高三數(shù)學(xué) 專題4 三角變換與解三角形課件 理

專題四 三角變換與解三角形三角變換與解三角形三角變換與解三角形主 干 知 識 梳 理熱 點(diǎn) 分 類 突 破真 題 與 押 題1.高考中?？疾槿呛愕茸儞Q有關(guān)公式的變形使高考中常考查三角恒等變換有關(guān)公式的變形使用，常和同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式結(jié)合用，常和同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式結(jié)合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判斷三角利用正弦定理或余弦定理解三角形或判斷三角形的形狀、求值等，經(jīng)常和三角恒等變換結(jié)合形的形狀、求值等，經(jīng)常和三角恒等變換結(jié)合進(jìn)行綜合考查進(jìn)行綜合考查考情解讀3主干知識梳理1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin .(2)cos()cos cos sin sin .2二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.3三角恒等式的證明方法三角恒等式的證明方法(1)從等式的一邊推導(dǎo)變形到另一邊，一般是化繁從等式的一邊推導(dǎo)變形到另一邊，一般是化繁為簡為簡(2)等式的兩邊同時(shí)變形為同一個(gè)式子等式的兩邊同時(shí)變形為同一個(gè)式子(3)將式子變形后再證明將式子變形后再證明5余弦定理余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.變形：變形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.7解三角形解三角形(1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解已知兩角及一邊，利用正弦定理求解(2)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一求解，解的情況可能不唯一(3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解(4)已知三邊，利用余弦定理求解已知三邊，利用余弦定理求解 熱點(diǎn)一 三角變換 熱點(diǎn)二 解三角形 熱點(diǎn)三 正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用熱點(diǎn)分類突破熱點(diǎn)一 三角變換思維啟迪 利用和角公式化簡已利用和角公式化簡已知式子，和知式子，和cos( )進(jìn)進(jìn)行比較行比較.答案C思維啟迪 先對已知式子進(jìn)行變形先對已知式子進(jìn)行變形,得三角函數(shù)值的式子，再得三角函數(shù)值的式子，再利用范圍探求角的關(guān)系利用范圍探求角的關(guān)系.即即sin cos cos cos sin ，答案B(1)三角變換的關(guān)鍵在于對兩角和與差的正弦、余弦、三角變換的關(guān)鍵在于對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等變換公式的熟記正切公式，二倍角公式，三角恒等變換公式的熟記和靈活應(yīng)用，要善于觀察各個(gè)角之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)和靈活應(yīng)用，要善于觀察各個(gè)角之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)題目所給條件與恒等變換公式的聯(lián)系，公式的使用題目所給條件與恒等變換公式的聯(lián)系，公式的使用過程要注意正確性，要特別注意公式中的符號和函過程要注意正確性，要特別注意公式中的符號和函數(shù)名的變換，防止出現(xiàn)張冠李戴的情況數(shù)名的變換，防止出現(xiàn)張冠李戴的情況.(2)求角問題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角問題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解求角的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解.思維升華變式訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)cos(2x )sin2x.(1)求函數(shù)求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值；的最小正周期和最大值；又又是第二象限角，是第二象限角，熱點(diǎn)二 解三角形例2在在ABC中，角中，角A，B，C所對的邊分別為所對的邊分別為a，b，c，滿足，滿足a2sin A， 0.(1)求邊求邊c的大??；的大小；思維啟迪 將將 0中的邊化成角，然后利用和差公中的邊化成角，然后利用和差公式求式求cos C，進(jìn)而求，進(jìn)而求c.ccos B2acos Cbcos C0，sin Ccos Bsin Bcos C2sin Acos C0，sin A2sin Acos C0，sin A0，(2)求求ABC面積的最大值面積的最大值.思維啟迪 只需求只需求ab的最大值，可利用的最大值，可利用cos C 和基本不和基本不等式求解等式求解.a2b2ab3，3ab3，即，即ab1.三角形問題的求解一般是從兩個(gè)角度，即從三角形問題的求解一般是從兩個(gè)角度，即從“角角”或從或從“邊邊”進(jìn)行轉(zhuǎn)化突破，實(shí)現(xiàn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化突破，實(shí)現(xiàn)“邊邊”或或“角角”的的統(tǒng)一，問題便可突破統(tǒng)一，問題便可突破.幾種常見變形：幾種常見變形：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，其中，其中R為為ABC外接圓的半徑；外接圓的半徑；(3)sin(AB)sin C，cos(AB)cos C.思維升華變式訓(xùn)練2 答案A解析c2(ab)26，c2a2b22ab6.由由得得ab6.答案C例3(2013江蘇江蘇)如圖，游客從某旅游景如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)區(qū)的景點(diǎn)A處下山至處下山至C處有兩種路徑處有兩種路徑.一一 種是從種是從A沿直線步行到沿直線步行到C，另一種是先從，另一種是先從A沿索道乘纜車到沿索道乘纜車到B，然后從，然后從B沿直線步行到沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下處下山，甲沿山，甲沿AC勻速步行，速度為勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)在甲出發(fā)2 min后，乙從后，乙從A乘纜車到乘纜車到B，在，在B處停留處停留1 min后，再從后，再從B勻速勻速步行到步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動的速度為假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動的速度為130 m/min，山路山路AC長為長為1 260 m，經(jīng)測量，經(jīng)測量cos A ，cos C .熱點(diǎn)三 正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用(1)求索道求索道AB的長；的長；思維啟迪 直接求直接求sin B，利用正弦定理求，利用正弦定理求AB.從而從而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C所以索道所以索道AB的長為的長為1 040 m.(2)問：乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距問：乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？離最短？思維啟迪 利用余弦定理和函數(shù)思想，將甲乙距離表示為乙出發(fā)利用余弦定理和函數(shù)思想，將甲乙距離表示為乙出發(fā)后時(shí)間后時(shí)間t的函數(shù)的函數(shù).解假設(shè)乙出發(fā)假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時(shí)，甲行走了此時(shí)，甲行走了(10050t)m，乙距離，乙距離A處處130t m，所以由余弦定理得所以由余弦定理得(3)為使兩位游客在為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過處互相等待的時(shí)間不超過3分分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？乙從乙從B出發(fā)時(shí)，甲已走了出發(fā)時(shí)，甲已走了50(281)550(m)，還需走還需走710 m才能到達(dá)才能到達(dá)C.設(shè)乙步行的速度為設(shè)乙步行的速度為v m/min，所以為使兩位游客在所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過處互相等待的時(shí)間不超過3 min，乙步行的速度應(yīng)控制在，乙步行的速度應(yīng)控制在 (單位：單位：m/min)范圍內(nèi)范圍內(nèi).求解三角形的實(shí)際問題，首先要準(zhǔn)確理解題意，求解三角形的實(shí)際問題，首先要準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，關(guān)注應(yīng)用題中的有關(guān)專業(yè)名分清已知與所求，關(guān)注應(yīng)用題中的有關(guān)專業(yè)名詞、術(shù)語，如方位角、俯角等；其次根據(jù)題意詞、術(shù)語，如方位角、俯角等；其次根據(jù)題意畫出其示意圖，示意圖起著關(guān)鍵的作用；再次畫出其示意圖，示意圖起著關(guān)鍵的作用；再次將要求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，將要求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過合理運(yùn)用正、余弦定理等有關(guān)知識建立數(shù)通過合理運(yùn)用正、余弦定理等有關(guān)知識建立數(shù)學(xué)模型，從而正確求解，演算過程要簡練，計(jì)學(xué)模型，從而正確求解，演算過程要簡練，計(jì)算要準(zhǔn)確；最后作答算要準(zhǔn)確；最后作答.思維升華變式訓(xùn)練3如圖，中國漁民在中國南海黃巖島附近捕魚如圖，中國漁民在中國南海黃巖島附近捕魚作業(yè)，中國海監(jiān)船在作業(yè)，中國海監(jiān)船在A地偵察發(fā)現(xiàn)，在南偏地偵察發(fā)現(xiàn)，在南偏東東60方向的方向的B地，有一艘某國軍艦正以每地，有一艘某國軍艦正以每小時(shí)小時(shí)13海里的速度向正西方向的海里的速度向正西方向的C地行駛，企圖抓捕正在地行駛，企圖抓捕正在C地捕魚的中國漁民地捕魚的中國漁民.此時(shí)，此時(shí)，C地位于中國海監(jiān)船的南偏東地位于中國海監(jiān)船的南偏東45方向的方向的10海里處，中國海監(jiān)船以每小時(shí)海里處，中國海監(jiān)船以每小時(shí)30海里的速度海里的速度趕往趕往C地救援我國漁民，能不能及時(shí)趕到？地救援我國漁民，能不能及時(shí)趕到？( 1.41， 1.73， 2.45)解過點(diǎn)過點(diǎn)A作作ADBC，交，交BC的延長線于點(diǎn)的延長線于點(diǎn)D.因?yàn)橐驗(yàn)镃AD45，AC10海里，海里，所以所以ACD是等腰直角三角形是等腰直角三角形.在在RtABD中，因?yàn)橹?，因?yàn)镈AB60，因?yàn)橹袊１O(jiān)船以每小時(shí)因?yàn)橹袊１O(jiān)船以每小時(shí)30海里的速度航行，某國軍海里的速度航行，某國軍艦正以每小時(shí)艦正以每小時(shí)13海里的速度航行，海里的速度航行，1.求解恒等變換問題的基本思路求解恒等變換問題的基本思路一角二名三結(jié)構(gòu)，即用化歸轉(zhuǎn)化思想一角二名三結(jié)構(gòu)，即用化歸轉(zhuǎn)化思想“去異求同去異求同”的過程，具體分析如下：的過程，具體分析如下：(1)首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變換形式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心用變換形式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心.(2)其次看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通常其次看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢仪谢摇?”.(3)再次觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)再次觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).本講規(guī)律總結(jié)2.解三角形的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)解三角形的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)正、余弦定理是實(shí)現(xiàn)三角形中邊角互化的依據(jù)，正、余弦定理是實(shí)現(xiàn)三角形中邊角互化的依據(jù)，注意定理的靈活變形，如注意定理的靈活變形，如a2Rsin A，sin A (其其中中2R為三角形外接圓的直徑為三角形外接圓的直徑)，a2b2c22abcos C等，靈活根據(jù)條件求解三角形中的邊與角等，靈活根據(jù)條件求解三角形中的邊與角.(2)三角形的有關(guān)性質(zhì)在解三角形問題中起著重要的三角形的有關(guān)性質(zhì)在解三角形問題中起著重要的作用，如利用作用，如利用“三角形的內(nèi)角和等于三角形的內(nèi)角和等于”和誘導(dǎo)公式和誘導(dǎo)公式可得到可得到sin(AB)sin C，sin cos 等，利用等，利用“大邊對大角大邊對大角”可以解決解三角形中的增解問題等可以解決解三角形中的增解問題等.3.利用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是如利用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，抽象出三角形模型何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，抽象出三角形模型. 真題感悟 押題精練真題與押題12真題感悟12真題感悟用降冪公式化簡得：用降冪公式化簡得：4sin 23cos 2，答案C真題感悟212.(2014江蘇江蘇)若若ABC的內(nèi)角滿足的內(nèi)角滿足sin A sin B2sin C，則，則cos C的最小值是的最小值是_.真題感悟21真題感悟21押題精練12押題精練12押題精練12sin C0，1cos(AB)1，cos(AB)0.0AB，AB ，即即ABC是以角是以角C為直角的直角三角形為直角的直角三角形.押題精練12其值不確定，故其值不確定，故不正確；不正確；押題精練12cos2Acos2Bcos2Asin2A1sin2C，故故正確正確.答案D押題精練122.在在ABC中，角中，角A，B，C所對的邊分別為所對的邊分別為a，b，c，q(2a,1)，p(2bc，cos C)，且，且qp.(1)求求sin A的值；的值；解q(2a,1)，p(2bc，cos C)且且qp，2bc2acos C，由正弦定理得由正弦定理得2sin Acos C2sin Bsin C，又又sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，押題精練12押題精練12(2)求三角函數(shù)式求三角函數(shù)式 1的取值范圍的取值范圍.押題精練12