂域?yàn)椋? [例7.2.7] 已知冪級(jí)數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，求其收斂域． 解：由于冪級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)在處收斂，由阿貝爾定理可得，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，所以收斂半徑； 假設(shè)收斂半徑，由收斂半徑的定義可知，時(shí)，對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂，而，所以級(jí)數(shù)在處絕對(duì)收斂，與已知矛盾．故． 綜上可得，收斂半徑． 又因?yàn)榧?jí)數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，故收斂域?yàn)椋?

37、 三、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求收斂域 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求收斂域的基本方法：⑴ 用正項(xiàng)級(jí)數(shù)比值判別法（或根值判別法）求（或）；⑵解不等式，求出的收斂區(qū)間；⑶ 判定級(jí)數(shù)與的斂散性． 評(píng)注：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求收斂域有時(shí)也利用變量代換化為冪級(jí)數(shù)，利用冪級(jí)數(shù)求收斂域的方法來(lái)完成，或者利用數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)其它判別法、及性質(zhì)完成． [例7.2.8] 求下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域 （1） （2） 解：（1） 令，可得． 而當(dāng)時(shí)，，所以該級(jí)數(shù)也收斂． 所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋? （2） 令，可得，即． 當(dāng)時(shí)，，所以該級(jí)數(shù)也收斂； 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)為，它是交錯(cuò)

38、級(jí)數(shù)，由萊布尼茲判別法知，該級(jí)數(shù)收斂； 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)為，它是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由比較判別法知，該級(jí)數(shù)發(fā)散． 故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋? [例7.2.9] 求級(jí)數(shù)的收斂域． 解：令，考察級(jí)數(shù)的收斂域 由于，所以?xún)缂?jí)數(shù)的收斂半徑為 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)冪級(jí)數(shù)為，由于，所以級(jí)數(shù)發(fā)散； 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)冪級(jí)數(shù)為，由于級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)都收斂，所以收斂． 從而冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋? 由于，所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋? 四、冪級(jí)數(shù)求和函數(shù) 求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的基本方法：⑴求出其收斂域；⑵利用冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分、或變量代換，將冪級(jí)數(shù)化為常用展開(kāi)式的情形之一，從而得到新級(jí)數(shù)的和函數(shù)；⑶對(duì)所得到的和函數(shù)

39、做相反的分析運(yùn)算，便得原冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)． 評(píng)注：①若冪級(jí)數(shù)通項(xiàng)的系數(shù)是的有理分式，一般可用逐項(xiàng)求導(dǎo)來(lái)求和函數(shù)； ②若冪級(jí)數(shù)通項(xiàng)的系數(shù)是的有理整式，一般可用逐項(xiàng)積分來(lái)求和函數(shù)． [例7.2.10]求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) （1） （2） 分析：冪級(jí)數(shù)通項(xiàng)的系數(shù)是的有理整式，故應(yīng)利用逐項(xiàng)積分來(lái)求和函數(shù)，冪級(jí)數(shù)通項(xiàng)的系數(shù)是的有理分式，應(yīng)利用逐項(xiàng)求導(dǎo)來(lái)求和函數(shù)． 解：（1）由于收斂半徑 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)為，發(fā)散； 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)為，該級(jí)數(shù)發(fā)散，故冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)椋? 因?yàn)? 令 ，則

40、 于是 ， 從而 ，， 所以和函數(shù)為． （2），所以收斂半徑為 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂； 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋? 設(shè)，則，從而 所以 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 故=． [例7.2.11] 求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)． 解：收斂半徑為，所以收斂域?yàn)椋? 令 顯然 ， 又 而 所以， 故 ． [例7.2.12] 設(shè)有級(jí)數(shù) （Ⅰ）求此級(jí)數(shù)的收斂域 （Ⅱ）證明此級(jí)數(shù)滿(mǎn)足微分方程 （Ⅲ）求此級(jí)數(shù)的和函數(shù) 解：（Ⅰ）因?yàn)?，故知?jí)數(shù)對(duì)任何都收斂，即其收斂域?yàn)? （Ⅱ）設(shè)，則， 所以 ， （Ⅲ

41、）容易求得上述方程的通解為 由，可定出 故級(jí)數(shù)的和函數(shù)為． [例7.2.13] 設(shè)冪級(jí)數(shù)在內(nèi)收斂，其和函數(shù)滿(mǎn)足 ， （Ⅰ）證明； （Ⅱ）求的表達(dá)式． 分析：用已知條件推證（Ⅰ）比較簡(jiǎn)單．對(duì)于的表達(dá)式想通過(guò)解方程得到非常困難，因?yàn)樗o方程超出我們所學(xué)范圍，不過(guò)可以通過(guò)（Ⅰ）把的具體表達(dá)式求出來(lái)，利用已知的常用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式把冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)寫(xiě)出來(lái)． 證明：（Ⅰ） 由于，從而 ， 故 所以 ， ； （Ⅱ）因?yàn)?，所以，于是由（Ⅰ）可? ， 所

42、以級(jí)數(shù)為，而， 故，． 五、用冪級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和 求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和的方法之一是利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)．此方法是：①根據(jù)的特點(diǎn)，構(gòu)造冪級(jí)數(shù)（其中取等情形中的一種）；②求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，則． 評(píng)注：的構(gòu)造應(yīng)選取易求得和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)． [例7.2.14] 求下列數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和 （1） （2） （3） 解：（1）令，則 所以 ，因此． （2）令，則 所以， 因此． （3）令，則 ， 所以，因此． [例7.2.15] 求級(jí)數(shù)的和． 解：由于， 令 ， 則， 所以， 從而． 六、將函

43、數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)主要用間接展開(kāi)法． Ⅰ 有理分式函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 有理分式函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的一般思路：①將有理分式函數(shù)分解成部分分式的和；②將各個(gè)部分分式用或 的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式展開(kāi)；③利用冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)寫(xiě)出的展開(kāi)式． [例7.2.16] 將展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)． 解：由于，而 ； ， 所以． [例7.2.17] 將展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)． 解：，而 ， ， 所以． Ⅱ 三角型函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 三角型函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的一般思路：①利用三角公式將表示成與和

44、、差的形式；②利用與的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式將與展開(kāi)；③利用冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)寫(xiě)出的展開(kāi)式． [例7.2.18] 將展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)． 解：， 而 ， 所以 ． Ⅲ 對(duì)數(shù)型函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 對(duì)數(shù)型函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，一般有以下幾種方法： 法一：①利用乘積或商的對(duì)數(shù)性質(zhì)將對(duì)數(shù)函數(shù)拆開(kāi)（有時(shí)需因式分解）成與和、差形式；②利用的展開(kāi)式，將與展開(kāi)；③利用冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)寫(xiě)出的展開(kāi)式． 法二：①將函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)展開(kāi)；②利用逐項(xiàng)積分得到的展開(kāi)式． [例7.2.19] 將函數(shù)，在處展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)． 解：，而 ， 所以 ，． [例

45、7.2.20] 將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)． 解：，而 所以 ． Ⅳ 反三角型函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 反三角型函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的一般思路：①將函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)展開(kāi)；②利用逐項(xiàng)積分得到的展開(kāi)式． [例7.2.21] 將展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)． 解：，而 所以，又， 故 ． Ⅴ 其它形式的函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) [例7.2.22] 設(shè)，試將展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)，并求 的和． 解：由于，所以 因此，當(dāng)或時(shí)， +

46、 ， 令，則 所以 1+2，， 且=． [例7.2.23] 將展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)． 解：由于 所以 由得： 故 ． [例7.2.24] 將在展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)． 解：依題意有 ，兩端求導(dǎo)得 ， 設(shè)在展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，將其代入方程得 即 比較系數(shù)得，． 由于，故，因此，， 于是在的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式為． 評(píng)注：冪級(jí)數(shù)與微分方程有密切的關(guān)系：本例是通過(guò)解方程來(lái)展開(kāi)冪級(jí)數(shù)，而[例7.2.12]是利用解方程來(lái)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)． 七、冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用 [

47、例7.2.25] 已知，計(jì)算 分析：已知條件為某個(gè)已知和的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，但所求的積分卻十分困難，這就需要我們從另一個(gè)角度來(lái)考慮問(wèn)題．既然要用已知條件求出積分，那該積分能否表示成某一級(jí)數(shù)的形式呢？于是問(wèn)題的關(guān)鍵就是如何將被積函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)． 解：由于 ， 所以 ． [例7.2.26] 設(shè)，求． 分析：根據(jù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的唯一性，的麥克勞林級(jí)數(shù)就是在的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，所以，即． 解：由于， 所以， 從而． [例7.2.27] 設(shè)，證明：時(shí)， 分析：證明恒等式最有力的方法是用拉格朗日中值定理的推論． 證明：令，則

48、 由拉格朗日中值定理推論可得： 又， 從而． [例7.2.28] 求證． 分析：等號(hào)左邊的級(jí)數(shù)固然可以求和函數(shù)，但是等號(hào)右邊的積分卻十分困難，這就需要我們從另一個(gè)角度來(lái)考慮問(wèn)題．既然證明積分的結(jié)果是一級(jí)數(shù)，那該級(jí)數(shù)能否看作是某一冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分的結(jié)果呢？于是問(wèn)題的關(guān)鍵就是如何將被積函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)． 解：當(dāng)時(shí)， 又因?yàn)?，所? 從而 ．

49、 §7.3 傅里葉級(jí)數(shù) 本節(jié)重點(diǎn)是傅里葉級(jí)數(shù)的狄里赫萊定理、將函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)． ● ?？贾R(shí)點(diǎn)精講 一、傅里葉級(jí)數(shù) 定義1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可積，令 則三角級(jí)數(shù)叫以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)，其中 叫的傅里葉系數(shù)． 定義2：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可積，令 則三角級(jí)數(shù)叫以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)，其中 叫的傅里葉系數(shù)． [例3.1] 設(shè)的傅里葉級(jí)數(shù)為，則其中的系數(shù)的值為． 解： ， 其中 于是 ．

50、二、傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理 定理（狄里赫萊定理）如果在區(qū)間上滿(mǎn)足： （1）只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)； （2）只有有限個(gè)極值點(diǎn) 則的以為周期的傅里葉級(jí)數(shù) 的收斂域?yàn)?，其和函?shù)是以為周期的周期函數(shù)，在其一個(gè)周期上的表達(dá)式為 三、對(duì)稱(chēng)區(qū)間上奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 命題1：若為定義在上的偶函數(shù)，則其以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)為 其中 命題2：若為定義在上的奇函數(shù)，則其以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)為 其中 ． ●● 常考題型及其解法與技巧 一、狄

51、里赫萊定理的應(yīng)用 [例7.3.1] 設(shè)，則其以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)在收斂于，在收斂于． 解：根據(jù)狄里赫萊定理知： 以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)在收斂于 ， 以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)在收斂于 ． [例7.3.2] 設(shè)函數(shù)，而，其中，則． （A） （B） （C） （D） 解：是函數(shù)先作奇延拓再作周期為2的周期延拓后的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)．由于在處連續(xù)，所以由狄里赫萊定理可得 而為奇函數(shù)，所以．故應(yīng)選（C）． [例7.3.3] 設(shè)，，，其中 ，則等于 （A） （B）

52、 （C） （D） 解：是函數(shù)先作偶延拓再作周期為2的周期延拓后的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)．由狄里赫萊定理， 而 ， 故應(yīng)選（C）． 二、將函數(shù)在上展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù) 這里有兩種情況：一是已知函數(shù)在上的表達(dá)式，且是以為周期的函數(shù)，要將展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)；二是僅在上定義，要將展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)．如果是后一種情況，只需通過(guò)周期延拓的方法，在區(qū)間外擴(kuò)充的定義，使它延拓為以為周期的函數(shù)，就變成了前一種情況．這兩種情形的解題方法是相同的．具體為：① 畫(huà)出的草

53、圖，驗(yàn)證是否滿(mǎn)足狄里赫萊定理的條件；②求出傅里葉系數(shù)，寫(xiě)出的傅里葉級(jí)數(shù)；③利用狄里赫萊定理得到的傅里葉展開(kāi)式，并注明展開(kāi)式成立的范圍． 評(píng)注：畫(huà)出的草圖的目的，一是為了驗(yàn)證狄里赫萊定理的條件；二是為了找到展開(kāi)式成立的范圍（連續(xù)點(diǎn)都可以展開(kāi)）． [例7.3.4] 將展開(kāi)成以6為周期的傅里葉級(jí)數(shù)． 解：畫(huà)出的草圖如下所示． 由圖可見(jiàn)在上滿(mǎn)足狄里赫萊條件． 又 ， ， 所以以6為周期的傅里葉級(jí)數(shù)為 又因?yàn)楦道锶~級(jí)數(shù)的和函數(shù)滿(mǎn)足： ， 而，所以 ，． 三、將函數(shù)在

54、上展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù) 如函數(shù)在上有定義，要將它展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)（或余弦級(jí)數(shù)）的一般思路：① 將函數(shù)延拓成上的奇函數(shù)（或偶函數(shù)）；②畫(huà)出的草圖，驗(yàn)證是否滿(mǎn)足狄里赫萊定理的條件；③求出傅里葉系數(shù)，寫(xiě)出的傅里葉級(jí)數(shù)；④利用狄里赫萊定理將展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)（或余弦級(jí)數(shù)），并注明展開(kāi)式成立的范圍． [例7.3.5] 設(shè)，試將展開(kāi)成周期為4 的余弦級(jí)數(shù)． 解：將延拓成上的偶函數(shù)． 畫(huà)出的草圖如下圖所示： 由圖可見(jiàn)在上滿(mǎn)足狄里赫萊條件． 又 （） 所以以4為周期的傅里葉級(jí)數(shù)為

55、 又因?yàn)楦道锶~級(jí)數(shù)的和函數(shù)滿(mǎn)足： 所以， 故，． 四、利用函數(shù)的傅里葉展開(kāi)式，求收斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和 利用函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式也是求收斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和的方法之一，思路為：①求出所給函數(shù)的傅里葉展開(kāi)式；②根據(jù)傅里葉系數(shù)的特點(diǎn)，確定傅里葉展開(kāi)式在某個(gè)點(diǎn)所得到的級(jí)數(shù)恰為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；③用狄里赫萊定理求出傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)在的值，即為所求． [例7.3.6] 將函數(shù)， 在展開(kāi)成以為周期的余弦級(jí)數(shù)，并求下列數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和． （1）； （2）； （3）． 解： 將作偶延拓，得到上的偶函數(shù)． 畫(huà)出

56、的草圖如圖所示： 由圖可見(jiàn)在上滿(mǎn)足狄里赫萊條件 則 所以 因?yàn)樵趦?nèi)連續(xù)，的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)滿(mǎn)足 ， 因此 （**） 在式（**）中分別令和，得 ， 由此可得 （1）， （2）， 再將上兩式逐項(xiàng)相加，又得

57、 故 （3）． 五、其它 [例7.3.7] 設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，并且傅里葉系數(shù)為 ．求的傅里葉系數(shù)，并利用所得結(jié)果推出 ． 分析：是抽象函數(shù)，也不可能得到具體的解析表達(dá)式，因此只能借助于的傅里葉系數(shù)來(lái)表示的傅里葉系數(shù)．另外應(yīng)該看到求證的等式左端為． 解：顯然是以為周期的連續(xù)函數(shù)，其傅里葉系數(shù) （交換積分次序所得） （利用周期函數(shù)的積分性質(zhì)所得） 由上述類(lèi)似方法可得 由狄里赫萊定理知

58、 特別當(dāng)時(shí) ． [例7.3.8] 證明當(dāng)時(shí)， 分析：這里要證明一個(gè)三角級(jí)數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)收斂于一個(gè)函數(shù)．這是傅里葉級(jí)數(shù)的反問(wèn)題．證明這一類(lèi)題的一般方法是將所給函數(shù)在指定區(qū)間上展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，看它是不是等于給定的級(jí)數(shù)． 證明：令 因?yàn)樗o級(jí)數(shù)只含余弦項(xiàng)，故將函數(shù)偶延拓到區(qū)間內(nèi)，于是其傅里葉系數(shù)． （ 所以， 故． 　　　　　　　

59、　　知識(shí)點(diǎn)、考點(diǎn)測(cè)試 一、選擇題 1．下列命題中正確的是 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，則 設(shè)收斂，則收斂 設(shè)，至少有一個(gè)發(fā)散，則發(fā)散 設(shè)收斂，則，均收斂． 2．下列論述正確的是 收斂，則收斂 3．設(shè)條件收斂，則必有 存在自然數(shù)，使得當(dāng)成立， 收斂 發(fā)散 收斂 4．已知，且條件收斂．若設(shè) （，則級(jí)數(shù) （A）條件收斂 （B）絕對(duì)收斂 （C）發(fā)散

60、 （D）斂散性取決于的具體形式 5．設(shè)絕對(duì)收斂，則下列各選項(xiàng)正確的是（ ） （A）發(fā)散 （B）條件收斂 （C）絕對(duì)收斂 （D） 6．對(duì)于常數(shù)，級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂 條件收斂 發(fā)散 收斂性與的取值有關(guān) 7．設(shè)且收斂，常數(shù)，則級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂

61、 條件收斂 發(fā)散 斂散性與有關(guān) 8．設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則的值分別為 9．設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂， ，則級(jí)數(shù) （A）發(fā)散 （B）絕對(duì)收斂 （C）條件收斂 （D）不定 10．在下列級(jí)數(shù) （1）

62、 （2） （3） （4） 中收斂的一共有（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 11．設(shè)冪級(jí)數(shù)在處收斂，則當(dāng)時(shí)，此級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂 發(fā)散 條件收斂 斂散性不確定 12．設(shè)冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)條件收斂，則冪級(jí)數(shù)，在點(diǎn)處 絕對(duì)收斂

63、 條件收斂 發(fā)散 不能確定 13．若級(jí)數(shù)的收斂域分別是 14．設(shè)收斂，則級(jí)數(shù)的收斂半徑是 15．將函

64、數(shù)在上展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)，則其和函數(shù)在處的函數(shù)值分別為（ ） （A） （B）0，2，0 （C） （D） 16．設(shè)以為周期的函數(shù)，有傅里葉級(jí)數(shù) 則下列函數(shù)的圖形哪一種可保證在可展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，即成立等式 二、填空題 1．設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是2，則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是． 2．設(shè)有級(jí)數(shù)，若，則該級(jí)數(shù)的收斂半徑等于． 3．設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，則的收斂半徑為． 4．已知冪級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)條件收斂，則該冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為． 5．設(shè)的收

65、斂區(qū)間為，則級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為． 6．冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋? 7．冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋? 8．將函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù)是． 9．設(shè)，而，，其中，則． 10．設(shè)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 則其中系數(shù) 11．設(shè)，則其以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)在收斂于，在收斂于． 三、解答題 1． 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性 （1） （2） （3）判斷級(jí)數(shù)的斂散性． （4） 2．判別級(jí)數(shù)的斂散性 3．判斷級(jí)數(shù)的斂散性．其中 4．設(shè)為單調(diào)減少的正項(xiàng)數(shù)列，且發(fā)散，試討論級(jí)數(shù)的斂散性， 5．討論下列級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂，

66、指出是條件收斂還是絕對(duì)收斂，說(shuō)明理由． （1） （2） （3） 6．研究級(jí)數(shù)的斂散性（其中 7．求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域 （1） （2） （3） （4） 8．求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 9．求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，收斂域及其和函數(shù)；并求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的和． 10．求下列數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和 （1） （2） （3） （4） 11．將展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù) ． 12．將展開(kāi)成的冪級(jí)