高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 概率、隨機變量及其分布 12.3 幾何概型課件 理 北師大版

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1、12.3幾何概型基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)1.幾何概型幾何概型知識梳理2.幾何概型中的G也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域，相應(yīng)的概率是 之比或 之比.向平面上有限區(qū)域(集合)G內(nèi)隨機地投擲點M，若點M落在子區(qū)域G1G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無關(guān)，即P(點M落在G1) ，則稱這種模型為幾何概型.體積長度3.借助 可以估計隨機事件發(fā)生的概率.模擬方法判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)在一個正方形區(qū)域內(nèi)任取一點的概率是零.()(2)幾何概型中，每一個基本事件就是從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中的每

2、一點被取到的機會相等.()(3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形.()思考辨析思考辨析(4)隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率.()(5)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān).() 考點自測1.(教材改編)在線段0,3上任投一點，則此點坐標(biāo)小于1的概率為答案解析坐標(biāo)小于1的區(qū)間為0,1，長度為1，0,3區(qū)間長度為3， 121()2logx 2.(2015山東)在區(qū)間0,2上隨機地取一個數(shù)x，則事件“1 1”發(fā)生的概率為答案解析121()2logx 由幾何概型的概率計算公式得所求概率 3.(教材改編)有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落

3、在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應(yīng)選擇的游戲盤是答案解析P(A)P(C)P(D)P(B).答案解析如圖所示，分別以正方形的四個頂點為圓心，2 cm為半徑作圓，與正方形相交截得四個圓心角為直角的扇形，當(dāng)小蟲落在圖中的黑色區(qū)域時，它離四個頂點的距離都大于2 cm，5.若將一個質(zhì)點隨機投入如圖所示的長方形ABCD中，其中AB2，BC1，則質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是_.答案解析設(shè)質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A，題型分類題型分類深度剖析深度剖析 題型一與長度、角度有關(guān)的幾何概型題型一與長度、角度有關(guān)的幾何概型例例1(1)(2016全國甲卷)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交

4、替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為答案解析答案解析解答因為B60，C45，所以BAC75.引申引申探究探究 解答2.本例(3)中，若將“在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M”改為“在線段BC上找一點M”，求BM1的概率. 解答求解與長度、角度有關(guān)的幾何概型的方法求與長度(角度)有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長度(角度)，然后求解.要特別注意“長度型”與“角度型”的不同.解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域(長度或角度).思維升華 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1(1)(2016全國乙卷)某公司的班車在7：00，8：00,8：30發(fā)車

5、，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是答案解析如圖所示，畫出時間軸.答案解析 命題點命題點1與平面圖形面積有關(guān)的問題與平面圖形面積有關(guān)的問題例例2(2016全國甲卷)從區(qū)間0,1隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，xn，y1，y2，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為 答案 解析題型二與面積有關(guān)的幾何概型題型二與面積有關(guān)的幾何概型由題意得(xi，yi)(i1,2，n)在如圖所示方格中，而平方和小于1的點均在如圖所示的陰影中

6、，命題點命題點2與線性規(guī)劃知識交匯命題的問題與線性規(guī)劃知識交匯命題的問題 答案 解析如圖，平面區(qū)域1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域2與平面區(qū)域1的重疊部分就是區(qū)域OACD，命題點命題點3與定積分交匯命題的問題與定積分交匯命題的問題例例4 (2015福建)如圖，點A的坐標(biāo)為(1,0)，點C的坐標(biāo)為(2,4)，函數(shù)f(x)x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于_. 答案 解析求解與面積有關(guān)的幾何概型的注意點求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標(biāo)，找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.思維升華 跟蹤訓(xùn)練跟

7、蹤訓(xùn)練2(1)(2016昌平模擬)設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域為D.在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到直線y20的距離大于2的概率是答案解析作出平面區(qū)域D，可知平面區(qū)域D是以A(4,3)，B(4，2)，C(6，2)為頂點的三角形區(qū)域.當(dāng)點在AEF區(qū)域內(nèi)時，點到直線y20的距離大于2.(2)如圖，在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為_.答案解析 題型三與體積有關(guān)的幾何概型題型三與體積有關(guān)的幾何概型例例5(1)(2016貴州黔東南州凱里一中期末)一只蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，則稱其為“安

8、全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為答案解析 當(dāng)P在三棱錐的三條側(cè)棱的中點所在的平面及下底面構(gòu)成的正三棱臺內(nèi)時符合要求，答案解析求解與體積有關(guān)的幾何概型的注意點對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復(fù)雜的問題也可利用其對立事件去求.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3(2016哈爾濱模擬)在體積為V的三棱錐SABC的棱AB上任取一點P，則三棱錐SAPC的體積大于 的概率是_.答案解析 幾何概型中的“測度”現(xiàn)場糾錯系列現(xiàn)場糾錯系列16(1)在線段上取點，則點在線段上等可能出現(xiàn)；在角內(nèi)作射線，則射線在角內(nèi)的分布等可能.(2)兩個變量在某個范圍內(nèi)取

9、值，對應(yīng)的“測度”是面積.典例典例(1)在等腰RtABC中，C90，在直角邊BC上任取一點M，則CAM30的概率是_.錯解展示 現(xiàn)場糾錯 糾錯心得解析解析(1)因為C90，CAM30，答案答案 返回解析解析(1)因為點M在直角邊BC上是等可能出現(xiàn)的，所以“測度”是長度.設(shè)直角邊長為a，(2)設(shè)任取兩點所表示的數(shù)分別為x，y，則0 x1，且0y1.答案答案 返回課時作業(yè)課時作業(yè)1.(2016佛山模擬)如圖，矩形長為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機地撒300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的黃豆數(shù)為96，以此實驗數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計出橢圓的面積約為A.16.32 B.15.32C.8.68 D.7.68答案解析123

10、45678910111213故S16.32.12345678910111213 答案 解析以PB、PC為鄰邊作平行四邊形PBDC，123456789101112131234567891011121312345678910111213答案解析4.已知ABC中，ABC60，AB2，BC6，在BC上任取一點D，則使ABD為鈍角三角形的概率為 答案 解析如圖，當(dāng)BE1時，AEB為直角，則點D在線段BE(不包含B、E點)上時，ABD為鈍角三角形；當(dāng)BF4時，BAF為直角，則點D在線段CF(不包含C、F點)上時，ABD為鈍角三角形，123456789101112135.(2017武昌質(zhì)檢)如圖，矩形ABC

11、D的四個頂點的坐標(biāo)分別為A(0，1)，B(，1)，C(，1)，D(0，1)，正弦曲線f(x)sin x和余弦曲線g(x)cos x在矩形ABCD內(nèi)交于點F，向矩形ABCD區(qū)域內(nèi)隨機投擲一點，則該點落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是 答案 解析12345678910111213123456789101112136.歐陽修的賣油翁中寫到：“(翁)乃取一葫蘆，置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕”，可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止.若銅錢是直徑為3 cm的圓，中間有邊長為1 cm的正方形孔，若隨機向銅錢上滴一滴油(油滴的直徑忽略不計)，則正好答案解析1234567891011121

12、3落入孔中的概率是_.7.有一個底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率12345678910111213為_.答案解析如圖，由題意知，在矩形ABCD內(nèi)任取一點Q(m，n)，點Q落在陰影部分的概率即為所求的概率，易知直線mn恰好將矩形平分， 答案 解析12345678910111213 答案 解析半圓區(qū)域如圖所示.設(shè)A表示事件1234567891011121310.(2017大連質(zhì)檢)正方形的四個頂點A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，D(1,1)分別在拋物線yx2和yx2上，如圖所示.若將一個質(zhì)點隨機投入正方形

13、ABCD中，則質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域的概率是_. 答案 解析1234567891011121311.已知向量a(2,1)，b(x，y).(1)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次，第二次出現(xiàn)的點數(shù)，求滿足ab1的概率； 解答將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數(shù)為6636，由ab1，得2xy1，12345678910111213(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值，求滿足ab0的概率. 解答12345678910111213若x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值，則全部基本事件的結(jié)果為(x，y)|1x6,1y6，

14、滿足ab0的基本事件的結(jié)果為畫出圖形如圖，12345678910111213A(x，y)|1x6,1y6且2xy0.12345678910111213 解答要使f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，12345678910111213依條件可知事件的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為12345678910111213*13.甲、乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)到達(dá)該碼頭的時刻是等可能的.如果甲船停泊時間為1 h，乙船停泊時間為2 h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率. 解答12345678910111213設(shè)甲、乙兩艘船到達(dá)碼頭的時刻分別為x與y，記事件A為“兩船都不需要等待碼頭空出”，則0 x24,0y24，要使兩船都不需要等待碼頭空出，當(dāng)且僅當(dāng)甲比乙早到達(dá)1 h以上或乙比甲早到達(dá)2 h以上，即yx1或xy2.故所求事件構(gòu)成集合A(x，y)|yx1或xy2，x0,24，y0,24.12345678910111213A為圖中陰影部分，全部結(jié)果構(gòu)成集合為邊長是24的正方形及其內(nèi)部.12345678910111213