高中數(shù)學(xué) 1.1.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課件 新人教A版選修2-3 .ppt

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第一章計數(shù)原理1 1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第1課時分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理及其簡單應(yīng)用 1 分類加法計數(shù)原理 m n 2 分步乘法計數(shù)原理 m n 3 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別 1 聯(lián)系 都是涉及做一件事的 的種數(shù)問題 2 區(qū)別 分類加法計數(shù)原理針對的是 問題 其中各種方法 用其中任何一種方法都可以做完這件事 分步乘法計數(shù)原理針對的是 問題 各個步驟中的方法 只有各個步驟都完成才算做完這件事 不同方法 分類 相互獨立 分步 互相依存 1 判一判 正確的打 錯誤的打 1 在分類加法計數(shù)原理中 兩類不同方案中的方法可以相同 2 在分類加法計數(shù)原理中 每類方案中的方法都能完成這件事 3 在分步乘法計數(shù)原理中 每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的 4 在分步乘法計數(shù)原理中 事情若是分兩步完成的 那么其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事 只有兩個步驟都完成后 這件事情才算完成 解析 1 錯誤 在分類加法計數(shù)原理中 兩類不同方案中的方法互不相同 即第1類方案中的m種方法和第2類方案中的n種方法沒有相同的 2 正確 在分類加法計數(shù)原理中 每類方案中的每一種方法都能完成這件事 否則就是分步了 3 正確 在分步乘法計數(shù)原理中 每個步驟中完成這個步驟的方法如果相同 則可認為是相同的步驟 4 正確 在分步乘法計數(shù)原理中 如果事情是分兩步完成的 則它的任何一個單獨的步驟都不能完成這件事 否則就是分類了 答案 1 2 3 4 2 做一做 請把正確的答案寫在橫線上 1 從10名任課教師 54名同學(xué)中 選1人參加元旦文藝演出 共有 種不同的選法 2 一個袋子里放有6個球 另一個袋子里放有8個球 每個球各不相同 從兩個袋子里各取一個球 共有 種不同的取法 3 從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持本班的某次主題班會 則不同的選法有 種 解析 1 分類完成此事 一類是選教師 有10種選法 另一類是選學(xué)生 有54種選法 由分類加法計數(shù)原理可知 共有10 54 64種選法 答案 64 2 由分步乘法計數(shù)原理得不同取法的種數(shù)為6 8 48 答案 48 3 分類完成此事 如果選女生 有3種選法 如果選男生 有2種選法 由分類加法計數(shù)原理可知 共有3 2 5種選法 答案 5 要點探究 知識點1分類加法計數(shù)原理對分類加法計數(shù)原理的三點說明 1 核心 原理的核心是 分類 完成一件事要分為若干類 各類的方法相互獨立 各類中的各種方法也相互獨立 并且用任何一類中任何一種方法都可以單獨完成這件事 因此在應(yīng)用原理時一定要根據(jù)問題的特點確定一個分類的標準 然后在確定的標準下進行分類 其次還要注意分類不能重復(fù) 不能遺漏 2 目的 原理的目的是求解 完成一件事的不同方法數(shù) 因此在應(yīng)用原理解題時要有問題意識 明確并努力思考兩個問題 即問題要求我們完成一件什么事 如何完成這件事 3 推廣 原理可以推廣到n類不同的方案 微思考 1 分類加法計數(shù)原理的最主要的特點是什么 提示 最主要的特點是各類中的各種方法都可以單獨完成一件事 2 使用分類加法計數(shù)原理需遵循的原則是什么 提示 有時分類的劃分標準有多個 但不論是以哪一個為標準 都應(yīng)遵循 標準明確 不重不漏 的原則 即時練 從甲地到乙地一天之中有三次航班 兩趟火車 某人利用這兩種交通工具在當(dāng)天從甲地趕往乙地的方法有 A 2種B 3種C 5種D 6種 解析 選C 從甲地到乙地有2類辦法 坐飛機和坐火車 坐飛機有3種方法 三次航班 坐火車有2種方法 兩趟火車 所以結(jié)合分類加法計數(shù)原理 從甲地趕往乙地的方法有5種 知識點2分步乘法計數(shù)原理1 使用分步乘法計數(shù)原理的三個關(guān)注點 1 明確題目中的 完成這件事 是什么 確定完成這件事需要幾個步驟 且每步都是獨立的 2 將完成這件事劃分成幾個步驟來完成 各步驟之間有一定的連續(xù)性 只有當(dāng)所有步驟都完成了 整個事件才算完成 這是分步的基礎(chǔ) 也是關(guān)鍵 從計數(shù)上來看 各步的方法數(shù)的積就是完成事件的方法總數(shù) 3 推廣 2 兩個計數(shù)原理的區(qū)別 微思考 1 選用分步乘法計數(shù)原理的依據(jù)是什么 提示 當(dāng)解決一個問題要分成若干步 每一步只能完成這件事的一部分 且只有當(dāng)所有步都完成后 這件事才完成 這時就采用分步乘法計數(shù)原理 2 區(qū)分 完成一件事 是分類還是分步的關(guān)鍵是什么 提示 區(qū)分 完成一件事 是分類還是分步 關(guān)鍵是看一步能否完成這件事 若能完成 則是分類 否則 就是分步 即時練 2014 鄭州高二檢測 某乒乓球隊里有男隊員6人 女隊員5人 從中選取男 女隊員各一人組成混合雙打隊 不同的組隊方法有 A 11種B 30種C 56種D 65種 解析 選B 先選1男有6種方法 再選1女有5種方法 故共有6 5 30種不同的組隊方法 題型示范 類型一應(yīng)用分類加法計數(shù)原理計數(shù) 典例1 1 若x y N 且x y 6 則有序自然數(shù)對 x y 共有 個 2 在所有的兩位數(shù)中 個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為 解題探究 1 題 1 中滿足x y N 且x y 6的x y各可以取哪幾個數(shù) 2 題 2 中要求個位數(shù)字大于十位數(shù)字 應(yīng)用分類加法計數(shù)原理時應(yīng)以哪個為主討論 探究提示 1 滿足x y N 且x y 6的x y各可以從1 2 3 4 5中取數(shù) 2 應(yīng)用分類加法計數(shù)原理時可以以個位數(shù)為主討論 也可以以十位數(shù)為主討論 自主解答 1 將滿足條件x y N 且x y 6的x的值進行分類 當(dāng)x 1時 y可取的值為5 4 3 2 1 共5個 當(dāng)x 2時 y可取的值為4 3 2 1 共4個 當(dāng)x 3時 y可取的值為3 2 1 共3個 當(dāng)x 4時 y可取的值為2 1 共2個 當(dāng)x 5時 y可取的值為1 共1個 即當(dāng)x 1 2 3 4 5時 y的值依次有5 4 3 2 1個 由分類加法計數(shù)原理得 不同的數(shù)對 x y 共有5 4 3 2 1 15 個 2 方法一 根據(jù)題意 將十位上的數(shù)字按1 2 3 4 5 6 7 8的情況分成8類 在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個 7個 6個 5個 4個 3個 2個 1個 由分類加法計數(shù)原理知 符合條件的兩位數(shù)共有8 7 6 5 4 3 2 1 36 個 故共有36個 方法二 分析個位數(shù)字 可分以下幾類 個位是9 則十位可以是1 2 3 8中的一個 故共有8個 個位是8 則十位可以是1 2 3 7中的一個 故共有7個 同理個位是7的有6個 個位是2的有1個 由分類加法計數(shù)原理知 符合條件的兩位數(shù)共有8 7 6 5 4 3 2 1 36 個 故共有36個 答案 1 15 2 36 延伸探究 本例 2 中條件不變 求個位數(shù)字小于十位數(shù)字且為偶數(shù)的兩位數(shù)的個數(shù) 解析 當(dāng)個位數(shù)字是8時 十位數(shù)字取9 只有1個 當(dāng)個位數(shù)字是6時 十位數(shù)字可取7 8 9 共3個 當(dāng)個位數(shù)字是4時 十位數(shù)字可取5 6 7 8 9 共5個 同理可知 當(dāng)個位數(shù)字是2時 共7個 當(dāng)個位數(shù)字是0時 共9個 由分類加法計數(shù)原理知 符合條件的數(shù)共有1 3 5 7 9 25 個 方法技巧 1 使用分類加法計數(shù)原理計數(shù)的兩個條件 1 根據(jù)問題的特點能確定一個適合于它的分類標準 然后在這個標準下進行分類 2 完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類 并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法 只有滿足這些條件 才可以用分類加法計數(shù)原理 2 利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程 變式訓(xùn)練 2014 安徽高考 從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對 其中所成的角為60 的共有 A 24對B 30對C 48對D 60對 解析 選C 與正方體的一個面上的一條對角線成60 角的對角線有8條 故共有8對 正方體的12條面對角線共有96對 且每對均重復(fù)計算一次 故共有 48對 補償訓(xùn)練 有A B兩種類型的車床各一臺 現(xiàn)有甲 乙 丙三名工人 其中甲 乙都會操作兩種車床 丙只會操作A種車床 現(xiàn)在要從三名工人中選2名分別去操作以上車床 不同的選派方法有 A 6種B 5種C 4種D 3種 解析 選C 若選甲 乙二人 包括甲操作A車床 乙操作B車床 或甲操作B車床 乙操作A車床 共有2種選派方法 若選甲 丙二人 則只有甲操作B車床 丙操作A車床這一種選派方法 若選乙 丙二人 則只有乙操作B車床 丙操作A車床這一種選派方法 故共有2 1 1 4 種 不同的選派方法 類型二應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理計數(shù) 典例2 1 2014 淄博高二檢測 設(shè)集合A中有3個元素 集合B中有2個元素 可建立A B的映射的個數(shù)為 2 已知集合M 3 2 1 0 1 2 P a b 表示平面上的點 a b M 問 P可表示平面上多少個不同的點 P可表示平面上多少個第二象限的點 P可表示多少個不在直線y x上的點 解題探究 1 題 1 中能建立A B的映射的關(guān)鍵是什么 2 題 2 中平面上第二象限的點有什么特點 探究提示 1 關(guān)鍵是A中的每個元素在B中都有元素與之對應(yīng) 2 平面上第二象限的點的橫坐標小于0 縱坐標大于0 自主解答 1 建立映射 即對于A中的每一個元素 在B中都有一個元素與之對應(yīng) 故由分步乘法計數(shù)原理得映射有2 2 2 8個 答案 8 2 確定平面上的點P a b 可分兩步完成 第一步確定a的值 共有6種確定方法 第二步確定b的值 也有6種確定方法 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理 得知P可表示平面上的點數(shù)是6 6 36 確定第二象限的點 可分兩步完成 第一步確定a 由于a 0 所以有3種確定方法 第二步確定b 由于b 0 所以有2種確定方法 由分步乘法計數(shù)原理 得到第二象限的點的個數(shù)是3 2 6 點P a b 在直線y x上的充要條件是a b 因此a和b必須在集合M中取同一元素 共有6種取法 即在直線y x上的點有6個 結(jié)合 得 不在直線y x上的點共有36 6 30 個 方法技巧 1 使用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)的兩個注意點一是要按照事件發(fā)生的過程合理分步 即分步是有先后順序的 二是各步中的方法互相依存 缺一不可 只有各個步驟都完成才算完成這件事 2 利用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程 變式訓(xùn)練 設(shè)集合A 1 0 1 集合B 0 1 2 3 定義A B x y x A B y A B 則A B中元素個數(shù)是 A 7B 10C 25D 52 解題指南 先計算A B A B 再分兩步 第一步從A B中選取元素x 第二步從A B中選取元素y 再由分步乘法計數(shù)原理計數(shù) 解析 選B A B 0 1 A B 1 0 1 2 3 x有2種取法 y有5種取法 由分步乘法計數(shù)原理得2 5 10 故選B 補償訓(xùn)練 如圖所示 在A B間有四個焊接點 若焊接點脫落 則可能導(dǎo)致電路不通 今發(fā)現(xiàn)A B之間線路不通 則焊接點脫落的不同情況有 種 解析 每個焊接點都有脫落與不脫落兩種狀態(tài) 電路不通可能是1個或多個焊接點脫落 問題比較復(fù)雜 但電路通的情況卻只有3種 即2或3脫落 其他不脫落或全不脫落 因為每個焊接點有脫落與不脫落兩種情況 故共有2 2 2 2 3 13種情況 答案 13 類型三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用 典例3 1 高艷有4件不同顏色的襯衣 3件不同花樣的裙子 另有2套不同樣式的連衣裙 五一 勞動節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出 則高艷不同的穿衣服的方式有 A 24種B 14種C 10種D 9種 2 2014 蘭州高二檢測 現(xiàn)有高一四個班的學(xué)生34人 其中一 二 三 四班分別有7人 8人 9人 10人 他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組 選其中一人為負責(zé)人 有多少種不同的選法 每班選一名組長 有多少種不同的選法 推選兩人做中心發(fā)言 這兩人需來自不同的班級 有多少種不同的選法 解題探究 1 題 1 中穿衣服的種類有哪些 2 題 2 的 中各需要利用什么計數(shù)原理 探究提示 1 兩類 一類是穿連衣裙 另一類是穿襯衣與裙子 2 中利用分類加法計數(shù)原理 中利用分步乘法計數(shù)原理 中既利用分類加法計數(shù)原理 又利用分步乘法計數(shù)原理 自主解答 1 選B 其穿衣方式分兩類 第一類 不選連衣裙有4 3 12種方法 第二類 選連衣裙有2種方法 由分類加法計數(shù)原理知 共有12 2 14種方法 2 分四類 第一類 從一班學(xué)生中選1人 有7種選法 第二類 從二班學(xué)生中選1人 有8種選法 第三類 從三班學(xué)生中選1人 有9種選法 第四類 從四班學(xué)生中選1人 有10種選法 所以 共有不同的選法N 7 8 9 10 34 種 分四步 第一 二 三 四步分別從一 二 三 四班學(xué)生中選一人任組長 所以 共有不同的選法N 7 8 9 10 5040 種 分六類 每類又分兩步 從一 二班學(xué)生中各選1人 有7 8種不同的選法 從一 三班學(xué)生中各選1人 有7 9種不同的選法 從一 四班學(xué)生中各選1人 有7 10種不同的選法 從二 三班學(xué)生中各選1人 有8 9種不同的選法 從二 四班學(xué)生中各選1人 有8 10種不同的選法 從三 四班學(xué)生中各選1人 有9 10種不同的選法 所以 共有不同的選法N 7 8 7 9 7 10 8 9 8 10 9 10 431 種 方法技巧 利用兩個計數(shù)原理解題時的三個注意點 1 當(dāng)題目無從下手時 可考慮要完成的這件事是什么 即怎樣做才算完成這件事 然后給出完成這件事的一種或幾種方法 從這幾種方法中歸納出解題方法 2 分類時標準要明確 做到不重不漏 有時要恰當(dāng)畫出示意圖或樹形圖 使問題的分析更直觀 清楚 便于探索規(guī)律 3 混合問題一般是先分類再分步 變式訓(xùn)練 1 2013 青島高二檢測 已知一個科技小組中有4名女同學(xué) 5名男同學(xué) 若從中任選一名同學(xué)參加學(xué)科競賽 則共有不同的選派方法多少種 若從中任選一名女同學(xué)和一名男同學(xué)參加學(xué)科競賽 則共有不同的選派方法多少種 解析 由分類加法計數(shù)原理得 從4名女同學(xué) 5名男同學(xué)中任選一名同學(xué)參加學(xué)科競賽共5 4 9 種 方法 由分步乘法計數(shù)原理得從4名女同學(xué) 5名男同學(xué)中任選一名女同學(xué)和一名男同學(xué)參加學(xué)科競賽共4 5 20 種 方法 2 某地政府召集5家企業(yè)的負責(zé)人開會 已知甲企業(yè)有2人到會 其余4家企業(yè)各有1人到會 會上有3人發(fā)言 則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況為多少種 解析 分兩類 第一類是甲企業(yè)有1人發(fā)言 有2種情況 另2個發(fā)言人來自其余4家企業(yè) 有6種情況 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得共有2 6 12 種 情況 另一類是3人全來自其余4家企業(yè) 共有4種情況 根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得共有12 4 16 種 情況 補償訓(xùn)練 某小組有10人 每人至少會英語和法語中的一門 其中8人會英語 5人會法語 1 從中任選一個會外語的人 有多少種選法 2 從中選出會英語與會法語的各1人 有多少種不同的選法 解析 由于8 5 13 10 所以10人中必有3人既會英語又會法語 5人只會英語 2人只會法語 1 可分類完成此事 一類是只會英語 一類是既會英語也會法語 一類是只會法語 共有5 3 2 10 種 2 分4類 共有N 5 2 5 3 2 3 3 2 37 種 方法 易錯誤區(qū) 分不清是分類還是分步而導(dǎo)致錯誤 典例 體育場南側(cè)有4個大門 北側(cè)有3個大門 某人到該體育場晨練 則他進 出門的方案有 A 12種B 7種C 14種D 49種 解析 選D 要完成進 出門這件事 需要分兩步 第一步進體育場 第二步出體育場 第一步進門有4 3 7種方法 第二步出門也有4 3 7種方法 由分步乘法計數(shù)原理知進 出門的方案有7 7 49種 常見誤區(qū) 防范措施 明確 分類 與 分步 分類 是其中任何一類中的任何一種方法均可獨立完成所給事情 而 分步 必須是把各個步驟均完成才能完成所給事情 在解題過程中要能高效地得到正確結(jié)論必須將要計的數(shù)準確進行 分類 或是 分步 如本例是 分步 而非 分類 問題 類題試解 2014 臺州高二檢測 給一些書編號 準備用3個字符 其中首字符用A B 后兩個字符用a b c 允許重復(fù) 則不同編號的書共有 A 8本B 9本C 12本D 18本 解析 選D 需分三步完成 第一步首字符有2種編法 第二步 第二個字符有3種編法 第三步 第三個字符有3種編法 故由分步乘法計數(shù)原理知不同編號共有2 3 3 18種