2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計(jì) 1.8 最小二乘估計(jì)課件 北師大版必修3.ppt

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8最小二乘估計(jì) 1 最小二乘法如果有n個(gè)點(diǎn) x1 y1 x2 y2 xn yn 可以用下面的表達(dá)式來刻畫這些點(diǎn)與直線y a bx的接近程度 y1 a bx1 2 y2 a bx2 2 yn a bxn 2 使得上式達(dá)到最小值的直線y a bx就是我們所要求的直線 這種方法稱為最小二乘法 2 回歸直線方程 做一做1 已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)如下表 則y與x的線性回歸方程y bx a 必過點(diǎn) A 2 3 B 1 5 3 C 1 5 3 25 D 2 3 25 答案 C 3 線性回歸分析利用最小二乘法估計(jì)時(shí) 要先作出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖 如果散點(diǎn)圖呈現(xiàn)一定的規(guī)律性 我們再根據(jù)這個(gè)規(guī)律進(jìn)行擬合 如果散點(diǎn)圖呈現(xiàn)出線性關(guān)系 我們可以用最小二乘法估計(jì)出線性回歸方程 如果散點(diǎn)圖呈現(xiàn)出其他的曲線關(guān)系 我們就要利用其他的曲線進(jìn)行擬合 規(guī)律總結(jié)線性回歸分析的步驟 1 作散點(diǎn)圖 判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān) 若是 再執(zhí)行以下步驟 4 代入公式計(jì)算b a的值 5 寫出線性回歸方程 6 根據(jù)回歸系數(shù)的意義進(jìn)行估計(jì)和判斷 做一做2 設(shè)有一個(gè)回歸方程為 1 5x 2 則變量x增加一個(gè)單位時(shí) A y平均增加1 5個(gè)單位B y平均增加2個(gè)單位C y平均減少1 5個(gè)單位D y平均減少2個(gè)單位解析 兩個(gè)變量線性負(fù)相關(guān) 變量x增加一個(gè)單位 y平均減少1 5個(gè)單位 答案 C 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號里畫 錯(cuò)誤的畫 1 散點(diǎn)圖能直觀地反映數(shù)據(jù)的相關(guān)程度 2 任意一組數(shù)據(jù)都有一個(gè)對應(yīng)的線性回歸方程 3 散點(diǎn)圖中的點(diǎn)越集中 兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng) 4 線性回歸方程最能代表線性相關(guān)的兩個(gè)變量之間的關(guān)系 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 求線性回歸方程 例1 某市近5年的煤氣消耗量與使用煤氣戶數(shù)如下表 1 檢驗(yàn)變量x y是否線性相關(guān) 2 求y對x的線性回歸方程 分析 根據(jù)表中的數(shù)據(jù) 作出散點(diǎn)圖 判斷是否線性相關(guān) 若是 則根據(jù)公式求得a b 得線性回歸方程 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 解 1 作出散點(diǎn)圖 由散點(diǎn)圖知變量x y線性相關(guān) 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 變式訓(xùn)練1若在一次試驗(yàn)中 測得 x y 的四組數(shù)值分別是A 1 3 B 2 3 8 C 3 5 2 D 4 6 則y與x之間的線性回歸方程是 A y x 1 9B y 1 04x 1 9C y 0 95x 1 04D y 1 05x 0 9答案 B 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 回歸直線的性質(zhì) 例2 下表提供了某種產(chǎn)品投入的廣告費(fèi)用x 單位 萬元 與相應(yīng)銷售金額y 單位 十萬元 的幾組數(shù)據(jù) 根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù) 求出y關(guān)于x的線性回歸方程是y 0 25x 1 75 后來表中的某個(gè)數(shù)據(jù)被污染 則被污染的數(shù)據(jù)最有可能是 A 2 8B 2 5C 2 6D 3 6 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 答案 B反思感悟回歸直線y bx a一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心 根據(jù)這一性質(zhì)可以快速地確定回歸直線系數(shù)的值或者根據(jù)回歸系數(shù)的值確定未知數(shù)據(jù) 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 變式訓(xùn)練2已知x y的取值如下表所示 答案 B 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 利用線性回歸方程對總體進(jìn)行估計(jì) 例3 對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x y 測得一組數(shù)據(jù)如下 根據(jù)上表 利用最小二乘法得它們的回歸直線方程為y 10 5x a 據(jù)此模型來預(yù)測當(dāng)x 20時(shí) y的估計(jì)值為 A 210B 210 5C 211 5D 212 5解析 由數(shù)據(jù)可知 代入回歸直線方程得a 1 5 所以y 10 5x 1 5 當(dāng)x 20時(shí) y 10 5 20 1 5 211 5 答案 C反思感悟1 利用線性回歸方程對總體進(jìn)行估計(jì) 關(guān)鍵在于正確地求出線性回歸方程 2 利用線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測和估計(jì)時(shí) 所得到的結(jié)果只是一個(gè)估計(jì)值 而不是精確值 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 變式訓(xùn)練3 1 根據(jù)下表樣本數(shù)據(jù) 得到的回歸方程為y bx a 若a 7 9 則x每增加1個(gè)單位 y就 A 增加1 4個(gè)單位B 減少1 4個(gè)單位C 增加1 2個(gè)單位D 減少1 2個(gè)單位 2 從某一行業(yè)隨機(jī)抽取12家企業(yè) 它們的生產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用的數(shù)據(jù)如表所示 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 繪制生產(chǎn)量x和生產(chǎn)費(fèi)用y相應(yīng)數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點(diǎn)圖 如果兩個(gè)變量之間是線性相關(guān)關(guān)系 請用最小二乘法求出其線性回歸方程 如果一個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)量是120臺 請預(yù)測它的生產(chǎn)費(fèi)用 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 答案 B 2 解 散點(diǎn)圖如圖所示 根據(jù)散點(diǎn)圖可知 兩個(gè)變量x和y之間的關(guān)系是線性相關(guān)關(guān)系 下面用最小二乘法求線性回歸方程 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 3 在線性回歸方程y 0 42x 124 22中 常數(shù)項(xiàng)124 22可以認(rèn)為是固定費(fèi)用 它不隨生產(chǎn)量的變化而變化 0 42可以認(rèn)為是可變費(fèi)用的增長系數(shù) 即每增加1個(gè)單位的生產(chǎn)量就增加0 42個(gè)單位的費(fèi)用 將x 120代入線性回歸方程得y 0 42 120 124 22 174 62 即如果一個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)量是120臺 它的生產(chǎn)費(fèi)用約為174 62萬元 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 線性回歸方程的求法與應(yīng)用 典例 一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額 需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間 為此進(jìn)行了10次實(shí)驗(yàn) 收集數(shù)據(jù)如下 1 畫出散點(diǎn)圖 2 求線性回歸方程 3 關(guān)于加工零件的個(gè)數(shù)與加工時(shí)間 你能得出什么結(jié)論 分析 1 橫坐標(biāo)表示加工零件個(gè)數(shù) 縱坐標(biāo)表示加工時(shí)間 建立平面直角坐標(biāo)系即可繪制散點(diǎn)圖 2 利用散點(diǎn)圖中點(diǎn)的走勢即可得出變量之間是否線性相關(guān) 然后利用最小二乘法求出線性回歸方程 利用方程得出 3 中的預(yù)測結(jié)論 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 解 1 散點(diǎn)圖如圖所示 由散點(diǎn)圖知二者呈線性相關(guān)關(guān)系 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 2 設(shè)線性回歸方程為y bx a 列表并利用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算 故所求線性回歸方程為y 0 668x 54 96 3 由線性回歸方程可以得出每多加工10個(gè)零件 就多花費(fèi)6 68時(shí) 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 方法點(diǎn)睛1 解決此類問題 因?yàn)橐阎獃與x線性相關(guān) 所以只需代入公式進(jìn)行求解 鑒于代入很煩瑣 因此要分步來求解 并且要注意運(yùn)算結(jié)果的正確性 2 根據(jù)線性回歸方程來進(jìn)行預(yù)測或估計(jì)時(shí) 要注意明確方程中的各個(gè)量在實(shí)際問題的含義 不要混淆 做到有的放矢 3 線性回歸方程中的回歸系數(shù)b代表x每增加一個(gè)單位 y平均增加的單位數(shù) 而不是增加單位數(shù) 也就是說 此時(shí)對y的預(yù)測是平均預(yù)測 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 變式訓(xùn)練下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x 單位 噸 與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y 單位 噸標(biāo)準(zhǔn)煤 的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù) 1 請畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖 2 請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù) 用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸直線方程y bx a 3 已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤 試根據(jù) 2 求出的回歸直線方程 預(yù)測技改后生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 解 1 由題設(shè)所給數(shù)據(jù)可得散點(diǎn)圖 如圖所示 因此 所求的回歸直線方程為y 0 7x 0 35 3 由 2 的回歸直線方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗 得降低的生產(chǎn)能耗為90 0 7 100 0 35 19 65 噸標(biāo)準(zhǔn)煤 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 1 工人月工資y 單位 元 依勞動生產(chǎn)率x 單位 千元 變化的線性回歸方程為y 50 80 x 下列判斷正確的是 A 勞動生產(chǎn)率為1000元時(shí) 工資為130元B 勞動生產(chǎn)率提高1000元 則工資平均提高80元C 勞動生產(chǎn)率提高1000元 則工資平均提高130元D 當(dāng)月工資為210元時(shí) 勞動生產(chǎn)率為2000元答案 B2 下列命題 線性回歸方法就是尋找一條貼近已知樣本點(diǎn)的直線的數(shù)學(xué)方法 利用樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個(gè)變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系來表示 通過線性回歸方程y bx a可以估計(jì)和預(yù)測變量的取值和變化趨勢 其中正確的命題是 A B C D 答案 D 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 3 下表是x與y之間的一組數(shù)據(jù) 則y關(guān)于x的回歸直線必過點(diǎn) A 2 2 B 1 5 2 C 1 2 D 1 5 4 答案 D 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 4 登山族為了了解某山高y 單位 km 與氣溫x 單位 之間的關(guān)系 隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4次山高與相應(yīng)的氣溫 并制作了對照表 由表中數(shù)據(jù) 得到線性回歸方程y 0 2x a a R 由此估計(jì)出山高為7 2km處的氣溫為 A 10 B 8 C 6 D 4 答案 C 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 5 正常情況下 年齡在18歲到38歲的人 體重y kg 對身高x cm 的回歸方程為 0 72x 58 2 張明同學(xué) 20歲 身高178cm 他的體重應(yīng)該在kg左右 解析 用回歸方程對身高為178cm的人的體重進(jìn)行預(yù)測 當(dāng)x 178時(shí) 0 72 178 58 2 69 96 kg 答案 69 96 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 6 某車間為了規(guī)定工時(shí)定額 需要確定加工某零件所花費(fèi)的時(shí)間 為此做了四次實(shí)驗(yàn) 得到的數(shù)據(jù)如下 1 求出y關(guān)于x的線性回歸方程 2 試預(yù)測加工10個(gè)零件需要多少時(shí)間 故a 2 75 0 8 3 5 0 05 所以y 0 8x 0 05 2 將x 10代入回歸直線方程 得y 0 8 10 0 05 7 95 所以預(yù)測加工10個(gè)零件需要7 95時(shí)